二维对流方程在模拟点污染源扩散中的应用

第29卷第3期 2008年6月 华北水利水电学院学报 JournalofNoahChinaInstituteofWaterConservancyandHydroelectricPower V01．29No．3 Jun．2008 文章编号：1002—5634(2008)03—0018—03 二维对流方程在模拟点污染源扩散中的应用 张雁杰，曹 兵，张艳艳，刘晓平 (华北水利水电学院，河南郑州450011) 摘要：采用带人T．耗散项的MaeCormack格式离散二维对流方程，建立点污染源对流扩散的数学模型．对 MacCormack格式离散方程进行了相容性、收敛性与稳定性，存满足柯朗条件的基础上，进行了一个点源 二维对流扩散的数值模拟计算．将同问题的数值解与解析解加以对比，两者拟合度很高，证明这一离散格式的 可行性．研究还表明，引人人T耗散项对控制数值振荡具有一定效果，Gr大于100时边界数值开始m现较明显 的震荡．但数值解误差也明显缩小。这在水环境数值模拟计算中是需要注意的． 关键词：人工耗散项；MaeCormack格式；点源；数值模拟 中图分类号：TVl43 文献标识码：A 在大区域水环境中，企业排放废料与废水、船只 失事造成的危险品泄露、生活污水这些都是形成污 染水环境的点污染源．点污染源的扩散是十分常见 的水环境现象．为了有效地控制、消除这些污染，应 当从传播机理和传播规律上准确认识和模拟． 根据点源污染扩散的基本物理特性，模拟一般 动水环境中的污染扩散现象主要用对流扩散方程， 由于数学求解方面的困难，目前纯理论分析方法还 只能解决简的点污染源扩散问题，而研究大面积 排放或复杂流场与浓度场问题，还要依靠实验和数 值模拟手段．用来进行环境水力学动水数值模拟计 算的数值格式很多，其中有限差分法(CFD)就有迎 风格式、对称隐格式、Lax—Wendroff格式、Preiss— mann格式、Holly—Preissmann格式、杨国录一贡日 格式等⋯。有些格式在边界处易出现数值振荡，对 间断点无法捕捉，有些格式会对数值进行平滑化，因 此选用适宜的数值格式对平面动水域污染扩散现象 的准确模拟是十分重要的旧1． 在反映污染物扩散规律的对流扩散方程中，对 流项所起作用很大，故可采用有限差分法中带人工 耗散项”1的MacCormack格式”1离散二维对流方程 来近似求解．通过对该格式数值计算结果与解析解 的对比、分析，评价格式的精度与稳定性，期望能对 实际水污染问题的数值解法有一定的参考作用． 1 数学模型 1．1控制方程 二维对流扩散方程为”’ 祟+u。兰弧ic35=o (1)af ”a茗 ”a'， 、 ’ 式中：s为污染物浓度；￡‘。为名方向输移速度；t，。为Y 方向输移速度；罢为时间变位项；“。罢+口。害为对 Ot dx d’， 流输移项．对于双曲线型方程，即使非齐次项和初始 条件都充分光滑，也可能在局部区域出现解不惟一 或解沿特征线间断的现象№。】，同时由于对流项是 严格要求物质守恒，因此其数值解只能是近似的． 1．2定解条件 采用特征线法¨‘91来推求定解条件，函数s(石， ，，，t)的全微分形式为 害=塞4．-尝害4．-砉鲁 c2，一=一⋯—‘ l，ld￡ df’a菇d￡’afdf 、-7 由式(1)，(2)可得 r1 Uo)Io] 【．1警警j Os a￡ Os Ox Os a)， 收稿日期：2008一Ol一30 作者简介：张雁杰(1982一)，男，河北张家口人，在读硕士研究生，主要从事水动力数值模拟方面的研究 厂0] =dsJ 。’ 万方数据 第29卷第3期 张雁杰等： ■维对流方程在模拟点污染源扩散巾的应用 19 若使得全微商坐dt=0，0as￡，塞，坐Oy取得非平凡解，显然 r1 ％ ％] l·面dx打。 ¨’ 即满足特征方程组m91 宝=％，考=％ (5) 式中U。，Vo为常数，取为正值，即在茗方向与Y方向 均取上游边界条件． 1．3数值格式 MacCormack格式是Lax—Wendroff格式的变形。 它分为预测步和校正步‘“．由式(1)得 s：》小㈢。，△f+《， (6) 式中：(襄)。，项为害在时间t和t+△t之间的平均 值，瑙血为人丁耗散项，经变形有 3s：一1．j+35：．，一I，s：+I．J—I—s：一1．『+j)(13) 1．4误差分析 数值方法的误差分析包括相容性、稳定性、收敛 性分析，是考察数值方法的离散解是否满足原微分 方程的近似解的基本手段¨引．