应用PDE讲义19_Green函数[1]

1            应用偏微分方程与科学计算  （十九）  Lecture Notes on    Applied Partial Differential Equations and  Scientific Computing  No. 19    马 石 庄            2010．11．22．北京      2      第 19讲  Green函数与基本解    教学目的         与解用无穷级数形式表示的 Fourier方法不同，Green函数给出 解的积分形式，是一种重要方法。Green函数也称点源函数或影响函 数，它表示点源所产生的场或影响，而任何一个源皆可看成是这许多 点源的迭加。求得 Green函数，因此相应的问题便可以求解了。  主要内容  §1 位势方程的 Green函数 ..................................................................... 4  1.1 非齐次边值问题 .......................................................................... 4  1.2 Helmholtz算子 ........................................................................... 11  1.3 基本解 ....................................................................................... 15  §2镜像法求 Green函数 ........................................................................ 18  2.1 半空间 ....................................................................................... 19  2.2 条带区域 ................................................................................... 20  2.3 球区域 ....................................................................................... 22  §3 发展方程的 Green函数 ................................................................... 24  3.1 Riemann方法 ............................................................................. 24  3.2共轭微分算子 ............................................................................ 28  3.3 抛物型方程 ............................................................................... 30  习题 19 ................................................................................................... 34  3      1828年，Green证明了如下被 Kellogg命名的第二 Green恒等式  න ሺݑ׏ଶݒ െ ݒ׏ଶݑሻ ݀߬ ఆ ＝ර ൬ݑ ߲ݒ ߲݊ െ ݒ ߲ݑ ߲݊ ൰ ݀ߪ డఆ   其中，ݑ和ݒ是任意两个连续函数，其导数在一任意物体的任何点上都 有限。݊ 是物体表面指向内部的法向。然后 Green指出，对函数ݒ及其 导数在区域内部连续的要求可以用来代替ݒ的导数所应满足的边界条 件．根据这个事实，Green 用ݒ在边界给定值和另一个具有如下性质 的函数ݑ来表示物体内部的ݒ：      （1）函数ݑ在表面上必须为 0；  （2）在内部一个固定的但未确定的点ܲ上，ݑ象ݎିଵ那样变为无穷， 其中ݎ是ܲ与任何另一点间的距离；  （3）函数ݑ在内部必须满足位势方程。  如果ݑ已知并且可能是比较容易找到，因为它满足比ݒ为简单的条件， 那末ݑ在每一内点可以表示为  4ߨݒ＝െ ර ݒ ߲ݑ ߲݊ ݀ߪ డఆ   其中积分展布在曲面߲ߗ，߲ݑ/߲݊是ݑ沿垂直于曲面而指向物体内部方 向上的导数．这个由 Green 引进的，后来 Riemann 称之为以 Green 函数的ݑ已成为偏微分方程的一个基本概念．  与ݒ—样，Green用“位势函数”的术语称呼这个特殊函数ݑ，他求 得位势方程解的方法与用特殊函数的级数表示的 Fourier 方法相反， 4    称为奇异点方法．遗憾的是，函数ݑ没有一般的表达式，也没有求它 的一般方法．在这件事情上，Green满足于对电荷所产生的电位的情 形，给出ݑ的物理意义．          Green 函数被用于椭圆型方程边值问题解的积分表示。Riemann 接受了 Green的理念，用 Riemann函数求解波动方程，现代分析中统 称为“预解函数”。但是，与 Riemann 函数不同的是，Green 函数形 成一个奇异核。  §1 位势方程的 Green函数         引入记号࢞ ൌ ൫ݔଵ，ڮ，ݔ௡൯ א ߗ א ܴ௡，自共轭微分算子  ܮ ൌ െ׏ · ሾ݌ሺ࢞ሻ׏ሿ ൅ ݍሺ࢞ሻ  其中，݌ሺݔሻ ൐ 0，ݍሺݔሻ ൒ 0。例如，Laplace算子  ׏ଶݑሺ࢞ሻ ൌ div ሾgrad ݑሿ ൌ ෍ ߲ଶݑ ߲ݔ௞ ଶ ௡ ௞ୀଵ ൌ ߲ଶݑ ߲ݔ௞߲ݔ௞   则可以一般地写 Helmholtz方程  െ׏ଶݑ ൅ ݇ଶݑ ൌ ݂ሺ࢞ሻ  和 Poisson方程  െ׏ଶݑ ൌ ݂ሺ࢞ሻ  其中，݂ሺ࢞ሻ是已知函数。  1.1 非齐次边值问题  非齐次边值问题  5    ቐ ܮሾݑሺ࢞ሻሿ ൌ ݂ሺ࢞ሻ，࢞ א ߗ ߙ ݑሺݔሻ ൅ ߚ ߲ݑሺ࢞ሻ ߲݊ ൌ ܤሺ࢞ሻ，࢞ א ߲ߗ   Green函数为下列齐次边值问题  ە ۔ ۓ ܮൣܩ൫࢞，࢞Ԣ൯൧ ൌ ߜ൫࢞，࢞ᇱ൯，࢞，࢞ᇱ א ߗ ൥ߙܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൅ ߚ ߲ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ߲݊ ൩ ࢞אడఆ ൌ 0，࢞Ԣ א ߗ ൅ ߲ߗ  的解。下面用ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯表示边值问题的解。  