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Lebesgue积分和Lebesgue的理论

2012-01-12 7页 pdf 303KB 80阅读

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Lebesgue积分和Lebesgue的理论 Lebesgue积分和 Lebesgue的理论 Abrat Chen, pku 作为日志,写得比较随意,希望不会造成误导。。 一 2011 年刚刚过去,当我想起自己到底在 2011 年收获了什么的时候,总是能够想起许多的失败的经历,而 其余的收获又几乎微不足道,唯一聊以自慰的或许只有我幸运地对于 Lebesgue 的美妙理论有所了解。我 真的很喜欢这个理论,或许是因为我喜欢公理化的东西,这也许可以解释我的物理的悲剧。。 整个过程持续的时间很长,从 2011 年的春季,那时候在看一本书,但是学得很不明白...
Lebesgue积分和Lebesgue的理论
Lebesgue积分和 Lebesgue的理论 Abrat Chen, pku 作为日志,写得比较随意,希望不会造成误导。。 一 2011 年刚刚过去,当我想起自己到底在 2011 年收获了什么的时候,总是能够想起许多的失败的经历,而 其余的收获又几乎微不足道,唯一聊以自慰的或许只有我幸运地对于 Lebesgue 的美妙理论有所了解。我 真的很喜欢这个理论,或许是因为我喜欢公理化的东西,这也许可以解释我的物理的悲剧。。 整个过程持续的时间很长,从 2011 年的春季,那时候在看一本书,但是学得很不明白。真正有所感触, 大概要到 9 月份,那时候在抽象测度论上还是比较磕绊,再后来,鼓起勇气在数分面试的时候想谈谈自己 学习这些东西的历程和,逼自己把这套优美的理论能够彻底搞明白。虽然我觉得在面试的时候自己讲 的不好,但是,对于自己学习这套理论来说,效果非常得好,很多没有想明白的东西终于想明白了。所以, 我得到这样一种印象,学习一个东西或许可以试试用自己的语言说给身边的老师同学朋友。 我看的书是 Friedman 的 Foundations of Modern Analysis,包含了实变和泛的内容,关于实变的部分, 组织材料的方法非常奇怪,它先将\sigma-代数,然后讲抽象的公理化的外测度(可以初步地认为外测度和 测度都是长度或者面积的推广),然后是公理化的抽象的测度,接着推出的 Caratheodory 的定理,这条 非常要紧,就是说每个外测度都可以诱导出一个测度,只不过要限制在一部分集合上,这些集合叫做可测 集。什么意思呢?外测度是大的集合 X(可以具体地想成是欧氏空间神马的)的所有子集都有定义的(比 如欧氏空间的所有子集都有外测度),但是外测度的公理说了这么三条: 首先它是从 X的幂集(X的全体子集的集合)到非负实数的映射。 (1)空集的外测度是 0 (2)F 是 E的子集,于是 F 的外测度小于等于 E的外测度(这条叫做单调性) (3)次可数可加性,就是说 A可以写成 En 的并,En 是集合序列(当然是可数个咯),那么 A的外测度 小于等于 En 各自的外测度之和(这个和当然是一个非负无穷级数) 这三条都是非常自然的,第三条或许会有些疑虑,其实也很自然,因为 En 之间可能有交集的,外测度可 以想成是长度或者面积的推广,计算 A的外测度的时候,这些重叠部分只被算了一次,而计算 En 的外测 度之和的时候,它们都分别被算了,也就是说,被重复计算了,当然会大。 但是外测度有很严重的缺陷,就是,它没有可加性,就是说,我们期待着两个集合 A,B不交,那么 A并 B的长度应该是它们长度之和。所以引入测度的公理: (1)空集的测度是 0 (2)可数可加性,这个性质比刚才举的这个 A和 B的例子还好,现在是说 En 是集合列,En 两两不交, 那么它们的测度之和等于它们的并(这个并是不交并)的测度。 这就非常好的。