相容性考察离散方程 的截断误差，判断全方程的精度；稳定性考察差分格 式的舍人误差，主要针对初值在以后时层计算中是 否将被放大，好的差分格式应该做到无条件稳定；收 敛性考察离散方程的离散误差，判断是网格独 立解．实例表明，误差的主要来源是离散误差J⋯． 用泰勒展开式可以证明差分公式(10)与原微 分方程是相容的，且在时间和卒间上都有二阶精度． 通过Fourier级数可以得到该格式的稳定条件为 1 l C，。≤÷，C，，≤÷ (14) 2√2 242 由Lax定理及已知条件得上述差分格式(10) 在满足稳定条件(11)的情况下是收敛的． 0s：一f当+．0_s1 (7) 2UoVo 计算实例at一【五+；'，J (7) 川开六刚 1．预测步．用¨u_菱分硌瓦禾禺散瓦【7)甲明至 间导数项，并在末尾引入人T耗散项得 ．㈤：j=一(H。气≯Ⅶ气≯)㈩ 令柯朗数c。=五uoA7t，c，=石voAt，并令 -sti。+血=s。t。+(Ods；l，'。iAt+C,,(s：+。。一2s：。+s：一．。)+c叮· (s：．，+。一25：．，+s：．，一。) (9) 人T耗散项为 C，，(s：+．．，一2s：。+s：一．．，)+c，，(s：．，+，一2sjt．，+s：．，．．) 2．校正步．用前差分来离散式(7)中的空间导 数项，得(蔷)：：舢=一(u。掣+”。等)c·。， 由式(8)，(10)可以得到 (害t)一1Dsl'．．+(掰‘】⋯， s：?‘吨+㈤。，△f+c。(i：=t+¨At、--t+A‘)+ c叩(《z。一《了‘) (12) 将式(11)代入式(12)得 ％t+，At毡t厂知2t儿，如。一t 2《川““小孚㈠t¨一or6《，+ 计算区域范围取z=400m，Y=400m，定常均 匀流场M=秽=0．1m／s，源点位置为菇=200m，Y= 200m；初始条件为t=to，算=zo，Y=Yo，s=so(取幅值 s。=1)．通过求解得到式(1)的解析解¨’ 如mz)=soexp(一[譬+譬】)(15) 式中：-1=石o+ut；歹=Yo+vt；偏差矿=竿；k为周期；f 为波长． 在数值模拟计算时，根据柯朗稳定条件取Ax= Ay=1in，At=1s，计算时间取T=50s．为了反映浓 度分布曲线的陡峭程度的不同，采用不同偏差矿，考 察该种差分格式对相应扩散问题的适用性影响，进 行了点污染源扩散问题的解析解计算和数值解计 算．数值计算结果进行数据处理与解析解值进行分 析比较，采用动坐标系，绘制污染物平面扩散等值线 图(如图l所示)，以及当盯分别取50与100时，沿 Y=200m这条线上的浓度分布曲线(如图2所示)． (a)盯=50 (b)盯=100 图1 平面扩散浓度等值线数值解与解析解对比 万方数据 华北水 利水 电 学院学报 2008年6月 0·9 0．8 一O·7 t 0．6 70．5 “0．4 蔷0．3 0．2 O-1 0．O 3对比分析 工，m r a)G-=50 — 7 E ● 鼬 ≮ 图2沿Y=200的浓度分布曲线 1．从图1和图2可以看出，用带有人r丁耗散项 MacCormack格式离散二维对流方程，模拟计算点污 染源扩散的数值解曲线与解析解曲线有比较高的拟 合度，说明该格式具有很好的稳定性，数值计算能满 足计算精度要求． 2．从图1可以看出，污染物在平面扩散时，盯值 对扩散范围有重要影响．当矿增大时，同样浓度的s 值的扩散范围就相应增大． 3．图2表明，盯大于100时边界数值开始m现 较明显的震荡，数值解误差明显缩小，这需在水环境 数值模拟计算中注意． 参 考 文 献 【1]杨国录．河流数学模型[M]．北京：海洋出版社，1963． [2]袁雄燕，杨国录．对流方程数值解法比较及分析研究 [J]．泥沙研究。2004(1)：35—42． [3]王泽晖．人T选择耗散法抑制数值振荡[J]．南昌大学 学报(理科版)，2005，29(4)：327—332． 【4]JOHNDANDERSON，Jr．ComputiooalFluidDynamicsthe BasicswithApplications(清华大学影印版)[M]．北京： 清华大学出版社．2002． [5]吴望一．流体力学[M]．北京：北京大学出版社．2004． [6]丁天彪．数值计算方法[M]．郑州：黄河水利出版社。 2002． [7】陆金浦，关冶．偏微分方程数值解[M]．北京：清华大学 出版社。1987． [8]徐正凡．水力学[M]．北京：高等教育出版社，1987． [9]吴持恭．水力学()[M]．