2011年陕西省中考数学试题(WORD解析版)

数学教师网[www.sxjs8.cn] 精品资料免费下载 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1、（2011•陕西）的倒数为（　　） A、 B、 C、 D、 考点：倒数。 专题：计算题。 分析：根据倒数的意义，两个数的积为1，则两个数互为倒数，因此求一个数的倒数即用1除以这个数． 解答：解：的倒数为， 1÷=﹣， 故选：A． 点评：此题考查的是倒数，关键是由倒数的意义，用1除以这个数即是． 2、（2011•陕西）下面四个几何体中，同一个几何体的主视图和俯视图相同的共有（　　） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 考点：简单几何体的三视图。 分析：主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形． 解答：解：圆柱主视图、俯视图分别是长方形、圆，主视图与俯视图不相同； 圆锥主视图、俯视图分别是三角形、有圆心的圆，主视图与俯视图不相同； 球主视图、俯视图都是圆，主视图与俯视图相同； 正方体主视图、俯视图都是正方形，主视图与俯视图相同． 共2个同一个几何体的主视图与俯视图相同． 故选B． 点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 3、（2011•陕西）我国第六次人口普查显示，全国人口为1370536875人，将这个总人口数（保留三个有效数字）用科学记数法表示为（　　） A、1.37×109 B、1.37×107 C、1.37×108 D、1.37×1010 考点：科学记数法与有效数字。 分析：较大的数保留有效数字需要用科学记数法来表示．用科学记数法保留有效数字，要在标准形式a×10n中a的部分保留，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍． 解答：解：1370536875=1.370536875×109≈1.37×109， 故选：A． 点评：此题主要考查了科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的有效数字的确定方法． 4、（2011•陕西）下列四个点，在正比例函数的图象上的点是（　　） A、（2，5） B、（5，2） C、（2，﹣5） D、（5，﹣2 考点：一次函数图象上点的坐标特征。 专题：函数思想。 分析：根据函数图象上的点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上，一定满足函数的解析式．根据正比例函数的定义，知是定值． 解答：解：由，得=﹣； A、∵=，故本选项错误； B、∵=，故本选项错误； C、∵=﹣，故本选项错误； D、∵=﹣，故本选项正确； 故选D． 点评：本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式． 5、（2011•陕西）在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC：CA：AB=5：12：13，则cosB=（　　） A、 B、 C、 D、 考点：锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理。 专题：计算题。 分析：根据三角形余弦表达式即可得出结果． 解答：解：根据三角函数性质， cosB==， 故选C． 点评：本题主要考查了锐角三角函数的定义及比例关系，比较简单． 6、（2011•陕西）某校男子男球队10名队员的身高（厘米）如下：179，182，170，174，188，172，180，195，185，182，则这组数据的中位数和众数分别是（　　） A、181，181 B、182，181 C、180，182 D、181，182 考点：众数；中位数。 专题：计算题。 分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 解答：解：在这一组数据中182是出现次数最多的，故众数是182； 处于这组数据中间位置的数是182、182，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是182． 故选D． 点评：本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按重新排列，就会出错． 7、（2011•陕西）同一平面内的两个圆，他们的半径分别为2和3，圆心距为d，当1＜d＜5时，两圆的位置关系是（　　） A、外离 B、相交 C、内切或外切 D、内含 考点：圆与圆的位置关系。 专题：数形结合。 分析：根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解．注意相交，则R﹣r＜d＜R+r（d表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）． 解答：解：∵他们的半径分别为2和3，圆心距为d，当1＜d＜5时， ∴两圆的位置关系是相交． 故选B． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是抓住两圆位置关系与数量关系间的联系：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．（d表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）． 8、（2011•陕西）如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（　　） A、3 B、4 C、5 D、6 考点：反比例函数综合题。 