第三章_投影算符

第三章 投影算符 投影算符方法是将群的表示空间约化为群不变子空间的直和的有效方法，常应用于求群的不可约表示，以及构造不可约表示的基函数。如果有了基函数，可以产生对称群的表示；反过来，若已知群的不可约表示，常常可以用投影算符方法找到对应的基函数。本章先介绍投影算符的基本概念，然后讨论如何用群的不可约表示构成投影算符。 §3.1 投影算符 【定义3.1】 （投影算符） 线性空间V上的线性算符（线性变换）P，若满足P2 = P，则称P是V的一个投影算符。P的值域 ，P的核 ，Np又称为P的零空间。 ·系1 对于任意 必有 ，反之亦然。因为 。 ·系2 若P是V上的投影算符，则E－P也是V的投影算符，这里E为V上的恒等算子，且有P(E－P) = 0。 证明： ，故E－P为投影算符; 而 ，从而 ，有 ，即 。 ·系3 ；反之若 ，则V中一定存在一个相应的投影算符P。 证明： ① 若V中有投影算符P，则 而若有 ，且 ，则 因 ，故 。故有： ，有 ② 若V = ，则 ， 且分解唯一。寻找投影算子：定义算符P1: ，其中 。则有： ，故有 ，P1即为所找的投影算子。 ◆定理3.1◆ 若线性空间 ，则v上必存在投影算子P1，P2，…，Pk满足： ① ，I = 1，2，…，k， ② ， ③ P1 + P2 + … + Pk = E， ④ PiV = Wi，i = 1，2，…，k； 反之，若线性空间V存在投影算子 满足上述诸式，则有 。 证明： 1．由 ， 可唯一分解为： 。 i. 定义算符Pi， ，则有： ，即 ， 为投影算符； ii．对任意 ，有 ，故PiPj = 0； iii． EMBED Equation.3 故 E = P1 + P2 + … + Pk； IV．另由Pi的定义，知 PiV = Wi。 2．反之，若存在算子P1，P2，…，Pk，满足定理中四个条件，则 i． EMBED Equation.3 ， 令PiV = Wi，i = 1，2，…，k， 有V = W1 + W2 + … + Wk。 ii．对于 ，有 由 ，有 iii．故若有 ，则 ，因 ; 又 ，因 故有 ，因此W1，W2，…，Wk仅有公共元素0，因此 。 · 定理3.2◆ 设群G在表示空间 上的线性表示为A(g)，若 可分解为 。则 为群不变子空间的充要条件为子空间 对应的投影算子与表示空间V上的群表示A(g)对易，即： ； 证明： 1．必要性： 由定理3.2，存在投影算子Pi，i = 1，2，…，k，满足： 当 ，故： 即: , 由 的任意性，有 ； 2．充分性：若V上存在投影算子Pi及关系式 ， 则 ，由 ，有： EMBED Equation.3 ， 即 ，故Wi是G不变的子空间。 ◆定理3.3◆ 若投影算子Pi不能写成两个与空间V中的表示A可交换的投影算子 与 的和，这里 ， ； ， ，则V的子空间Wi = PiV是一个不可约的G表示空间；反之若Wi是G的一个不可约表示空间，则算符Pi不能写成两个投影算符的和。 证明： 1．反证：若Pi不能写成V的两个投影算符 之和，而Wi = PiV是可约的表示空间，则由定理3.2有 ，故存在算符 满足上述条件，这与题设矛盾，故Wi是不 可约表示空间。 2．反命题 反证：设Wi是G的一个不可约表示空间，而与之相应的投影算符Pi可以写为上述两个投影算子 之和，则由定理3.2知，存在 为G不变的子空间，而 ，故Wi是可约表示空间，这与题设矛盾；故此时算符Pi不可以分解为上述两个投影算符之和。 对于群代数空间，还可以得到与群不变子空间及其投影算符对应的幂等元。 【定义3.2】 （幂等元） 群代数RG中满足条件e2 = e的元素e称为幂等元，满足条件 的元素e称为本质幂等元。此时 为幂等元。 •系1 RG中左正则变换L(G)群不变子空间及其投影算子与幂等元一一对应。 证明： 1．若 为G不变子空间，Pi为相应的的投影算子，则可证存在与之对应的幂等元 为群的单位元。 由定理3.2，对于左正则表示L有， 即 ， ，则 有： （令 ） 故： ，而 ，由此可得 ，即 为幂等元。 2．反之设 为幂等元，则可以找到与之对应的L(G不变子空间和相应投影算符： 定义算符 EMBED Equation.3 。 可以证明Pi即为与ei对应的投影算符： 应用Pi的定义及ei为幂等元，对 有： ，即 ，Pi为投影算符。 可验证 与L(g)可交换： 为任意，故 ，故 为群不变子空间。 由上述1、2知群空间中左正则变换群下的不变子空间及其投影算子与幂等元有一一对应关系。 •系2 设Pi，ei，i = 1，2，…，k为RG投影算子及相应幂等元，则 ① ； ② 若 ，则 ; ③ 若 ，则 , g0为群G的单位元。 