解析几何第四版吕林根课后习题答案第一章

第一章 矢量与坐标 §1.1 矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆 （3）直线； （4）相距为2的两点 2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心， 在矢量 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 和 中，哪些矢量是相等的？ [解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中， 相等的矢量对是： 图1-1 3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、 ＤＡ的中点，求证： ＝ . 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？ [证明]：如图1-2，连结AC, 则在(BAC中， KL AC. 与 方向相同；在(DAC中，NM AC. 与 方向相同，从而KL＝NM且 与 方向相同，所以 ＝ . 4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量： (1) 、 ; (2) 、 ; (3) 、 ; (4) 、 ; (5) 、 . [解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）； 互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。 §1.2 矢量的加法 1.要使下列各式成立，矢量 应满足什么条件？ （1） （2） （3） （4） （5） [解]：（1） 所在的直线垂直时有 ； （2） 同向时有 （3） 且 反向时有 （4） 反向时有 （5） 同向，且 时有 §1.3 数量乘矢量 1 试解下列各题． ⑴ 化简 ． ⑵ 已知 ， ，求 ， 和 ． ⑶ 从矢量方程组 ，解出矢量 ， ． 解 ⑴ ⑵ ， ， ． 2 已知四边形 中， ， ，对角线 、 的中点分别为 、 ，求 ． 解 ． 3 设 ， ， ，证明： 、 、 三点共线． 证明 ∵ ∴ 与 共线，又∵ 为公共点，从而 、 、 三点共线． 4 在四边形 中， ， ， ，证明 为梯形． 证明∵ ∴ ∥ ，∴ 为梯形． 6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量 , , 可 以构成一个三角形. [证明]： 从而三中线矢量 构成一个三角形。 7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明 + = + + . [证明] = 由上题结论知： 8. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明 + + + ＝4 . [证明]：因为 ＝ ( + ), ＝ ( + ), 所以 2 ＝ ( + + + ) 所以 + + + ＝4 . 9 在平行六面体 （参看第一节第4题图）中，证明 ． 证明 ． 10. 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 证明 已知梯形 ，两腰中点分别为 、 ，连接 、 ． ， ，∴ ，即 ，故 平行且等于 ． 11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分. [证明]：如图1-4，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点 但 由于 ∥ EMBED Equation.3 ∥ 而 不平行于 ， ， 从而OA=OC，OB=OD。 12. 设点O是平面上正多边形A1A2…An的中心，证明: + +…+ ＝ . [证明]：因为 ＋ ＝( , ＋ ＝( , …… + ＝( , ＋ ＝( , 所以 2( + +…+ ) ＝(( + +…+ ), 所以 ((－2)( + +…+ )＝ . 显然 (≠2, 即 (－2≠0. 所以 + +…+ ＝ . 13．在12题的条件下，设P是任意点，证明： 证明： 即 §1.4 矢量的线性关系与矢量的分解 1．在平行四边形ABCD中， （1）设对角线 求 解： ．设边BC和CD的（2）中点M和N，且 求 。 解： 2．在平行六面体ABCD-EFGH中，设 三个 面上对角线矢量设为 试把矢量 写成 的线性组合。 证明： ， ， 3. 设一直线上三点A, B, P满足 ＝( (((－1),O是空间任意一点，求证： ＝ [证明]：如图1-7，因为 ＝ － , ＝ － , 所以 － ＝( ( － ), (1+() ＝ +( , 从而 ＝ . 4. 在 中,设 EMBED Equation.3 . (1) 设 是边 三等分点,将矢量 分解为 的线性组合; （2）设 是角 的平分线(它与 交于 点),将 分解为 的线性组合 解：（1） ， EMBED Equation.3 ，同理 （2）因为 ＝ , 且 与 方向相同， 所以 ＝ EMBED Equation.3 . 由上题结论有 ＝ ＝ . 5．在四面体 中，设点 是 的重心（三中线之交点），求矢量 对于矢量 的分解式。 解： 是 的重心。 连接 并延长与BC交于P 同理 C O （1） G P （2） A B （3） （图1） 由（1）（2）（3）得 即 6．用矢量法证明以下各题 （1）三角形三中线共点 证明：设BC，CA，AB中，点分别为L，M，N。