利用 Green公式  න ሺݑכሺ࢞ሻܮሾݒሺ࢞ሻሿ െ ݒሺ࢞ሻܮሾݑכሺ࢞ሻሿሻ ݀߬ ఆ   ＝ර ݌ሺ࢞ሻ ቈݑכሺ࢞ሻ ߲ݒሺ࢞ሻ ߲݊ െ ݒሺ࢞ሻ ߲ݑכሺ࢞ሻ ߲݊ ቉ ݀ߪ డఆ   取ݒሺ࢞ሻ ൌ ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯  ݑכሺ࢞Ԣሻ ൌ න ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯݂כሺ࢞ሻ ݀߬ ఆ   ൅ ර ݌ሺ࢞ሻ ൥ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ߲ݑ כሺ࢞ሻ ߲݊ െ ݑכሺ࢞ሻ ߲ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ߲݊ ൩ ݀ߪ డఆ   上式面积分用ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯表示。事实上，因  ൥ߙܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൅ ߚ ߲ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ߲݊ ൩ ࢞אడఆ ൌ 0，࢞Ԣ א ߗ ൅ ߲ߗ  和  ቈߙݑכሺ࢞ሻ ൅ ߚ ߲ݑכሺ࢞ሻ ߲݊ ቉ ௫אడఆ ൌ ܤכሺ࢞ሻ，࢞ א ߲ߗ  于是有  6    ൥ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ߲ݑ כሺ࢞ሻ ߲݊ െ ݑכሺ࢞ሻ ߲ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ߲݊ ൩ ࢞אడఆ ൌ ە ۖ ۔ ۖ ۓെ ܤכሺ࢞ሻ ߙ ߲ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ߲݊ ，ߙ ് 0 ܤכሺ࢞ሻ ߚ ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯，ߚ ് 0   因此  ݑכሺ࢞Ԣሻ ൌ න ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯݂כሺ࢞ሻ ݀߬ ఆ ൅ ە ۖ ۔ ۖ ۓെ ර ݌ሺ࢞ሻ ൥ ܤכሺ࢞ሻ ߙ ߲ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ߲݊ ൩ ݀ߪ డఆ ，ߙ ് 0 ර ݌ሺ࢞ሻ ቈ ܤכሺ࢞ሻ ߚ ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯቉ ݀ߪ డఆ ，ߚ ് 0   形式上，只要知道 Green函数，好像就求出边值问题的解。其实不然， 因为࢞Ԣ是问题的源点。如果共轭对称性  ܩכ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ ܩ൫࢞Ԣ，࢞൯  成立，取复共轭，并交换࢞，࢞Ԣ变量，得到  ݑሺ࢞ሻ ൌ න ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯݂ሺ࢞Ԣሻ ݀߬Ԣ ఆ ൅ ە ۖ ۔ ۖ ۓെ ර ݌ሺ࢞Ԣሻ ൥ ܤሺ࢞Ԣሻ ߙ ߲ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ߲݊Ԣ ൩ ݀ߪԢ డఆ ，ߙ ് 0 ර ݌ሺ࢞Ԣሻ ቈ ܤሺ࢞Ԣሻ ߚ ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯቉ ݀ߪԢ డఆ ，ߚ ് 0   下面证明 Green函数的对称性。