永城高中高一（I）部数学学案（40）平面与平面垂直的性质定理

河南省永城市高级中学高一（I）部数学学案 永城高中高一(Ⅰ)部数学学案（40） 平面与平面垂直的性质定理 学案撰写人：杨凌 打印人：张晓 一、学习目标 1.理解平面与平面垂直的性质定理。 2.能应用面面垂直的性质定理证明空间中线面的垂直关系。 3.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在关系。 二、学习方法指引 1.预习课本71—72页，并做73—74页练习和习题。 2.通过预习熟练掌握线线、线面、面面垂直的内在联系。 三、基础知识再现 平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，则 垂直于 的直线与另一个平面 符号语言 图形语言 作用 证明直线与平面 四、对概念的分析与理解 1.理解平面与平面垂直的性质定理 说明：（1）性质成立的条件有两个： ①直线在其中一个平面内； ②直线与两平面的交线垂直。 （2）性质定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直。 （3）遇到面面垂直的问题时，通常经过此定理转化为线面垂直。 （4）若两个平面垂直，过其中一个平面内一点垂直于另一个平面的直线必在第一个平面内。 2.线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的关系 说明：线面垂直是线线垂直和面面垂直的纽带。对于面面垂直的判定和性质定理，可借助于长方体进行抽象概括。首先由线面垂直的定义可知，若线面垂直，则线和面内任意直线都垂直；根据线面垂直判定定理，若直线垂直于平面内的两条相交直线，则线面垂直，然后根据面面垂直的判定定理，若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，我们可以简记为“线面垂直，则面面垂直”；同样根据面面垂直的性质定理，我们还可证得，若面面垂直，则线面垂直。 由上可得，利用线面垂直，可以证明线线垂直，也可以实现面面垂直的证明。因此，我们可以说线面垂直是线线垂直、面面垂直的纽带，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直的相互转化。 五、典型例题 例1 如图，在四棱锥 中，平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ， ， 是等边三角形，已知 ， 。 （1）设 是 上的一点，证明平面 平面 ； （2）求四棱锥 的体积。 解析 条件中有面面垂直显然利用面面垂直的性质转化为线面垂直及线线垂直进一步证明面面垂直。 答案 （1）在 中， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 。 又 平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ，平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 EMBED Equation.DSMT4 ， 平面 ， EMBED Equation.DSMT4 平面 。又 平面 ， 平面 平面 。 （2）过 作 交 于点 ， 平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ， EMBED Equation.DSMT4 平面 ， EMBED Equation.DSMT4 为四棱锥 的高。 EMBED Equation.DSMT4 是边长为4的正三角形， EMBED Equation.DSMT4 。 在底面四边形 中， ， ， 四边形 为梯形。 在 中，斜边 边上的高为 。 EMBED Equation.DSMT4 。 EMBED Equation.DSMT4 。 例2 如图：在四棱锥 中，平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ， ， ， 分别是 的中点，求证：平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 。 思路分析：已知平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ，考虑利用面面垂直的性质定理， 在平面 内找一条垂直于平面 的直线。 答案： 连接 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 为等边三角形，又 是 的中点， EMBED Equation.DSMT4 。 平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ，平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ， EMBED Equation.DSMT4 平面 。又 平面 ， 平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 。 六、课堂练习 1.平面 平面 ， ， ， ，则（ ） A B C D 与 相交但不一定垂直 2.已知平面 平面 ，直线 ，则（ ） A B C D 或 3.已知长方体 中，在平面 上任取一点 ，作 于 ，则（ ） A 平面 B 平面 C 平面 D以上都可能 4.在空间中，下列命题中正确的的个数是（ ） ① 若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面 ② 若直线 与平面 内的一条直线平行, 则m // . ③ 若平面 ，且 ，则过 内一点 与 垂直的直线垂直于平面 ④ 若直线 ，且直线 ，则 A 1个 B 2 个 C 3个 D 4个 5.如图所示，三棱锥 中，平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ， ， 则（ ） A 平面 B 平面 C 与平面 相交但不垂直 D 平面 6.已知平面 和直线 ，则下列命题中正确的是（ ） A 若 ， ， ，则 B 若 ， ， ，则 C若 ， ，则 D若 ， ， ， ，则 7.已知 、 是两条不同直线， 、 、 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A 若 ， ，则 B 若 ， ，则 C若 ， ，则 D若 ， ，则 8. 已知 是 的斜边， EMBED Equation.DSMT4 平面 ， 于 点， 则图中共有直角三角形的个数是（ ） A 8 B 7 C 6 D 5 9.下列三个命题，其中正确命题的个数是（ ） ①平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ， 平面 ，则 ； ②平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ， 平面 ，则 ； ③平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ， 平面 ，则 。 （第8题） A 1 B 2 C 3 D 0 10.若平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ，平面 平面 ，则（ ） A B C 与 相交但不垂直 D 以上都有可能 11.在 中， ，若使 绕直线 旋转一周，则所形成的几何体体积是（ ） A． B． C． D． 12.若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于（ ） A．6 B． C． D． 13.若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是（ ） A． B． C． D． （第12题） （第13题） 14.平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ， ， ， ，直线 ， 则直线 与 的位置关系是 。 15.如图所示，平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ， ， ， ， （第15题） ，且 ，则三棱锥 的体积 。 16.如图所示， 是菱形 所在平面外的一点， 且 ，边长为 . 侧面 为正三角形， 其所在平面垂直于底面 ， 与平面 所 成的角为 ，则 。 17.下列命题正确的有_____ 1 若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内； （第16题） 2 若直线 上有无数个点不在平面 内，则 ； 3 若直线 与平面 相交，则 与平面 内的任意直线都是异面直线； 4 如果两条异面直线中的一条与一平面平行，则另一条直线一定与该平面相交； 5 若直线 与平面 平行，则 与平面 内的直线平行或异面； 6 若平面 平面 ，直线 ，直线 ，则直线 。 18.如图，在透明塑料制成的长方体 容器中灌一些水，将容器底面一边 置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，以下命题：（1）水的形状成棱柱形；（2）水面 的面积始终不变；（3） 始终与水面 平行。 其中正确的命题序号是：_____ （第18题） 19.在四棱锥 中，底面 是矩形，侧面 底面 ， 求证：平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 。 20.如图，正方形 与梯形 所在的平面互相垂直， ， ， ， 为 的中点。 （1）求证： 平面 ； （2）求证：平面 平面 。 21.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形。 （1） 求该几何体的体积 ； （2） 求该几何体的侧面积 。 