那么外测度和测度到底什么关系(当然这么说还是太抽象了,这个时候,可以看看 Lebesgue 外测度的定义,它这样定义的,现在拿一维欧氏空间做例子,n 维欧氏空间类似的也有 Lebesgue 外测度: 定义集合 E的 Lebesgue 外测度为,u*(E)=inf { \sigma_n (b_n - a_n) | (a_n,b_n)是一列开区间,并且覆盖 了 E} 其中取下确界是对所有的覆盖取下确界。学习过数学分析其实就可以很容易地验证它满足外测度公理,然 而它没有可加性(有一个经典例子,基本所有书来会给出,通过区间[0,1]上的等价关系 a~b 当且仅当 a-b 是有理数,这个等价关系诱导出[0,1]的划分,然后用选择公理从每个等价类中选出一个来,就可以验证它 没有可加性。之和可以知道,这个集合是一个 Lebesgue 不可测集,是由 Sierpinski给出的) 那么,怎么从外测度得到测度呢,这就是 Caratheodory 定理的内容: 首先定义什么叫 u*-可测: 设 u*是 X(可以想成欧氏空间)的一个外测度(就是满足外测度的公理),定义 E是 u*可测的如果它满 足 对于任意的集合 T,有 u*(T) = u*(E\T) + u*(E交 T) 这个定义可能很不自然。其实大家可以看到,它已经有可加性的影子了。其实最早 Lebesgue 不是这么定 义可测的,它用了外测度和内测度(和外测度对偶的一个概念,其实不完全是),外测度是从外面去覆盖, 内测度可以认为从内部去扩张(当然,不完全对,Lebesgue 当时是用外测度定义内测度的,即假设 E包 含在区间[a,b]中,则 E的内测度=u*([a,b])-u*([a,b] \ E),可以想象成是 E的内部有一列区间,然后它的内 测度就是这些区间的和的上确界)。Lebesgue 定义,如果它可测当且仅当它的外测度等于内测度。可以 证明,它和这里的可测定义是等价的。但是它有致命缺点,就是说一般的抽象空间怎么定义外测度,第二, 如果集合无界怎么办,第三,最糟糕的是,当外测度可加的时候,内测度一定可加,反之却不然(这条我 木有仔细想过)。 Caratheodory 定理就说: X上的所有 u*可测集组成的集合是有(代数)结构的,它是一个\sigma-代数,记为 a,即全体可测集的集 合。并且 u*限制在 a 上是测度(就具有可数可加性了)。 首先,这么是\sigma-代数,它是这么定义的: 定义 a 是 X的幂集的子集(就是说 a 包含了 X的一些子集),定义 a 是\sigma-代数如果它满足: (1)空集属于 a (2)如果 E属于 a,那么 E的补也属于 a (3)A对于可数的并运算封闭,就是说 E_n 都属于 A,那么它们的并(这是可数并,而且不要求不交) 就属于 a 其实,就可以很容易地推出 X也属于 A,并且,A对可数并交补的各种混合运算全部封闭(交可以用补和 并来表示,就很容易可以验证了)。(下面扯点代数内容,如果把并运算看作加法,把对称差运算看作乘 法,a 实际上代数上的环,也能是把并看作乘法,对称差看作加法,,有点忘了。。一会儿验证下) Caratheodory 定理的证明不难,但是很重要。由它就可以知道,由 Lebesgue 外测度(上面已经给出了它 的定义)可以得到一个限制在可测集类 a(它是一个\sigma-代数)上测度,它就是 Lebesgue 测度。 有几点需要指出: Lebesgue 可测集类对于可数并交补的混合运算全部封闭,而且,在后面就可以知道,所有开集都是可测 的(从 Lebesgue 外测度是一个度量外测度可以推出),所以,想构造一个不可测集非常难,因为,它对 于这些集合的运算都封闭了,肿么办?当年数学界曾有一段时间,找不到一个 Lebesgue 不可测集, Lebesgue 本人虽然断言不可测集一定存在,但是,他也做不出来。。。不可测集的例子,刚才所列出的 Sierpinski的例子就是一个,当然不是最早的,后来掌握了不可测集的构造方法,就有了 Banach-Tarski 分球怪论,把一个球分成有限块,然后重新组合,可以变成两个一样大的球,当然,那些部分都是不可测 的) 另外,很容易验证的事实就是,如果 E的外测度是 0,那么 E的所有子集(包括 E自己)一定可测,并且 是零测集(测度是 0),如果测度对于所有这样的集合 E(即满足外测度是 0 的条件的 E)都成立,那么 就说,这个测度是完备的。