证明： ① ，有 ，故 ； ② 任意，必有 ； ③ 由 有： 即 ， 故必有 •系3 为L(G) 不变子空间，其投影算符Pi对应的幂等元为 ，则 。 ◆定理3.4◆ 设 为左正则变换L(G)群不变子空间， 为投影算子；设ei为与Pi对应的幂等元；即 ，则Wi为RG中群不可约表示子空间的充要条件为ei不能分解为满足以下条件的两个幂等元之和： ； 。 证明：由于幂等元和投影算子之间存在一一对应关系，根据定理3.3和定理3.4显然本定理成立。 【定义3.3】 （本原幂等元） 不能如上定理3.4所述分解的幂等元称为本原幂等元。 ◆定理3.5◆ （本原幂等元判别定理） 幂等元ei为本原幂等元的充要条件为 , 对 成立。 证明： 1．必要性： 设ei为本原幂等元，有对应投影算子Pi，子空间 为群不变的不可约子空间，且 ： i．对 ，定义一个与 有关的算符A： ， 将A作用到 上，有： EMBED Equation.3 即A与L(g)可交换。 ii．对于任意矢量 ，可分不属于子空间 和属于子空间 两种情况： 当 时， ，故 ， 为任意复数； 当 时，由于 ，由舒尔引理二知A在Wi不可约子空间上为常数矩阵 ，Ewi为Wi上的单位矩阵，故 。 故对于任意 ，有： ，因此， 。 由A的定义有： 即 。必要性成立。 2．充分性，由 证明ei为本原幂等元： 反证：设此时ei不是本原幂等元，则ei可分解为ei1，ei2，于是： EMBED Equation.3 则 EMBED Equation.3 而 , 故有 ，有解 或1: 时， 时， 。 故实际上ei不可分解，与假设矛盾，故充分性成立。 §3.2 群表示投影算符 由群的不可约幺正表示及其特征标可构造出群表示空间中的投影算符。 ◆定理3.6◆ 设群G的不可约酉表示为 ，α=1，2，……q，维数为 ， 为与G同态的算符群， ；定义算符 ，则这些算符满足下列关系： ，且 为投影算符。 证明： （令 ） 易得 为投影算符 系1 ，j=1，2，…… ，α=1，2，…，q为投影算符 系2 当i≠j, α≠β时， 系3 特征标投影算符 EMBED Equation.3 ,为投影算符。 ◆定理3.7◆ 所有投影算符求和满足： , 为恒等算符。 证明： ① 群表示矩阵元的完全性关系： ②由算符 定义： 两边乘上 ，并对 、 、 求和有： 即有 取 为群单位元e时有： 故所有投影算符的和为恒等算符。 载荷群的不可约幺正表示的基函数与以上投影算符之间具有一定的关系，具有如下几个定理所描述的性质。 ◆定理3.8◆ 群不可约表示基函数定理： 设 为群G的函数作用算符群，一组基函数 ，i=1，2，…， 构成群G的第α个不可约幺正表示的基函数的充要条件为： ， i=1，2，……， 称为对称化基函数。 证明：①必要性： 设 ，i=1，2，…， 为不可约表示 的基，有： 两边乘上 并对群元求和有： 即 上式取α=β，k=j，则有 ， 必要性成立 ②充分性：若 ，则 为 表示基，两边用 作用： 令 ，为 的线性组合。 因此 为不可约表示 的基。 ◆定理3.9◆ 不可约幺正表示基函数定理（Wigner（维格纳）－Eckart（埃伽）定理） 有限群不等价不可约幺正表示的基函数 ，i=1，2，…… ， =1，2，……q，满足如下正交关系： 其中 为与i，j无关的常数。 证明： EMBED Equation.3 ，函数作用算符 一般为坐标变换算符，由转动和平移构成。 { 、 、…… }、{ 、 、…… }分别为函数作用算符群 的第α、β个不可约幺正表示的基。 坐标变换算符 为幺正算符， ，保持函数内积不变： EMBED Equation.3 两边对群元求和： 左边 ，n为群G的阶。 右边 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 令 ，故有 。 注：互相等价的两个不可约幺正表示的基函数之间不正交。 ◆定理3.10◆ 幺正表示基函数定理 若 ，i=1，2，…，m，为群G的幺正表示（不必是不可约表示）的基，则其平方和在群元函数作用算符作用下不变： 证明：由 ，故： 一般反过来也有：若一组线性无关的基满足 ，则群在该基上为一幺正表示。 投影算符的应用 ， ，故 不是严格意上的投影算符，可称之为准投影算符。 ① ，i≠j时。 i 若已知不可约表示 的一个基函数， ，则可由 ， ，…… 作用于 上得到全部基函数 ，i=1，2，…， 。 ii 对 的不可约表示空间 上矢量的作用： ， 则 iii 对任意函数的作用： 从任意函数中投影出了其中的 分量。 ② 投影算符 作用于任意函数 即 从任意函数中投影出 的成份。 ③特征标投影算符： i 有 ii 对不可约表示 函数空间 上任意矢量的作用 ， iii 对任意函数的作用： 即 从任意函数中投影出 子空间 中的矢量。 