PAGE 4 _1382351635.unknown _1382352586.unknown _1382353654.unknown _1382354608.unknown _1382355687.unknown _1382356365.unknown _1382439669.unknown _1382707079.unknown _1382707311.unknown _1382708675.unknown _1382708724.unknown _1382708771.unknown _1382708800.unknown _1382708816.unknown _1382708830.unknown _1382708784.unknown _1382708740.unknown _1382708748.unknown _1382708732.unknown _1382708695.unknown _1382708705.unknown _1382708709.unknown _1382708688.unknown _1382708643.unknown _1382708659.unknown _1382708262.unknown _1382708280.unknown _1382707322.unknown _1382707195.unknown _1382707247.unknown _1382707285.unknown _1382707234.unknown _1382707131.unknown _1382707178.unknown _1382707148.unknown _1382707105.unknown _1382440030.unknown _1382440476.unknown _1382706579.unknown _1382706965.unknown _1382706981.unknown _1382706646.unknown _1382706946.unknown _1382706617.unknown _1382706626.unknown _1382440652.unknown _1382441459.unknown _1382441576.unknown _1382441614.unknown _1382443017.unknown _1382706561.unknown _1382442998.unknown _1382441592.unknown _1382441511.unknown _1382441529.unknown _1382441491.unknown _1382441336.unknown _1382441437.unknown _1382440666.unknown _1382440516.unknown _1382440611.unknown _1382440640.unknown _1382440563.unknown _1382440582.unknown _1382440502.unknown _1382440248.unknown _1382440295.unknown _1382440466.unknown _1382440260.unknown _1382440209.unknown _1382440224.unknown _1382440048.unknown _1382439875.unknown _1382439942.unknown _1382439986.unknown _1382439920.unknown _1382439704.unknown _1382439849.unknown _1382439695.unknown _1382356663.unknown _1382356890.unknown _1382357115.unknown _1382439613.unknown _1382439632.unknown _1382439603.unknown _1382357090.unknown _1382357102.unknown _1382357074.unknown _1382356836.unknown _1382356852.unknown _1382356875.unknown _1382356800.unknown _1382356771.unknown _1382356784.unknown _1382356744.unknown _1382356757.unknown _1382356674.unknown _1382356735.unknown _1382356582.unknown _1382356624.unknown _1382356635.unknown _1382356615.unknown _1382356429.unknown _1382356536.unknown _1382356409.unknown _1382355970.unknown _1382356080.unknown _1382356169.unknown _1382356193.unknown _1382356045.unknown _1382356057.unknown _1382355985.unknown _1382356034.unknown _1382355887.unknown _1382355961.unknown _1382355877.unknown _1382354921.unknown _1382355119.unknown _1382355476.unknown _1382355581.unknown _1382355628.unknown _1382355641.unknown _1382355608.unknown _1382355496.unknown _1382355160.unknown _1382355198.unknown _1382355126.unknown _1382354977.unknown _1382355044.unknown _1382355050.unknown _1382354996.unknown _1382355007.unknown _1382354962.unknown _1382354847.unknown _1382354891.unknown _1382354909.unknown _1382354866.unknown _1382354800.unknown _1382354834.unknown _1382354784.unknown _1382354720.unknown _1382354730.unknown _1382354094.unknown _1382354317.unknown _1382354465.unknown _1382354494.unknown _1382354588.unknown _1382354534.unknown _1382354566.unknown _1382354482.unknown _1382354389.unknown _1382354427.unknown _1382354333.unknown _1382354173.unknown _1382354260.unknown _1382354307.unknown _1382354185.unknown _1382354138.unknown _1382354158.unknown _1382354124.unknown _1382353841.unknown _1382354070.unknown _1382354079.unknown _1382353880.unknown _1382353985.unknown _1382353997.unknown _1382353913.unknown _1382353857.unknown _1382353720.unknown _1382353747.unknown _1382353778.unknown _1382353738.unknown _1382353665.unknown _1382352878.unknown _1382353089.unknown _1382353469.unknown _1382353482.unknown _1382353517.unknown _1382353322.unknown _1382353412.unknown _1382353219.unknown _1382353154.unknown _1382352985.unknown _1382353012.unknown _1382352909.unknown _1382352669.unknown _1382352757.unknown _1382352859.unknown _1382352721.unknown _1382352629.unknown _1382352642.unknown _1382352606.unknown _1382351843.unknown _1382352023.unknown _1382352408.unknown _1382352499.unknown _1382352543.unknown _1382352427.unknown _1382352460.unknown _1382352039.unknown _1382352363.unknown _1382351912.unknown _1382351996.unknown _1382352017.unknown _1382351926.unknown _1382351895.unknown _1382351667.unknown _1382351717.unknown _1382351656.unknown _1382351574.unknown _1382351627.unknown _1382351556.unknown _1382351496.unknown _1382351535.unknown _1382351544.unknown _1382351525.unknown _1382350442.unknown