很容易验证,由 Caratheodory 定理给出的由外测度诱导的测度都是完备的, 特别地,Lebesgue 测度是完备的。 这就扯出一段轶事来,最早是有 Borel测度的,但是不完备,而 Lebesgue测度是它的完备化,就是说, 每一个 Lebesgue 可测集都可以写成一个 Borel可测集并上一个零测集,反之亦然,能写称这样形式的都 是 Lebesgue可测的。于是,Borel(1871-1956,是 Lebesgue的老师,只比Lebesgue大 4岁,但是 Lebesgue 1875-1941,早于他的老师 15 年就离开人世)说:“Lebesgue 的贡献仅在于零测集。”于是二人反目了。。 在 20 年代的时候,Lebesgue 理论已经获得公认,他们争着评法国科学院的院士(其实我认为 Borel的成 就不亚于 Lebesgue),名额只有一个,他们争吵不休,甚至相互辱骂,最后的结果是。嗯,我先去吃饭 去了,下次再说。 二 前文提到了 Lebesgue 和他的老师 Borel的争端,两个人在争夺一个法国科学院院士的名额,最后的结果 是,额,两个人都评上了有木有!! 现在我觉得,如果每一天的下午都能很闲暇地翻一翻这些书,这样的生活也很快乐。在考试周的时候,虽 然关于数学的考试都已经过去,但是,觉得实在复习不下去或许常常感到很悲观的时候,翻一翻这些书, 看看我喜欢的 Lebesgue 和他的奇妙定理,就会感到特别地平静。Fermat 猜想(也就是后来成为 Fermat 大定理的那个命题)曾经救过一个悲观厌世的人的生命,他曾经打算结束自己,但那时他看到了 Fermat 猜想,他努力去探寻,最后他发现人间还有很多很奇妙的东西,他没有自杀,捐了一笔钱作为给解决这个 问题的人的奖励。 Friedman的书里面在讲完Caratheodory的定理之后,也就是在揭示了外测度和它诱导的测度的联系之后, 告诉我们如何在抽象的集合 X(而不仅仅是欧氏空间)上构造外测度。 我们可以回忆以下 Lebesgue 外测度的做法,它是对于所有 E的开区间覆盖里面取个下确界。利用覆盖的 办法,就可以在抽象的空间上也建立外测度。在 Lebesgue 外测度的定义中,我们注意到这么几点: (1)欧氏空间的开区间是能够覆盖 R上的任何集合的(当然,只要验证它能覆盖 R即可,不妨取(n,n+2), n 取遍所有的整数,这样就显然可以覆盖 R,覆盖 R的所有子集也就不在话下,而且,后来可以知道,这 是\sigma-有限的,英文是\sigma-finite,就是说,虽然 R本身的外测度或者测度是无穷的,但是它可以被 测度有限的可数个集合盖住,这就是\sigma-有限,这里的\sigma 可以理解为可数,不妨想想表示无穷级 数时的求和号,那个大\Sigma) (2)这些开区间,我们事先赋予了长度,就是,我们认为区间(a,b)的长度是 b-a 这样就可以得到一般的构造外测度的方法。首先有一个叫 sequential covering class(不知道中文怎么翻 译),这个东西就类似于开区间族(开区间的集合),如果一个 X的幂集的子集 K满足以下条件就说它是 一个 sequential covering class: (1)空集属于 K (2)X的任何子集 E,都可以从 K中选取可数个元素(这些元素都是 X的子集)把它盖住 这些实际上就是 R上的开区间族的抽象。 然后,我们要给 K中的元素 E赋予长度\lambda(E),这就好比给开区间赋予长度 b-a 一样。这个\lambda 是 从 K到非负实数的映射。这样,就可以造出 X上的外测度了 对于任意的 X的子集 E, 定义 u*(E) = inf { \sum_n \lambda (E_n) | E_n 都是 K的元素,并且 E_n 的并覆盖 E } 是对于所有的覆盖取下确界。