专题：计算题。 分析：先设P（0，b），由直线APB∥x轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数的图象上，可得到A点坐标为（﹣，b），B点坐标为（，b），从而求出AB的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 解答：解：设P（0，b）， ∵直线APB∥x轴， ∴A，B两点的纵坐标都为b， 而点A在反比例函数y=﹣的图象上， ∴当y=b，x=﹣，即A点坐标为（﹣，b）， 又∵点B在反比例函数y=的图象上， ∴当y=b，x=，即B点坐标为（，b）， ∴AB=﹣（﹣）=， ∴S△ABC=•AB•OP=•b=3． 故选A． 点评：本题考查了点在函数图象上，点的横纵坐标满足函数图象的解析式．也考查了与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点以及三角形的面积公式． 9、（2011•陕西）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（　　） A、2对 B、3对 C、4对 D、5对 考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质。 专题：证明题。 分析：根据四边形ABCD是平行四边形，利用相似三角形的判定定理，对各个三角形逐一分析即可． 解答：解：∵在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H， ∴△AGB∽△HGF， △HED∽△HBC， △HED∽△EBA， △AEB∽△HBC，共4对． 故选C． 点评：此题主要考查相似三角形的判定和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 10、（2011•陕西）若二次函数y=x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A、y1＞y2＞y3 B、y1＞y3＞y2 C、y2＞y1＞y3 D、y3＞y1＞y2 考点：二次函数图象上点的坐标特征。 专题：函数思想。 分析：根据二次函数图象上点的坐标特征，将A（﹣1，y1），B（2，y2），C（，y3）分别代入二次函数的解析式y=x2﹣6x+c求得y1，y2，y3，然后比较它们的大小并作出选择． 解答：解：根据题意，得 y1=1+6+c=7+c，即y1=7+c；[来源:学|科|网] y2=4﹣12+c=﹣8+c，即y2=﹣8+c； y3=9+2+6﹣18﹣6+c=﹣7+c， 即y3=﹣7+c； ∵8＞﹣7＞﹣8， ∴7+c＞﹣7+c＞﹣8+c， 即y1＞y3＞y2． 故选B． 点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征（图象上的点都在该函数的图象上）．解答此题时，还利用了不等式的基本性质：在不等式的两边加上同一个数，不等式仍成立． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11、（2011•陕西）计算：=．（结果保留根号） 考点：实数的性质。 专题：计算题。 分析：本题需先判断出的符号，再求出的结果即可． 解答：解：∵﹣2＜0 ∴=2﹣ 故为：2﹣ 点评：本题主要考查了实数的性质，在解题时要能根据绝对值得求法得出结果是本题的关键． 12、（2011•陕西）如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1=64°，则∠2=　122°　． 考点：平行线的性质。 分析：由AC∥BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠B的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC的度数；又由AE平分∠BAC交BD于点E，即可求得∠BAE的度数，根据三角形外角的性质即可求得∠2的度数． 解答：解：∵AC∥BD， ∴∠B=∠1=64°， ∴∠BAC=180°﹣∠1=180°﹣64°=116°， ∵AE平分∠BAC交BD于点E， ∴∠BAE=∠BAC=58°， ∴∠2=∠BAE+∠B=64°+58°=122°． 故答案为：122°． 点评：此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义以及三角形外角的性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用． 13、（2011•陕西）分解因式：ab2﹣4ab+4a=　a（b﹣2）2． 考点：提公因式法与公式法的综合运用。 专题：因式分解。 分析：先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2． 解答：解：ab2﹣4ab+4a =a（b2﹣4b+4）﹣﹣（提取公因式） =a（b﹣2）2．﹣﹣（完全平方公式） 故答案为：a（b﹣2）2． 点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底． 14、（2011•陕西）一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售，若这款羊毛衫每件原价的8折（即按照原价的80%）销售，售价为120元，则这款羊毛衫的原销售价为　150元　． 考点：一元一次方程的应用。 专题：销售问题；方程思想。 分析：此题的相等关系为，原价的80%等于销售价，依次列方程求解． 