令  ݑכሺ࢞ሻ ൌ ܩכ൫࢞，࢞Ԣ൯，ݒሺ࢞ሻ ൌ ܩ൫࢞，࢞ԢԢ൯  分别满足  ܮൣܩכ൫࢞，࢞Ԣ൯൧ ൌ ߜ൫࢞，࢞Ԣ൯，ܮൣܩ൫࢞，࢞ԢԢ൯൧ ൌ ߜ൫࢞，࢞ԢԢ൯  7    依据 Green公式  ܩכ൫࢞ᇱ，࢞ᇱᇱ൯ െ ܩ൫࢞ᇱᇱ，࢞ᇱ൯   ൌ ර ݌ሺ࢞ሻ ൥ܩ൫࢞，࢞ԢԢ൯ ߲ܩ כ൫࢞，࢞Ԣ൯ ߲݊ െ ܩכ൫࢞，࢞Ԣ൯ ߲ܩ൫࢞，࢞ԢԢ൯ ߲݊ ൩ ݀ߪ డఆ   由于ܩכ൫࢞，࢞Ԣ൯，ܩ൫࢞，࢞ԢԢ൯都满足边值条件，上式右边的积分为零， 因此  ܩכ൫࢞ᇱ，࢞ᇱᇱ൯ ൌ ܩ൫࢞ᇱᇱ，࢞ᇱ൯  既然 Green函数取决于算子ܮ，换个角度加以研究。考虑自共轭 算子的特征值问题  ܮሾ߶ሺ࢞ሻሿ ൌ ߣߩሺ࢞ሻ߶ሺ࢞ሻ  分为非零特征值和零特征值两种情形加以讨论。  （1）如果算子ܮ特征值ߣ ് 0，ሼ߶௠ሺݔሻሽ是算子ܮ的关于特征值ߣ௠ 完备正交归一特征函数系，则可以令  ܩ൫࢞，࢞ᇱ൯ ൌ ෍ ܿ௠ ∞ ௠ୀଵ ߶௠ሺ࢞ሻ  满足  ෍ ߶௠ሺ࢞ሻ߶௠כ ሺ࢞Ԣሻ ∞ ௠ୀଵ ൌ ߜ൫࢞，࢞Ԣ൯  代入 Green函数满足的边值问题  ܮൣܩ൫࢞，࢞Ԣ൯൧ ൌ ෍ ܿ௠ ∞ ௠ୀଵ ܮሾ߶௠ሺ࢞ሻሿ ൌ ෍ ߣ௠ܿ௠ ∞ ௠ୀଵ ߶௠ሺ࢞ሻ ൌ ߜ൫࢞，࢞Ԣ൯  于是ߣ௠ܿ௠ ൌ ߶௠כ ሺ࢞Ԣሻ，由于ߣ௠ ് 0，故  ܿ௠ ൌ 1 ߣ௠ ߶௠כ ሺ࢞Ԣሻ  8    因此  ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ ෍ 1 ߣ௠ ߶௠כ ሺ࢞Ԣሻ ஶ ௠ୀଵ ߶௠ሺ࢞ሻ  因为ߣ௠是实数，显然有对称性  ܩכ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ ܩ൫࢞Ԣ，࢞൯。  （2）当算子ܮ特征值ߣ ؠ 0，设߶଴ሺ࢞ሻ ് 0满足ܮሾ߶଴ሺ࢞ሻሿ ൌ 0，显 然  ቐ ܮሾ߶଴ሺ࢞ሻሿ ൌ 0，࢞ א ߗ ߙ߶଴ሺ࢞ሻ ൅ ߚ ߲߶଴ሺ࢞ሻ ߲݊ ൌ 0，࢞ א ߲ߗ   无解。只要把  ݑכሺ࢞ሻ ൌ ܩכ൫࢞，࢞Ԣ൯，ݒሺ࢞ሻ ൌ ߶଴ሺ࢞ሻ  利用第二 Green恒等式，则߶଴כሺ࢞Ԣሻ ൌ 0，故矛盾！必须引入广义 Green 函数  ܮൣܩ൫࢞，࢞Ԣ൯൧ ൌ ߜ൫࢞，࢞Ԣ൯ െ ߶଴כሺ࢞Ԣሻ߶଴ሺ࢞ሻ ൅  令  ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ ෍ ܿ௠ ஶ ௠ୀ଴ ߮௠ሺ࢞ሻ  则  ෍ ߣ௠ܿ௠ ஶ ௠ୀ଴ ߶௠ሺ࢞ሻ ൌ ߜ൫࢞，࢞Ԣ൯ െ ߶଴כሺ࢞Ԣሻ߶଴ሺ࢞ሻ  因此  ߣ௠ܿ௠ ൌ ߶଴כሺ࢞Ԣሻ െ ߶଴כሺ࢞Ԣሻߜ௠଴  当݉ ൌ 0时ߣ଴ ൌ 0，因此ܿ଴可为任意常数；当݉ ് 0时，ߣ଴ ് 0，故  ܿ௠ ൌ 1 ߣ௠ ߶଴כሺ࢞Ԣሻ  9    于是广义 Green函数ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯为  ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ ߶଴כሺ࢞Ԣሻ߶଴ሺ࢞ሻ ൅ ෍ 1 ߣ௠ ߶௠כ ሺ࢞Ԣሻ ஶ ௠ஷଵ ߶௠ሺ࢞ሻ  其中为保持ܩ൫࢞，࢞′൯的共轭对称性，应取ܿ଴ ൌ ߮଴כሺ࢞Ԣሻ。相应地，  ݑሺ࢞ሻ ൌ ܽ ߶଴ሺ࢞ሻ ൅ න ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯݂כሺ࢞Ԣሻ ݀߬Ԣ ఆ   ൅ ە ۖ ۔ ۖ ۓെ ර ݌ሺ࢞Ԣሻ ൥ ܤሺ࢞Ԣሻ ߙ ߲ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ߲ߪԢ  ൩ ݀ߪԢ డఆ ，ߙ ് 0 ර ݌ሺ࢞Ԣሻ ቈ ܤሺ࢞Ԣሻ ߚ ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯቉ ݀ߪԢ డఆ ，ߚ ് 0   其中，ܽ是常数。  