由刚才的 Caratheodory 定理,就可以得到一个限制在可测集类 a(它是一个 \sigma-代数)上的测度 u。 现在 Lebesgue 测度就成为一个特例的,就是 K取开区间族,\lambda (a,b) = b-a,这样得到的外测度。 从而又诱导出 Lebesgue 测度。其实欧氏空间上还可以有别的测度,比如 Lebesgue-stieltjes测度。它的 K 依然是开区间族,而\lambda (a,b) = f(b) - f(a) ,f是单调递增的右连续的函数。这样得到 Lebesgue-stieltjes 外测度,进而得到 Lebesgue-stieltjes测度。高维欧氏空间的 Lebesgue 外测度怎么来呢?可以把 K取成 半开半闭的开矩体(就是那些长方体一样的),\lambda 就是它们的体积,就是每一维长度的乘积。 其实现在已经足够定义积分了。但是,这时候 Friedman 的书里面讲了以下度量外测度。什么是度量外测 度?如果 u*是度量空间(X,d)上的一个外测度,如果它还满足当 A,B的距离 inf_{x \in A, y \in B} d(x,y)>0 时,有 u*(A并 B) = u*(A) + u*(B),就称它是一个度量外测度。有以下两个定理(具体证明不难,但是, 用纯文本打公式太悲剧了): 定理 1:u*是度量空间(X,d)上的外测度,那么它是度量外测度的充分必要条件是所有开集都可测(注意到 如果有度量,就有了度量诱导的拓扑,开集闭集的概念就有了) 定理 2:欧氏空间的 Lebesgue 外测度是度量外测度 定理的证明真心不难,当然我自己还是看了很久才明白。 下面可以谈谈抽象的测度的性质:(注意,只要它满足测度的公理,这些就都对) 有很多性质,比如它对于递增的集合列有连续性,就是说 E_n 都可测,并且是单调递增的集合列,那么, 它们会收敛到它们的并 E,那么 E的测度等于 lim u(E_n),也就是说 lim u(E_n) = u (lim E_n)。对于递减 集合列也有连续性,但是有条件,必须某一个集合 E_n0 的测度是有限的,否则有反例,比如欧氏空间的 (n,+\infty),它是递减列,极限是空集,测度是 0,而这些集合每一个的测度都是无穷(这其实也是后来 Egroff 定理要求测度有限的原因)。 如果测度有限,那么对递增集合列和递减集合列都有连续性了,于是,对于集合的极限也有连续性的(回 忆一下集合的上下极限就知道了) ============================================================================== === 下面其实就可以谈 Lebesgue 积分了。Friedmann 的书似乎要把抽象坚持到底,它讲的是测度空间(X,a,u) 上关于测度 u 的积分,从而 Lebesgue积分成为了特例。(神马是测度空间,实际上就是把集合 X,测度 u,以及可测集类 a,它是一个\sigma-代数,组成一个三元组就是一个测度空间)。 最后扯点八卦。当时啊,Lebesgue在 1902在他的博士论文里面给出了一出现就已经达到完善的 Lebesgue 积分理论,但是二十年以来才被承认。像 Hermite 就认为 Lebesgue 的理论,尤其他对于不可微的东西研 究很恶心,破坏了数学的美感。Hermite(学物理的孩纸都知道的厄米算符,就是他了)妨碍 Lebesgue 发表论文,当时 Lebesgue 也很受孤立。他想和分析学家讨论问题的时候,他们就会说:“你不会感兴趣的, 我们在研究有导数的函数”,而几何学家则对他说:“我们在研究有切平面的曲面”。poor Lebesgue。下次 再谈。 三 之前的两篇日志的内容就花了很长的时间去理解,到了 10 月份左右才知道它在说些什么。 下面就可以谈谈 Lebesgue 积分了。 不妨想一想为什么要谈刚才所谈到的测度?其实,它的重要作用就是,引入 Lebesgue 积分。Lebesgue 积分是以测度作为基础的。为什么要引入 Lebesgue 积分,我觉得有这样一些原因: (1)Riemann 积分的可积性对于连续性要求非常高。