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高考中二面角大小的求法

2012-01-16 3页 doc 30KB 90阅读

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高考中二面角大小的求法 高考中二面角大小的求法     二面角的大小,是高中数学的重点与难点,同时也是高考的热点,常考常新,其求法各式各样,尤其是向量法出现之前的高考,得凭借某些技巧,根据定义构造平面角,有时难度还是很大的,但通过现象看本质,我们也可以引申出一些求二面角大小的模式——定义法、三垂线法、垂面法等,另外还有求二面角大小的通法——向量法。本文结合高考题,来谈谈这几种方法的应用,希望大家在考试过程中迅速识别模式,快速求出二面角的大小。     一、定义法     二面角平面角的定义有三个条件:1、顶点在棱上;2、边分别在两个半平面内。3...
高考中二面角大小的求法
高考中二面角大小的求法     二面角的大小,是高中数学的重点与难点,同时也是高考的热点,常考常新,其求法各式各样,尤其是向量法出现之前的高考,得凭借某些技巧,根据定义构造平面角,有时难度还是很大的,但通过现象看本质,我们也可以引申出一些求二面角大小的模式——定义法、三垂线法、垂面法等,另外还有求二面角大小的通法——向量法。本文结合高考题,来谈谈这几种方法的应用,希望大家在考试过程中迅速识别模式,快速求出二面角的大小。     一、定义法     二面角平面角的定义有三个条件:1、顶点在棱上;2、边分别在两个半平面内。3、边与棱垂直。因为空间的两条垂直不直观,难以识别,且顶点在棱上没有固定位置,具有开放性,这就造成了平面角位置的变化多端,不易作出,但高考中的易作出的平面角顶点往往在特殊的位置,比如等腰三角形底边的中点;以棱为全等三角形公共边的垂足等。只举两例说明:     例1(2004年全国理)如右图,已知四棱锥P—ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。     (1)求点P到平面ABCD的距离。    (2)求面APB与面CPB所成二面角的大小     解:我们只求二面角的大小(以下例题同),     即第2问。取PB的中点G,PC的中点F,     连结EG、AG、GF,则AG⊥PB,FG∥BC,     FG= BC,∵AD⊥⊥PB,∴BC⊥PB,FG⊥PB,∴∠AGF是所求二面角的平面角。∵AD⊥面POB,     ∴AD⊥EG,又PE=BE= ,∴EG⊥PB, 且PEG=60°。     在Rt△PEG中,EG=PE?cos60°= ,在Rt△GAE中,     AE= AD=1,于是tan∠GAE= = ,又∠AGF=π—∠GAE,所以所求二面角的大小为π—arctan= .     本题就是利用等腰三角形底边上的中点与顶点的连线垂直于底边,以及平移垂直于棱的射线到中点构造二面角的平面角,利用平面角的定义使问题得以解决的。     例2 (2005年全国理)已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC= AB=1,M是PB的中点,    (1)证明:面PAD面PCD;    (2)求AC与PB所成的角;    (3)求面AMC与面BMC所成的二面角的大小。     解:我们看第3问。作AN⊥CM,垂足为N,     连结BN,在Rt△PAB中,     AM=MB,又AC=CB,     ∴△AMC≌△BMC,BN⊥CM,     故∠ANB为所求二面角的平面角。     ∵CB⊥AC,由三垂线定理,得CB⊥PC,在Rt△PCB中,CM=MB,     所以CM=AM,在等腰△AMC中,AN?MC= ?AC,∴AN= = 。     AB=2,∴cosANB= =  ,故所求的二面角为arccos(  ).     这个二面角象一个三角形绕着它的一条边(棱)旋转而得到的,分别过顶点作旋转边的高,垂足正好重合于一点,以垂足为顶点,在二面角内的高所在的射线就构成了平面角。求正棱锥相邻的面组成的二面角的大小了可用此方法。     二、三垂线法     顾名思义,就是运用三垂线定理来构造二面角的平面角。它的要害是发现一条直线垂直于二面角的一个半平面,垂足为B,与另一个半平面面的交点为A,过B作与棱垂直的直线,垂足为O,连结AO,根据三垂线定理,AO也垂直于棱,所以∠AOB就是这两个半平面组成的平面角。运用三垂线定理作二面角,是高考的热点,有许多这样的例子,仅举一例。     例3(2007年全国理)如右图,在四棱锥S—ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E、F分别为AB、SC的中点。    (1)证明:EF∥平面SAD;    (2)设SD=2DC,求二面角A—EF—D的大小。     解:看第二问。不妨设DC=2,则SD=4,DG=2,     △ADG为等腰Rt△,取AG的中点H,连结DH,     则DH⊥AG。又AB⊥平面SAD,所以AB⊥DH     ,而AB∩AG=A,所以DH⊥面AEF,取EF的中点M,     连结MH,则HM⊥EF,连结DM,则DM⊥ EF,故∠DMH为二面角A—EF—D的平面角。tanDMH= 。所以二面角A—EF—D的大小为arctan 。     本题构造关键是作出直线DH垂直于二面角的一个半平面AEF,并且是倒置的三垂线的模式。     三、垂面法     垂面法就是作棱的垂面,垂面与两个半平面的交线所形成的角就是二面角的平面角。     例4(2008年全国理)四棱锥A—BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC底面BCDE,BC=2,CD= ,AB=AC。     证明:(1)AD⊥CE;    (2)设CE与平面ABE所成的角为45°,求二面角C—AD—E的大小。     解:由题意,BE⊥BC,所以BE⊥侧面ABC,     又BC 侧面ABE,所以侧面ABE⊥侧面QBC,     作CF⊥AB,垂足为F,连结FE,     则CF⊥平面ABE,故∠CFE为CE与平面ABE所成的角,     ∠CFE=45°。CE= ,得CF= ,又BC=2,因而∠ABC=60°,     所以△ABC为等腰△。作CG⊥AD,垂足为G,连结GE,由(1)知,     CE⊥AD,又CE CG=C,故AD⊥平面CGE,AD⊥GE,     ∠CGE是二面角C—AD—E的平面角。CG= ,GE= ,GE= , cos∠CGE= ,     所以二面角C—AD—E为arccos( ).     本题先证明了AD⊥CE,作CG⊥AD,则棱AD⊥面CGE,且面GCE与二面角的交线分别为CG,GE,从而∠CGE是二面角C—AD—E的平面角。    
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