在 Green恒等式中令ݒሺ࢞ሻ ൌ ߶଴ሺ࢞ሻ，且有ܮሾ߶଴ሺ࢞ሻሿ ൌ 0，则非齐 次项݂ሺ࢞ሻ和边值函数ܤሺ࢞ሻ满足相容性关系  െ න ߶଴ሺ࢞ሻ݂כሺ࢞ሻ ݀߬ ఆ ൌ ە ۖ ۔ ۖ ۓെ ර ݌ሺ࢞ᇱሻ ቈ ܤכሺ࢞ሻ ߙ ߲߶଴ሺ࢞ሻ ߲݊ ቉ ݀ߪ డఆ ，ߙ ് 0 ර ݌ሺ࢞ᇱሻ ቈ ܤכሺ࢞ሻ ߚ ߶଴ሺ࢞ሻ቉ ݀ߪ డఆ ，ߚ ് 0   如果边界条件是齐次的，就有  න ߮଴ሺ࢞ሻ݂כሺ࢞ሻ ݀߬ ఆ ൌ 0       一般地，如果特征值ߣ ؠ 0是݊重简并的，则对ߣ ൌ 0而言，有݊个 特征函数满足ܮሾ߶௞଴ሺ࢞ሻሿ ൌ 0，݇ ൌ 1，2，ڮ，݊；则上述结果右边的 ܽ ߶଴ሺ࢞ሻ修改为  ෍ ܽ௞߶௞଴ሺ࢞ሻ ௡ ௞ୀଵ   广义 Green函数修改为  10    ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ ෍ ߶௞଴כ ሺ࢞Ԣሻ߶௞଴ሺ࢞ሻ ௡ ௞ୀଵ ൅ ෍ 1 ߣ௠ ߶௠כ ሺ࢞Ԣሻ ஶ ௠ஷଵ ߶௠ሺ࢞ሻ       例 1．  Poisson方程的 Neumann问题  ቐ െ ׏ଶݑ ൌ ݂ሺ࢞ሻ，࢞ א ߗ ߲ݑሺ࢞ሻ ߲݊ ൌ 0，࢞ א ߲ߗ   是具有零特征值的简单例子。显然ߣ ൌ 0是算子ܮ ൌ െ ׏ଶ的特征值， 相应的特征函数为  ߶଴ሺ࢞ሻ ൌ 1 √ܸ ，ܸ是区域ߗ的体积  相容性条件为  න ݂ሺ࢞ሻ ݀߬ ఆ ൌ 0  物理意义很明确，如果把问题看作稳态热平衡问题，绝热边界条件表 明没有热量通过边界，稳定分布的条件是总热量产生为零。这时，广 义 Green函数ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯定义为  ە ۖ ۔ ۖ ۓെ ׏ଶܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ െ 1 ܸ ൅ ߜሺ࢞ െ ࢞Ԣሻ，࢞，࢞Ԣ א ߗ ߲ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ߲݊ อ ࢞אడఆ ൌ 0，࢞Ԣ א ߗ ൅ ߲ߗ   一般解为  ݑሺ࢞ሻ ൌ ܥ ൅ න ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯݂כሺ࢞Ԣሻ ݀߬Ԣ ఆ    其中ܥ为任意常数。  11    1.2 Helmholtz算子  考虑在数学物理中占有中心位置的 Helmholtz方程  ܮ ൌ െ׏ଶ ൅ ݇ଶ，݇ଶ ൐ 0  非齐次边值问题  ቐ ሺെ׏ଶ ൅ ݇ଶሻݑሺ࢞ሻ ൌ ݂ሺ࢞ሻ，࢞ א ߗ ߙ ݑሺݔሻ ൅ ߚ ߲ݑሺ࢞ሻ ߲݊ ൌ ݃ሺ࢞ሻ，࢞ א ߲ߗ   Green函数为下列边值问题  ە ۔ ۓ ሺെ׏ ଶ ൅ ݇ଶሻܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ ߜ൫࢞，࢞Ԣ൯，࢞，࢞Ԣ א ߗ ൥ߙܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൅ ߚ ߲ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ߲݊ ൩ ࢞אడఆ ൌ 0，࢞Ԣ א ߗ ൅ ߲ߗ  用特征函数法求解。