有 Lebesgue 定理: [a,b]上的有界函数 f,它是 Riemann 可积的充分必要条件是它的不连续点是零测集。 这句话就是说,它几乎处处连续(说某个命题 P几乎处处成立就是说它不成立的点是零测集,几乎处处缩 写为 a.e,almost everywhere)。 (2)极限定理非常不好。比如即使的单调上升的非负的 R可积函数列,它即使一致有界都不能保证它的 极限函数 R可积。极限和积分的换序条件要求非常高。 (3)微积分基本定理要求太强,要求 f可导,并且导函数 f'可积,才有\int f' = f(b) - f(a) (4)重积分的理论非常不好。 很神奇的一点是,Lebesgue 积分克服了 R积分的缺点,一切都变得很容易。 下面就开始谈测度空间(X,a,u)上的积分。Lebesgue 积分就是它的特例的,把 X取成欧氏空间,u 取成 Lebesgue 测度。 很重要的一点,L 积分是对所谓可测函数定义的。 现在所谈的函数都是从 X到R的函数,如果对于任意的 t, f -^1 (t,+\infty)是可测集,那么就说 f是可测函数。 其中 f -^1(E) = {x| f(x) \in E },就是 E的原像集,并不意味着 f可逆。 函数可测有很多等价条件,对于任意的 t,(t,+\infty)的原像集可测就等价于(-\infty, t]的原像集可测,又等价 于(-\infty, t)的原像集可测,又等价于(-\infty, t)的原像集可测,又等价于[t,+\infty)的原像集可测,又等价于 所有区间的原像集可测。 可测函数中有一类叫简单函数(很像 R积分里的阶梯函数):如果 f是 E上的简单函数,如果 E有一个划 分 En(En 的并是 E,且 En 两两不交,En 都可测),注意,这里 En 是有限个,f在每个 En 上都是常值。 一个重要结论就是: 非负的可测函数 f都可以找到一列简单函数 f_n 逐点收敛到 f。特别地,当 f有界时,可以一致收敛到 f。 把可测函数 f写成正部和负部(显然正部和负部也可测),就可以证明,可测函数 f都可以有简单函数逐 点逼近,当它有界时,逼近可以是一致的。这就是 L 积分的基础。在这里,用到了函数的可测性。在证明 这个定理的时候,需要对 f的值域进行划分,这就是常常说的 L 积分是划分值域的原因。 可测函数有很重要的三个极限定理: Egroff Thm: 测度空间(X,a,u),如果 u(X)有限,如果可测函数 fn 几乎处处收敛到 f,那么除去测度任意小 的集合外,fn 在剩下的集合上是一致收敛到 f(在除了测度任意小的集合外一致收敛一般称为几乎一致收 敛,almost uniform) Lusin Thm:f是 E上可测函数,那么 f限制在 E的闭子集 F 上是连续函数。其中 E\F 的测度可以任意小。 Riesz Thm:(牵扯到依测度收敛,不多提)依测度收敛的可测函数列 fn 必有几乎一致收敛的子列 ============================================================================== == 积分的定义: 这是经典的三步走路线,先定义简单函数的积分,然后是非负函数的积分,然后是一般的可测函数的积分。 简单函数 f的积分就定义为\sum a_n m(E_n)。其中 f在 E_n 上取值就是 a_n。这个定义非常自然。 非负函数的积分:\int f = sup{ \int f*|f*是非负的简单函数,并且 f* \leq f} 这个取上确界是对所有这样的非负简单函数取上确界。之前我们已经定义了非负函数的积分了。 我们为什么不找一列非负简单函数逼近 f,然后把它们的积分的极限定义为 f的积分呢?当然这样定义和这 个定义是等价的,但是,需要验证这和非负简单函数序列的选取是无关的。还有一个等价定义就是传说中 直接分割值域,把值域分成 0
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