解答：解：设这款羊毛衫的原销售价为x元，依题意得： 80%x=120， 解得：x=150， 故答案为：150元． 点评：此题考查的是一元一次方程的应用，关键是确定相等关系列方程求解． 15、（2011•陕西）若一次函数y=（2m﹣1）x+3﹣2m的图象经过 一、二、四象限，则m的取值范围是． 考点：一次函数的性质。 专题：计算题；数形结合。 分析：根据一次函数的性质进行分析：由图形经过一、二、四象限可知（2m﹣1）＜0，3﹣2m＞0，即可求出m的取值范围 解答：解：∵y=（2m﹣1）x+3﹣2m的图象经过 一、二、四象限 ∴（2m﹣1）＜0，3﹣2m＞0 ∴解不等式得：m＜，m＜ ∴m的取值范围是m＜． 故答案为：m＜ 点评：本题主要考查一次函数的性质、求不等式，关键是确定好一次函数的一次项系数和常数项 16、（2011•陕西）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD=3，BC=7，则梯形ABCD面积的最大值　25　． 考点：梯形；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质。 专题：计算题。 分析：过D作DE∥AC交BC的延长线于E，DH⊥BC于H，得到四边形ADEC是平行四边形，推出AC=DE，AD=CE=3，∠BFC=∠BDE=90°，求出BH=EH=DH=5，根据梯形的面积公式（AD+BC）•DH，即可求出答案． 解答：解： 过D作DE∥AC交BC的延长线于E，DH⊥BC于H， ∵DE∥AC，AD∥BC， ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴AC=DE，AD=CE=3，∠BFC=∠BDE=90°， ∴BH=EH=（3+7）=5， DH=5， ∴梯形的面积的最大值是（AD+BC）•DH=×10×5=25， 故答案为：25． 点评：本题主要考查对梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线把梯形转化成平行四边形和三角形是解此题的关键． 三、解答题（共9小题，计72分．解答应写出过程） 17、（2011•陕西）解分式方程：． 考点：解分式方程。 专题：计算题。 分析：观察两个分母可知，公分母为x﹣2，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验． 解答：解：去分母，得4x﹣（x﹣2）=﹣3， 去括号，得4x﹣x+2=﹣3， 移项，得4x﹣x=﹣2﹣3， 合并，得3x=﹣5， 化系数为1，得x=﹣， 检验：当x=﹣时，x﹣2≠0，[来源:学科网] ∴原方程的解为x=﹣．[来源:学科网] 点评：本题考查了分式方程的解法．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 18、（2011•陕西）在正方形ABCD中，点G是BC上任意一点，连接AG，过B，D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E，F两点，求证：△ADF≌△BAE． 考点：正方形的性质；全等三角形的判定。 专题：证明题。 分析：根据正方形的性质，可以证得DA=AB，再根据同角的余角相等即可证得∠2=∠3，∠1=∠4，根据ASA即可证得两个三角形全等． 解答：证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴DA=AB，∠1+∠2=90° 又∵BE⊥AG，DF⊥AG ∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90° ∴∠2=∠3，∠1=∠4 ∴△ADF≌△BAE 点评：本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的证明，正确证明∠2=∠3，∠1=∠4是证明的关键． 19、（2011•陕西）某校有三个年级，各年级的人数分别为七年级600人，八年级540人，九年级565人，学校为了解学生生活习惯是否符合低碳观念，在全校进行了一次问卷调查，若学生生活习惯符合低碳观念，则称其为“低碳族”；否则称其为“非低碳族”，经过统计，将全校的低碳族人数按照年级绘制成如下两幅统计图： （1）根据图①、图②，计算八年级“低碳族”人数，并补全上面两个统计图； （2）小丽依据图①、图②提供的信息通过计算认为，与其他两个年级相比，九年级的“低碳族”人数在本年级全体学生中所占的比例较大，你认为小丽的判断正确吗？说明理由． 考点：条形统计图；扇形统计图。 专题：数形结合。 分析：（1）根据七年级的人数与所占的百分比可求出总人数，再乘以八年级对应的百分比可求出人数，九年级对应的百分比可用1减去七八年级的百分比求得，再画图即可解答． （2）分别算出三个年级的“低碳族”人数在本年级全体学生中所占的比例，再比较即可解答． 解答：解：（1）由题意可知，全校“低碳族”人数为300÷25%=1200人， ∴八年级“低碳族”人数为1200×37%=444人， ∴九年级“低碳族”人数占全校“低碳族”人数的百分比=1﹣25%﹣37%=38%． 补全的统计图如①②所示． （2）小丽的判断不正确，理由如下： ∵七年级“低碳族”人数占该年级人数的百分比=×100%=50%， 八年级“低碳族”人数占该年级人数的百分比=×100%≈82.2%， 九年级“低碳族”人数占该年级人数的百分比=×100%≈80.7%， ∴小丽的判断不正确，八年级的学生中，“低碳族”人数比例较大． 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键；同时还考查了用样本来估计总体． 