北京：高等教育出版社， 1998． [10]陶文铨．数值传热学(第二版)[M]．西安：西安交通大 学出版社，2001． ApplicationofTwo-dimensionalConvectionEquationinthe NumericalSimulationofPointSourcesDi仃usion ZHANGYan-jie，CAOBing，ZHANGYan—yan，LIUXiao—ping (NorthChinaInstituteofWaterConservancyandHydroelectricPower，Zhengzhou45001I，China) Abstract：ThroughusingtheMacCormackformattodiscretetwo—dimensionalconvectionequationwithartificialdissipation。themathe— maticalmodelofconvection·diffusionwithpointpollutionsourcesisestablished．OnthebasisoffittingtheCourant-number。thecompat· ibility，theconvergenceandthestabilityoftheMacCormackformat，areanalyzed，thenthetwo·dimensionalconvection—diffusionofone pointsourcebynumericalsimulationiscalculated．bycontrastingthenumericalsolutionandtheanalyticalsolutionofthesameequa· tion．itisshownthatthenumericalsolutionfitstheanalyticalsolutionwell，thisprovesthefeasibilityofthisformat．Researchalso showsthat，ithassomeeffecttocontrolnumericaloscillationbyintroducingartificialdissipation．andwhen盯isgreaterthan100，there isobviousnumericaloscillationneartheboundary。butthenumericalerrornarrowsobviously，whichismustbepaidattentiontoduring thenumericalsimulationinwaterenvironment． Keys：artificialdissipation；MacCormackformat；pointsource；numericalsimulation O 9 8 7 6 5 4 3 2●O ●OO 0 O O 0 0 0 0 O 万方数据 二维对流方程在模拟点污染源扩散中的应用 作者： 张雁杰， 曹兵， 张艳艳， 刘晓平， ZHANG Yan-jie， CAO Bing， ZHANG Yan-yan， LIU Xiao-ping 作者单位： 华北水利水电学院,河南,郑州,450011 刊名： 华北水利水电学院学报 英文刊名： JOURNAL OF NORTH CHINA INSTITUTE OF WATER CONSERVANCY AND HYDROELECTRIC POWER 年，卷(期)： 2008,29(3) 参考文献(10条) 1.陶文铨 数值传热学 2001 2.吴持恭 水力学 1998 3.徐正凡 水力学 1987 4.陆金浦;关冶 偏微分方程数值解 1987 5.丁天彪 数值计算方法 2002 6.吴望一 流体力学 2004 7.JOHN D ANDERSON Jr Computional Fluid Dynamics the Basics with Applications 2002 8.王泽晖 人工选择耗散法抑制数值振荡[期刊论文]-南昌大学学报（理科版） 2005(04) 9.袁雄燕;杨国录 对流方程数值解法比较及分析研究[期刊论文]-泥沙研究 2004(01) 10.杨国录 河流数学模型 1993 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_hbslsdxyxb200803006.aspx