AL与BM交于 ，AL于CN交于 BM于CN交于 ，取空间任一点O，则 A A 同理 N M B L C 三点重合 O 三角形三中线共点 （图2） （第3页） 7．已知矢量 不共线，问 与 是否线性相关？ 证明：设存在不全为0的 ，使得 即 故由已知 不共线得 与假设矛盾， 故不存在不全为0的 ，使得 成立。所以 线性无关。 8. 证明三个矢量 ＝－ +3 +2 , ＝4 －6 +2 ， ＝－3 +12 ＋11 共面，其中 能否用 , 线性表示？如能表示，写出线性表示关系式. [证明]：由于矢量 , , 不共面，即它们线性无关. 考虑表达式 ( +( +v ＝ ，即 ( (－ +3 +2 )+( (4 －6 +2 )+v (－3 +12 ＋11 )＝ , 或 (－(+4(－3v) +(3(－6(＋12v) +(2(+2(＋11v) ＝ . 由于 , , 线性无关，故有 解得 (＝－10，(＝－1，v＝2. 由于 (＝－10(0，所以 能用 , 线性表示 ＝－ EMBED Equation.3 ＋ EMBED Equation.3 . 9．证明三个矢量 共面。 证明： 三个矢量线性相关，从而三个矢量共面。 － ＝(( － ), 所以 ＝( , 从而 // . 故 A，B，C三点共线. §1.5 标架与坐标 3. 在空间直角坐标系{O; }下，求P(2,－3,－1)，M(a, b, c)关于 (1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标. [解]：M (a, b, c)关于xOy平面的对称点坐标为(a, b, －c)， M (a, b, c)关于yOz平面的对称点坐标为(－a, b, c)， M (a, b, c)关于xOz平面的对称点坐标为(a,－b, c)， M (a, b, c)关于x轴平面的对称点坐标为(a,－b,－c)， M (a, b, c)关于y轴的对称点的坐标为(－a, b,－c)， M (a, b, c)关于z轴的对称点的坐标为(－a,－b, c). 类似考虑P (2,－3，－1)即可. 8. 已知矢量 , , 的分量如下： (1) ＝{0, －1, 2}， ＝{0, 2, －4}， ＝{1, 2, －1}； (2) ＝{1, 2, 3}， ＝{2, －1, 0}， ＝{0, 5, 6}. 试判别它们是否共面？能否将 表成 ， 的线性组合？若能表示，写出表示式. [解]:(1) 因为 ＝0,所以 , , 三矢量共面, 又因为 , 的对应坐标成比例，即 // ，但 ， 故不能将 表成 , 的线性组合. (2) 因为 ＝0,所以 , , 三矢量共面. 又因为 , 的对应坐标不成比例，即 ， 故可以将 表成 , 的线性组合. 设 ＝( +( , 亦即{0, 5, 6}＝({1, 2, 3}+({2, －1, 0} 从而 解得 (＝2，(＝－1, 所以 ＝2 － . 7．已知A,B,C三点坐标如下： （1）在标架 下， （2）在标架 下， EMBED Equation.3 判别它们是否共线？若共线，写出 和 的线形关系式. 解：（1）因为 所以 共线 （2） 设 ，但 不存在 所以 不共线. 得 所以 . 9. 已知线段AB被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点A与B的坐标. 答 A(-1,2,4),B(8,-4,2). 10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来. [证明]：设四面体A1A2A3A4,Ai对面重心为Gi, 欲证AiGi交于一点(i＝1, 2, 3, 4). 在AiGi上取一点Pi，使 ＝3 , 从而 ＝ ， 设Ai (xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，则 G1 , G2 , G3 , G4 , 所以 P1( , , ) (P1( , , ). 同理得P2(P3(P4(P1，所以AiGi交于一点P，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍. §1.6 矢量在轴上的射影 1．已知矢量 与单位矢量 的夹角为 ，且 ，求射影矢量 与射影 ，又如果 ，求射影矢量 与射影 . [解] 射影 = 射影矢量 = 射影 = 射影矢量 = 2试证明：射影l(( ( +…+(n )＝(1射影l + 射影l +…+(n射影l . [证明]：用归纳法来证. 当n＝2时，有 射影l((1 (2 )＝射影l( )+射影l( )＝(1射影l +(2射影l . 假设当n＝k时等式成立，即有 射影l( )＝(1射影l +…+(k射影l . 欲证当n＝k+1时亦然. 事实上 射影l( ) ＝射影l[( )+ ] ＝射影l( )+射影l( ) ＝(1射影l +…+(k射影l +(k+1射影l 故等式对自然数n成立. §1.7 两矢量的数性积 1．证明： （1） 矢量 垂直于矢量 EMBED Equation.DSMT4 ； （2）在平面上如 果 ，且 EMBED Equation.3 ＝ ( (i=1,2)，则有 ＝ . 证明：（1） ∵ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 = ∴矢量 垂直于矢量 EMBED Equation.DSMT4 （2） 因为 ,所以，对该平面上任意矢量 ＝( ＋( , ( － )( ＝( － )(( ＋( ) ＝( ( － )+( ( － ) ＝(( EMBED Equation.3 － EMBED Equation.3 )+(( EMBED Equation.3 － EMBED Equation.3 )＝0, 故 ( － )( . 由 的任意性知 － ＝ . 从而 ＝ . 2．