20、（2011•陕西）一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些坑道对河道的影响，如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量如下： ①先测出沙坑坑沿的圆周长34.54米； ②甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于B时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点A看到坑底S（甲同学的视线起点C与点A，点S三点共线），经测量：AB=1.2米，BC=1.6米． 根据以上测量数据，求圆锥形坑的深度（圆锥的高）．（π取3.14，结果精确到0.1米） 考点：相似三角形的应用；圆锥的计算。 专题：几何图形问题。 分析：取圆锥底面圆心O，连接OS、OA，OS∥BC可得出△SOA∽△CBA，再由相似三角形的对应边成比例即可解答． 解答：解：取圆锥底面圆心O，连接OS、OA，则 ∠O=∠ABC=90°，OS∥BC， ∴∠ACB=∠ASO， ∴△SOA∽△CBA， ∴=， ∴OS=， ∵OA=≈5.5，BC=1.6，AB=1.2， ∴OS=≈7.3， ∴“圆锥形坑”的深度约为7.3米． 故答案为：7.3米． 点评：本题考查的是相似三角形在实际生活中的运用，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键． 21、（2011•陕西）2011年4月28日，以“天人长安，创意自然一一城市与自然和谐共生”为主题的世界园艺博览会在西安隆重开园，这次园艺会的门票分为个人票和团体票两大类，其中个人票设置有三种： 票得种类 夜票（A） 平日普通票（B） 指定日普通票（C） 单价（元/张） 60 100 150 某社区居委会为奖励“和谐家庭”，欲购买个人票100张，其中B种票的张数是A种票张数的3倍还多8张，设购买A种票张数为x，C种票张数为y （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）设购票总费用为W元，求出W（元）与X（张）之间的函数关系式； （3）若每种票至少购买1张，其中购买A种票不少于20张，则有几种购票方案？并求出购票总费用最少时，购买A，B，C三种票的张数． 考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。 专题：优选方案问题。 分析：（1）根据A、B、C三种票的数量关系列出y与x的函数关系式； （2）根据三种票的张数、价格分别算出每种票的费用，再算出总数w，即可求出W（元）与X（张）之间的函数关系式； （3）根据题意求出x的取值范围，根据取值可以确定有三种方案购票，再从函数关系式分析w随x的增大而减小从而求出最值，即购票的费用最少． 解答：解（1）B中票数为：3x+8 则y=100﹣x﹣3x﹣8化简得， y=﹣4x+92 即y与x之间的函数关系式为：y=﹣4x+92 （2）w=60x+100（3x+8）+150（﹣4x+92）化简得， w=﹣240x+14600 即购票总费用W与X（张）之间的函数关系式为：w=﹣240x+14600 （3）由题意得，解得， 20≤x＜23 ∵x是正整数，∴x可取20、21、22 那么共有3种购票方案． 从函数关系式w=﹣240x+14600可以看出w随x的增大而减小， 当x=22时，w的最值最小，即当A票购买22张时，购票的总费用最少． 购票总费用最少时，购买A、B、C三种票的张数分别为22、74、4． 点评：本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值． 22、（2011•陕西）七年级五班在课外活动时进行乒乓球练习，体育委员根据场地情况，将同学分成3人一组，每组用一个球台，甲乙丙三位同学用“手心，手背”游戏（游戏时，手心向上简称“手心”，手背向上简称“手背”）来决定那两个人首先打球，游戏规则是：每人每次随机伸出一只手，出手心或者手背，若出现“两同一异”（即两手心、一手背或者两手背一手心）的情况，则出手心或手背的两个人先打球，另一人裁判，否则继续进行，直到出现“两同一异”为止． （1）请你列出甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现的所有等可能的情况（用A表示手心，B表示手背）； （2）求甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现“两同一异”的概率． 考点：列表法与树状图法。 专题：计算题。 分析：（1）首先此题需三步完成，所以采用树状图法求解比较简单；然后依据树状图分析所有等可能的出现结果，根据概率公式即可求出该事件的概率； （2）首先求得出手一次出现“两同一异”的所有情况，然后根据概率公式即可求出该事件的概率． 解答：解：（1）画树状图得： ∴共有8种等可能的结果：AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB； （2）∵甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现“两同一异”的 有6种情况， ∴出手一次出现“两同一异”的概率为：=． 点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23、（2011•陕西）如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于P点，CP交⊙O于D （1）求证：AP=AC； （2）若AC=3，求PC的长． 考点：切线的性质；圆周角定理；解直角三角形。 专题：计算题。 分析：（1）连接OA，可得∠AOC=120°，所以，可得∠P=∠C=30°，即可证明； （2）AC=3，所以，PO=，所以PC=3． 