令  ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ ෍ ܿ௠ ஶ ௠ୀ଴ ߶௠ሺ࢞ሻ  其中߮௠ሺ࢞ሻ是 Laplace算子的特征函数系  ൞ െ׏ଶ߶௠ሺ࢞ሻ ൌ ߣ௠߶௠ሺ࢞ሻ，࢞ א ߗ ቈߙ߶௠ሺ࢞ሻ ൅ ߚ ߲߶௠ሺ࢞ሻ ߲݊ ቉ ࢞אడఆ ൌ 0   因此有  ෍ ܿ௠ሺߣ௠ ൅ ݇ଶሻ ஶ ௠ୀ଴ ߶௠ሺ࢞ሻ ൌ ߜ൫࢞，࢞ᇱ൯ ൌ ෍ ߶௠ሺ࢞ሻ߶௠כ ሺ࢞ᇱሻ ஶ ௠ୀଵ   故有  ܿ௠ሺߣ௠ ൅ ݇ଶሻ ൌ ߶௠כ ሺ࢞ᇱሻ  分两种情形讨论：  （1）当ߣ௠ ൅ ݇ଶ ് 0。于是  12    ܿ௠ ൌ ߶௠כ ሺ࢞ᇱሻ ߣ௠ ൅ ݇ଶ   Green函数为  ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ ෍ 1 ߣ௠ ൅ ݇ଶ ஶ ௠ୀ଴ ߶௠כ ሺ࢞ᇱሻ߶௠ሺ࢞ሻ  （2）当ߣ௠ ൅ ݇ଶ＝0。因߶௠כ ሺ࢞ᇱሻ不可能恒为零，故必须推广 Green 函数的定义  ە ۔ ۓሺെ׏ ଶ ൅ ݇ଶሻܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ െ߶௠ሺ࢞ሻ߶௠כ ሺ࢞ᇱሻ ൅ ߜ൫࢞，࢞Ԣ൯，࢞，࢞Ԣ א ߗ ൥ߙܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൅ ߚ ߲ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ߲݊ ൩ ࢞אడఆ ൌ 0，࢞ᇱ א ߗ ൅ ߲ߗ   可求得，当ߣ௠ ് ߣ௞时，  ܿ௞ ൌ ߶௠כ ሺ࢞ᇱሻ ߣ௠ ൅ ߣ௞   其中ܿ௠为任意常数，为保持ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯共轭对称性，应取ܿ௠ ൌ ߶௠כ ሺ࢞ᇱሻ  ܩ൫࢞，࢞ᇱ൯ ൌ ߶௠כ ሺ࢞ᇱሻ߶௠ሺ࢞ሻ ൅ ෍ 1 ߣ௞ െ ߣ௠ ஶ ௞ஷ௠ ߶௞ כ ሺ࢞ᇱሻ߶௞ሺ࢞ሻ   例 2．二维圆内 Helmholtz方程的 Green函数  ൝ െ ሺ׏ଶ ൅ ݇ଶሻܩ൫࢞，࢞ᇱ൯ ൌ ߜ൫࢞，࢞ᇱ൯，ݎ，ݎᇱ ൌ ܽ ܩ൫࢞，࢞ᇱ൯ห ௥ୀ଴ ൏ ∞，ܩ൫࢞，࢞ᇱ൯ห ௥ୀ௔ ൏ 0   在柱坐标系中  ࢞ ൌ ݎࢋ௥ ൅ ߠࢋఏ，࢞ᇱ ൌ ݎԢࢋ௥ ൅ ߠԢࢋఏ  且  ߜሺ࢞ െ ࢞Ԣሻ ൌ ߜሺݎ െ ݎԢሻߜሺߠ െ ߠᇱᇱሻ  首先展开ܩ൫࢞，࢞ᇱ൯成  13    ܩ൫࢞，࢞ᇱ൯ ൌ ෍ ܩ௠൫ݎ，ݎԢ൯ ஶ ௠ୀିஶ ݁௜௠ఏ ᇲᇲ   代入方程  ݀ଶܩ௠ ݀ݎଶ ൅ 1 ݎ ݀ܩ௠ ݀ݎ ൅ ቆ݇ଶ െ ݉ଶ ݎଶ ቇ ܩ௠ ൌ െ 1 2ߨݎ ߜሺݎ െ ݎԢሻ݁௜௠ఏ′  令  ܩ௠൫ݎ，ݎԢ൯ ൌ 1 2ߨ ݁ି௜௠ఏᇱᇱ݃௠൫ݎ，ݎԢ൯  则得到常微分方程  ݀ଶ݃௠ ݀ݎଶ ൅ 1 ݎ ݀݃௠ ݀ݎ ൅ ቆ݇ଶ െ ݉ଶ ݎଶ ቇ ݃௠ ൌ െ 1 ݎ ߜ൫ݎ，ݎԢ൯  用构造法求݃௠൫ݎ，ݎԢ൯，满足݃௠൫ݎ，ݎԢ൯ห௥ୀ଴ ൏ ∞的解݃௠ ሺଵሻ൫ݎ，ݎԢ൯ ൌ ܬ௠ሺߢݎሻ，而满足݃௠൫ݎ，ݎԢ൯ห௥ୀ௔ ൌ的解为  ݃௠ ሺଶሻ൫ݎ，ݎԢ൯ ൌ ܰ௠ሺ݇ܽሻܬ௠ሺ݇ݎሻ െ ܬ௠ሺ݇ܽሻܰ௠ሺ݇ݎሻ  于是构造出  ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ ෍ ܩ௠൫ݎ，ݎԢ൯ ஶ ௠ୀିஶ expሾi݉ሺߠ െ ߠԢሻሿ  其中  ܩ௠൫ݎ，ݎ′൯ ൌ ە ۖ ۔ ۖ ۓ ܬ௠ሺ݇ܽሻܰ௠ሺ݇ݎԢሻ െ ܰ௠ሺ݇ܽሻܬ௠ሺ݇ݎԢሻ 2ߝ௠ܬ௠ሺ݇ܽሻ ，ݎ ൏ ݎԢ ܬ௠ሺ݇ܽሻܰ௠ሺ݇ݎሻ െ ܰ௠ሺ݇ܽሻܬ௠ሺ݇ݎሻ 2ߝ௠ܬ௠ሺ݇ܽሻ ，ݎ ൏ ݎԢ   和  ߝ௠ ൌ ቊ 2，݉ ൌ 0 1，݉ ൌ 1   另一方面，用特征函数法也可以得到解。