已知矢量 互相垂直，矢量 与 的夹角都是 ，且 计算： [解]： 计算下列各题 （1）已知等边△ 的边长为 且 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 求 ； 已知 两两垂直 且 EMBED Equation.DSMT4 求 的长和它与 的夹角 已知 与 垂直，求 的夹角 已知 问系数 取何值时 与 垂直？ 解 ∵ ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ∵ 且 设 ∴ EMBED Equation.DSMT4 设 与 的夹角分别为 ∴ ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，即 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，即 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 得： EMBED Equation.DSMT4 得： ∴ ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ∴ 页后 4. 用矢量法证明以下各题： (1) 三角形的余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA; (2) 三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距. 证明：（1）如图1-21，△ABC中，设 ＝ , ＝ , ＝ ， 且| |＝a，| |＝b,| |＝c. 则 ＝ － , 2＝( － )2＝ 2+ 2－2 ( ＝ 2+ 2－2| || |cosA. 此即 a2＝b2+c2－2bccosA. (2) 如图1-22，设AB, BC边的垂直平分线PD, PE相交于P, D, E, F为AB, BC, CA的中点, 设 ＝ , ＝ , ＝ , 则 ＝ － , ＝ － , ＝ － , ＝ ( + ), ＝ ( ＋ ). 因为 ( , ( , 所以 ( + )( － )＝ ( 2－ 2)＝0, ( + )( － )＝ ( 2－ 2)＝0, 从而有 2＝ 2＝ 2, 即 | |2＝| |2＝| |2, 所以 ( ＋ )( － )＝ ( 2－ 2)＝0, 所以 ( , 且 | |＝| |＝| |. 故三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距. 已知平行四边形以 ﹛1，2，-1﹜， ﹛1，-2，1﹜为两边 求它的边长和内角 求它的两对角线的长和夹角 解： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ∴ 或 EMBED Equation.DSMT4 ， . ∴ 已知△ 的三顶点 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 试求： △ 三边长 △三内角 三中线长 角 的角平分线矢量 （中点在 边上），并求 的方向余弦和单位矢量 解： ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ∴ EMBED Equation.DSMT4 ∴ ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ∴ EMBED Equation.DSMT4 ∴ =﹛ ﹜ ∴ ， ， 设它的单位矢量为﹛ ﹜，且 ∴﹛ ﹜=﹛ ﹜ §1.8 两矢量的失性 1.已知 , EMBED Equation.DSMT4 试求: EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 解: EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ∴ 4. 原式= . 原式= EMBED Equation.DSMT4 =9 2. 证明： （1）( ( )2≤ 2( 2，并说明在什么情形下等号成立. （2） 如果 + + ＝ ，那么 ( ＝ ( ＝ ( ，并说明它的几何意义. 如果 , .那么 与 共线. 如果 那么, 共面. 证明: （1） ( ( )2＝| ( |2＝| |2| |2sin2(( , ) ≤| |2| |2＝ 2( 2. 要使等号成立, 必须sin2(( , )＝1, 从而sin(( , )＝1, 故(( , )＝ ，即当 ( 时，等号成立. （2）由 + + ＝ , 有 ( + + )( ＝ ( ＝ , 但 ( ＝ ， 于是 ( + ( ＝ , 所以 ( ＝ ( . 同理 由 ( + + )( ＝ , 有 ( ＝ ( , 从而 ( ＝ ( ＝ ( . 其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等. ∵( ) ( )= = = ∴ 与 共线. EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 =0 ∴ 0 ∴ 共面 3. 如果非零矢量 (i＝1,2,3)满足 ， ＝ ( ， ＝ ( ，那么 , , 是彼此垂直的单位矢量，并且按这次序构成右手系. [证明]：由矢性积的定义易知 , , 彼此垂直，且构成右手系. 下证它们均为单位矢量. 因为 ＝ ( ， ＝ ( , 所以 | |＝| || |, | |＝| || |, 所以 | |＝| |2| |. 由于 | |(0，从而 | |2＝1，| |＝1. 同理可证 | |＝1，| |＝1. 从而 , , 都是单位矢量. 4.