例一 利用投影算符找出已知的不可约表示的基函数。 群的一个二维不可约表示： ， ， ， ， 与 群相应的函数作用算符群：{ 、 、 、 、 、 }，定义： , , , , 可得如下算符： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 寻找与转角θ有关的三角函数基，取任意函数 ，将 作用于F上，得： 归一化后所得到一个基函数 将 作用于 得： 故 群的一组不可约表示的基为： ， 例二 已知 群的一个二维不可约表示的特征标， 试求出其基函数，并求出表示矩阵。 群特征标表： e {d，f} { EMBED Equation.3 } 1 1 1 1 1 -1 2 -1 0 ①将特征标投影算符作用于任意选取的函数 上，可找出其基函数： 任意选取函数 ， 为|r|的任意函数。 EMBED Equation.3 故 EMBED Equation.3 可取第一个基函数 用 对 作用： EMBED Equation.3 由于 为二维不可约表示，只有两个基函数，故取 。 由于 ， 是正交的，故不必作正交化处理。 ②将算符 、 、 、 、 、 作用于 ， 上，容易得到二维不可约表示的矩阵： ， 故 。 其它群元的表示矩阵可用上述方法全都求出。 用特征标投影算符求对称化基函数的常用方法： 由群的特征标表写出投影算符 ，将算符作用于任意的含有第α个不可约表示基函数的函数上，可得不可约子空间 上的一个矢量，记为 ，并以它为不可约表示的一个基，用群的函数作用算符 ， ，相继作用于 ，得到不可约空间 中的一系列矢量 。从这些矢量中选取 个线性无关的矢量，用Schmit正交化方法使它们正交，即可得到维数为 的不可约表示 的对称化基函数。 PAGE － 85 － _1130847388.unknown _1164269181.unknown _1164271409.unknown _1192004868.unknown _1349461163.unknown _1349465594.unknown _1349465755.unknown _1349465779.unknown _1349465859.unknown _1349465860.unknown _1350064458.unknown _1349465857.unknown _1349465858.unknown _1349465856.unknown _1349465769.unknown _1349465630.unknown _1349465639.unknown _1349465602.unknown _1349465464.unknown _1349465526.unknown _1349465546.unknown _1349465568.unknown _1349465537.unknown _1349465506.unknown _1349465391.unknown _1349465460.unknown _1349462477.unknown _1349465204.unknown _1225543035.unknown _1286804645.unknown _1313842861.unknown _1313843291.unknown _1313843434.unknown _1313843544.unknown _1319349024.unknown _1313843475.unknown _1313843402.unknown _1313842892.unknown _1286805190.unknown _1286805239.unknown _1286805292.unknown _1313842822.unknown _1286805375.unknown _1286805255.unknown _1286805230.unknown _1286804690.unknown _1286804813.unknown _1286804681.unknown _1286721897.unknown _1286803982.unknown _1286804011.unknown _1286722284.unknown _1286720213.unknown _1286720427.unknown _1286720331.unknown _1286698308.unknown _1192950725.unknown _1192966846.unknown _1192966895.unknown _1192966902.unknown _1192966889.unknown _1192953828.unknown _1192966682.unknown _1192966574.unknown _1192953239.unknown _1192005092.unknown _1192950697.unknown _1192004965.unknown _1164272308.unknown _1164272695.unknown _1164272841.unknown _1164273016.unknown _1164273035.unknown _1164273043.unknown _1164273052.unknown _1164273064.unknown _1164273067.unknown _1164273047.unknown _1164273039.unknown _1164273028.unknown _1164273032.unknown _1164273019.unknown _1164272913.unknown _1164272914.unknown _1164272908.unknown _1164272912.unknown _1164272907.unknown _1164272796.unknown _1164272828.unknown _1164272837.unknown _1164272800.unknown _1164272713.unknown _1164272717.unknown _1164272700.unknown _1164272562.unknown _1164272627.unknown _1164272647.unknown _1164272682.unknown _1164272634.unknown _1164272585.unknown _1164272601.unknown _1164272574.unknown _1164272365.unknown _1164272372.unknown _1164272551.unknown _1164272369.unknown _1164272328.unknown _1164272356.unknown _1164272324.unknown _1164271901.unknown _1164272258.unknown _1164272278.unknown _1164272295.unknown _1164272298.unknown _1164272292.unknown _1164272266.unknown _1164272276.unknown _1164272263.unknown _1164272017.unknown _1164272031.unknown _1164272215.unknown _1164272022.unknown _1164271908.unknown _1164271937.unknown _1164271905.unknown _1164271624.unknown _1164271882.unknown _1164271891.unknown _1164271894.unknown _1164271888.unknown _1164271675.unknown _1164271790.unknown _1164271667.unknown _1164271517.unknown _1164271594.unknown _1164271606.unknown _1164271567.unknown _1164271432.unknown _1164271474.unknown _1164271471.unknown _1164271413.unknown _1164270283.unknown _1164270760.unknown _1164271026.unknown _1164271167.unknown _1164271261.unknown _1164271406.unknown _1164271189.unknown _1164271131.unknown _1164271159.unknown _1164271042.unknown _1164270900.unknown _1164270962.unknown _1164271015.unknown _1164270951.unknown _1164270869.unknown _1164270896.unknown _1164270815.unknown _1164270371.unknown _1164270519.unknown _1164270663.unknown _1164270682.unknown 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