解答：证明：（1）连接AO，则AO⊥PA， ∴∠AOC=2∠B=120°， ∴∠AOP=60°， ∴∠P=30°， 又∵OA=OC， ∴∠ACP=30°， ∴∠P=∠ACP， ∴AP=AC． 解：（2）在直角△PAO中，∠P=30°，PA=3， ∴AO=PA×tan30°=，∴PO=2； ∵CO=OA=， ∴PC=PO+OC=3．[来源:学科网] 点评：本题主要考查了直角三角形、圆周角及切线的性质定理，综合性知识比较强，熟记定理及性质，才是解答的关键． 24、（2011•陕西）如图，二次函数的图象经过△AOB的三个顶点，其中A（﹣1，m），B（n，n） （1）求A、B的坐标； （2）在坐标平面上找点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形． ①这样的点C有几个？ ②能否将抛物线平移后经过A、C两点，若能，求出平移后经过A、C两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由． 考点：二次函数综合题。 专题：代数几何综合题。 分析：（1）把A（﹣1，m）代入函数式而解得m的值，同理解得n值，从而得到A，B的坐标； （2）①由题意可知：这样的C点有3个， ②能，分别考虑函数图象经过三个点，从而得到函数方程． 解答：解：（1）∵y=的图象过点A（﹣1，m） ∴ 即m=1 同理：n= 解之，得n=0（舍）或n=2 ∴A（﹣1，1），B（2，2） （2）①由题意可知：这样的C点有3个 ②能 当平移后的抛物线经过A、C1两个点时，将B点向左平移3个单位再向下平移1个单位．使点B移到A点，这时A、C1两点的抛物线的解析式为y+1= 即y= 附：另两条平移后抛物线的解析式分别为： i）经过A、C2两点的抛物线的解析式为 ii）设经过A、C3两点的抛物线的解析式为，OC3可看作线段AB向右平移1个单位再向下平移1个单位得到∴C3（3，1）[来源:学科网] 依题意，得解得 ∴经过A、C3两点的抛物线的解析式为 点评：本题考查了二次函数的综合运用，（1）把A（﹣1，m）代入函数式而解得；（2）①由题意可知点C有几个，②分别考虑函数图象经过三个点，从而得到函数方程．也从而确定能．本题有一定难度，在图象上做好辅助线，考虑全面，而不至于漏解． 25、（2011•陕西）如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形” （1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个　等腰　三角形 （2）如图②、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标； （3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？ 考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质。 专题：数形结合；分类讨论。 分析：（1）由图形结合线段垂直平分线的性质即可解答； （2）由折叠性质可知，折痕垂直平分BE，求出AB、AE的长，判断出四边形ABFE为正方形，求得F点坐标； （3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4， ①当F在边CD上时，S△BEF≤S矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4； ②当F在边CD上时，过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K，再根据三角形的面积公式即可求解；再根据此两种情况利用勾股定理即可求出AE的长，进而求出E点坐标． 解答：解：（1）等腰． （2）如图①，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形． ∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2， ∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A． ∴四边形ABFE为正方形． ∴BF=AB=2， ∴F（2，0）． （3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4， 理由如下：①当F在边BC上时，如图②所示． S△BEF≤S矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4． ②当F在边CD上时，如图③所示， 过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K． ∵S△EKF=KF•AH≤HF•AH=S矩形AHFD， S△BKF=KF•BH≤HF•BH=S矩形BCFH， ∴S△BEF≤S矩形ABCD=4． 即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4． 下面求面积最大时，点E的坐标． ①当F与点C重合时，如图④所示． 由折叠可知CE=CB=4， 在Rt△CDE中，ED===2． ∴AE=4﹣2． ∴E（4﹣2，2）． ②当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图⑤所示． 此时E（0，2）． 综上所述，折痕△BEF的最大面积为4时，点E的坐标为E（0，2）或E（4﹣2，2）． 点评：本题考查的是图形的翻折变换，涉及到矩形及正方形的性质，难度较大，在解答此题时要利用数形结合的思想进行分类讨论． 『数学教师网』收集整理 第18页 共1页 欢迎下载教学资料