已知: , 求与 , 都垂直,且满足下列条件的矢量 : EMBED Equation.DSMT4 为单位矢量 EMBED Equation.DSMT4 ,其中 EMBED Equation.DSMT4 . 解: 设 .∵ EMBED Equation.DSMT4 =0 ∴ =0 =1 由 , , 得: 设 .∵ ∴ =10 由 , , 得: . 5. 在直角坐标系内已知三点 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ,试求: 三角形 的面积 三角形 的三条高的长. 解: , , = , . . EMBED Equation.DSMT4 , , . ∴ , , . 6.已知: , 试求: 以 为边的平行四边形的面积. 这平行四边形的两条高的长. 解: EMBED Equation.DSMT4 ∵ ∴ ∴ EMBED Equation.DSMT4 ∴ . 7. 用矢量方法证明： （1）三角形的正弦定理 ＝ ＝ . （2）三角形面积的海伦(Heron)公式，即三斜求积公式： (2＝p(p－a)(p－b)(p－c). 式中p＝ (a+b+c)是三角形的半周长，(为三角形的面积. [证明]： (1) 如图1-13，在△ABC中，设 ＝ ， ＝ ， ＝ ， 且| |＝a，| |＝b, | |＝c, 则 + + ＝ , 从而有 ( ＝ ( ＝ ( , 所以 | ( |＝| ( |＝| ( |, bcsinA＝casinB＝absinC, 于是 ＝ ＝ . (2) 同上题图，△ABC的面积为 (＝ | ( |, 所以 (2＝ ( ( )2. 因为 ( ( )2+( ( )2＝ 2 2, 所以 (2＝ [ 2 2－( ( )2]. 由于 + + ＝ , 从而 + ＝－ ，( ＋ )2＝ 2, 所以 EMBED Equation.3 ＝ ( 2－ 2－ 2)＝ (c2－a2－b2), 故有 (2＝ [a2b2－ (c2－a2－b2)2] ＝ [2ab－(c2－a2－b2)][2ab+(c2－a2－b2)] ＝ [(a+b)2－c2][ 2－(a－b)2] ＝ (a+b+c)(a+b－c)(c+a－b)(c－a＋b) ＝ (2p((2p－2c)(2p－2b)(2p－2a). 所以 (2=p(p(a)(p(b)(p(c), 或 (= . §1.9 三矢量的混合积 1. 设 , , 为三个非零矢量，证明 (3) ( , , +( +( ) =( , , ); (4 ) ( ＋ , ＋ , ＋ ) =2( , , ). [证明]：(1)左端=( ( )(( +( +( ) =( ( )( +( ( )((( )+( ( )((( ) =( ( )( +(( ( )( +(( ( )( =( EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 )+(( EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 )+(( EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ) =( EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 )=右端. (2) 左端=[( + )(( + )](( + ) =[ ( + ( + ( ](( + ) =( ( )( +( ( )( +( ( )( +( ( )( +( ( )( +( ( )( =( EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 )+( EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 )=2( EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 )=右端. 2． 设径矢 , , , 证明 ＝( )＋( )＋( ) 垂直于ABC平面. [证明]:由于 = ([ ] = = , 所以 . 同理可证 . 所以 (平面ABC. 3． = + + , + + , = + + , 试证明 ( )= ( , , ). [证明]： ( = ( ( )+ ( ( )+ ( ( ) ( )=( ( )( = c3( ( )( + a3( ( )( + b3( ( )( = ( ( )( = ( , , ). 4.已知直角坐标系内矢量 的分量,判别这些矢量是否共面?如果不共面,求出以它们为三邻边作成的平行六面体体积. EMBED Equation.DSMT4 , , . EMBED Equation.DSMT4 , , . 解: 共面 ∵ = ∴向量 共面 不共面 ∵ = ∴向量 不共面 以其为邻边作成的平行六面体体积 5. 已知直角坐标系内 四点坐标,判别它们是否共面?如果不共面,求以它们为顶点的四面体体积和从顶点 所引出的高的长. ⑴ ; ⑵ . 解: ⑴共面. ⑵ 又 , 顶点 所引出的四面体高为 . §1.10 三矢量的双重矢性积 1. 在直角坐标系内,已知 求 和 . 解 = - = = = - = EMBED Equation.3 2. 证明 对于任意矢量 下式成立: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 证 左式= EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 3. 证明 = 证 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 4. 证明 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 证 =[ ] = . = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 5. 证明 共面的充要条件是 , , 共面. 证 , , 共面的 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 =0 EMBED Equation.3 共面. 6. 对于任意矢量 ,证明 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 证 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 A F B E C O 图1—3 图1-4 图1-5 � EMBED Word.Picture.8 ��� 图1-7 图1-11 图1-12 图1-13 _1179091459.unknown _1239970705.unknown _1240037425.unknown _1240040016.unknown _1240043465.unknown _1240043886.unknown _1240044543.unknown _1240044805.unknown _1240061722.unknown _1240044891.unknown _1240044737.unknown _1240044292.unknown _1240044501.unknown _1240044036.unknown _1240043818.unknown _1240040507.unknown _1240040969.unknown _1240041258.unknown _1240041408.unknown _1240041485.unknown _1240041730.unknown _1240041355.unknown _1240041205.unknown _1240041243.unknown _1240041162.unknown _1240040778.unknown _1240040884.unknown _1240040539.unknown _1240040608.unknown _1240040407.unknown _1240040185.unknown _1240038302.unknown _1240038723.unknown _1240039624.unknown _1240039884.unknown _1240039501.unknown _1240039566.unknown _1240039422.unknown _1240039341.unknown _1240039404.unknown _1240039128.unknown _1240038617.unknown _1240038624.unknown _1240038354.unknown _1240038388.unknown _1240037927.unknown _1240038117.unknown _1240038250.unknown _1240037986.unknown _1240037615.unknown _1240037768.unknown _1240037489.unknown _1239972940.unknown _1240036587.unknown _1240037082.unknown _1240037316.unknown _1240037363.unknown _1240037287.unknown _1240036899.unknown _1240037043.unknown _1240036688.unknown _1240036205.unknown _1240036332.unknown _1240036386.unknown _1240036284.unknown _1240035961.unknown _1240036070.unknown _1240035120.unknown _1240035558.unknown _1240035914.unknown _1240035441.unknown _1239973140.unknown _1239971962.unknown _1239972487.unknown _1239972722.unknown _1239972822.unknown _1239972548.unknown _1239972173.unknown _1239972410.unknown _1239971982.unknown _1239971391.unknown _1239971851.unknown _1239971860.unknown _1239971811.unknown _1239970928.unknown _1239971116.unknown _1239971221.unknown _1239971133.unknown _1239971046.unknown _1239971091.unknown _1239971006.unknown _1239970862.unknown _1239970894.unknown _1239970769.unknown _1239959227.unknown _1239968126.unknown _1239969756.unknown _1239970314.unknown _1239970443.unknown _1239970683.unknown _1239970576.unknown _1239970344.unknown _1239970346.unknown _1239969943.unknown _1239970074.unknown _1239970298.unknown _1239970172.unknown _1239969981.unknown _1239969916.unknown _1239969841.unknown _1239969041.unknown _1239969538.unknown _1239969579.unknown _1239969589.unknown _1239969755.unknown _1239969543.unknown _1239969471.unknown _1239969507.unknown _1239969495.unknown _1239969409.unknown _1239969411.unknown _1239969446.unknown _1239969371.unknown _1239969170.unknown _1239968610.unknown _1239968743.unknown _1239968904.unknown _1239969012.unknown _1239968834.unknown _1239968709.unknown _1239968656.unknown _1239968500.unknown _1239968595.unknown _1239968390.unknown _1239960418.unknown _1239963575.unknown _1239966341.unknown _1239967012.unknown _1239967502.unknown _1239967692.unknown _1239967807.unknown _1239968024.unknown _1239967865.unknown _1239967702.unknown _1239967517.unknown _1239967606.unknown _1239967295.unknown _1239967395.unknown _1239967143.unknown _1239966693.unknown _1239966732.unknown _1239966805.unknown _1239966851.unknown _1239966764.unknown _1239966695.unknown _1239966395.unknown _1239966669.unknown _1239966366.unknown _1239964425.unknown _1239965186.unknown _1239965661.unknown _1239965805.unknown _1239966050.unknown _1239966314.unknown _1239965851.unknown _1239965883.unknown _1239965695.unknown _1239965729.unknown _1239965309.unknown _1239965550.unknown _1239965602.unknown _1239965241.unknown _1239964640.unknown _1239964924.unknown _1239964982.unknown _1239964496.unknown _1239964516.unknown _1239964579.unknown _1239964463.unknown _1239963812.unknown _1239964343.unknown _1239964386.unknown _1239963876.unknown _1239963658.unknown _1239963763.unknown _1239963588.unknown _1239961921.unknown _1239962939.unknown _1239963289.unknown _1239963439.unknown _1239963134.unknown _1239963273.unknown _1239963285.unknown _1239963230.unknown _1239962996.unknown _1239962300.unknown _1239962786.unknown _1239962840.unknown _1239962648.unknown _1239962666.unknown _1239962378.unknown _1239962235.unknown _1239962286.unknown _1239962187.unknown _1239960884.unknown _1239961471.unknown _1239961718.unknown _1239961804.unknown _1239961106.unknown _1239961291.unknown _1239961202.unknown _1239961085.unknown _1239960689.unknown _1239960460.unknown _1239960508.unknown _1239960051.unknown _1239960276.unknown _1239960389.unknown _1239960127.unknown _1239960220.unknown _1239960234.unknown _1239960160.unknown _1239960064.unknown _1239959616.unknown _1239959929.unknown _12399599