特征值问题。  14    例 3．  Laplace方程的球内问题  ൝ െ ׏ଶܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ ߜ൫࢞，࢞Ԣ൯，ݎ，ݎԢ ൏ ܽ ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ห ௥ୀ଴ ൏ ∞，ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ห ௥ୀ௔ ൏ 0   在柱坐标系中  ࢞ ൌ ݎࢋ௥ ൅ ߠࢋఏ ൅ ߶ࢋథ，࢞Ԣ ൌ ݎᇱࢋ௥ ൅ ߠᇱࢋఏ ൅ ߶ᇱࢋథ  且  ߜ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ 1 ݎଶ sin ߠ ߜሺݎ െ ݎԢሻߜሺߠ െ ߠԢሻߜሺ߶ െ ߶Ԣሻ ൌ 1 ݎଶ ߜሺݎ െ ݎԢሻ ෍ ෍ ௟ܻ௠ כ ൫ߠԢ，߶Ԣ൯ ௟ܻ௠൫ߠ，߶൯ ௟ ௠ୀି௟ ஶ ௟ୀ଴   首先把ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯展开成  ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ ෍ ෍ ݃௟௠ሺݎ െ ݎԢሻ ௟ܻ௠כ ൫ߠԢ，߶Ԣ൯ ௟ܻ௠൫ߠ，߶൯ ௟ ௠ୀି௟ ஶ ௟ୀ଴   代入式，应有  ݀ଶ݃௟௠ ݀ݎଶ ൅ 2 ݎ ݀݃௟௠ ݀ݎ ൅ ݈ሺ݈ ൅ 1ሻ ݎଶ ݃௟௠ ൌ ൬ 1 ݎԢ ൰ ଶ ߜሺݎ െ ݎԢሻ  根据构造法，取  ݃௟௠ ଵ ൫ݎ，ݎԢ൯ ൌ ݎ௟，݃௟௠ଶ ൫ݎ，ݎԢ൯ ൌ ൤1 െ ቀ ܽ ݎ ቁ ଶ௟ାଵ ൨ ݎ௟  注意：݃௟௠与݉无关，故有  ݃௟൫ݎ，ݎ′൯ ؠ ݃௟௠ሺݎ െ ݎԢሻ ൌ ݎ௟ሺݎԢሻ௟ ሺ2݈ ൅ 1ሻܽଶ௟ାଵ ൞ 1 െ ቀ ܽ ݎᇱ ቁ ଶ௟ାଵ ，0 ൑ ݎ ൑ ݎԢ ൑ ܽ 1 െ ቀ ܽ ݎ ቁ ଶ௟ାଵ ，0 ൑ ݎԢ ൑ ݎ ൑ ܽ   15    于是求得 Green函数  ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ ෍ ෍ ݃௟ሺݎ െ ݎԢሻ ௟ܻ௠כ ൫ߠԢ，߶Ԣ൯ ௟ܻ௠൫ߠ，߶൯ ௟ ௠ୀି௟ ஶ ௟ୀ଴   要利用加法公式  ௟ܲሺcos ߜሻ ൌ ෍ 1 2݈ ൅ 1 ௟ܻ௠ כ ൫ߠԢ，߶Ԣ൯ ௟ܻ௠൫ߠ，߶൯ ௟ ௠ୀି௟   其中ߜ为൫ݎԢ，ߠԢ，߶Ԣ൯与൫ݎ，ߠ，߶൯之间夹角，Green函数可表示为  ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ 1 4ߨ ෍ ෍ ሺ2݈ ൅ 1ሻ݃௟൫ݎ，ݎԢ൯ ௟ ௠ୀି௟ ஶ ௟ୀ଴ ௟ܲሺcos ߜሻ  1.3 基本解  基本解也就是无界空间的 Green函数。在有界空间问题中，一般 可以把 Green函数分解为  ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ ܩ଴൫࢞，࢞Ԣ൯ ൅ ܩଵ൫࢞，࢞Ԣ൯  其中ܩ଴൫࢞，࢞Ԣ൯就是无界空间的 Green函数，它满足方程  ܮൣܩ଴൫࢞，࢞Ԣ൯൧ ൌ ߜ൫࢞，࢞Ԣ൯  但不一定满足边界条件。由于ܩ଴൫࢞，࢞Ԣ൯含有奇点，可以预期在整个 区域中ܩଵ൫࢞，࢞Ԣ൯正则无奇点。由边界条件  ൥ߙܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൅ ߚ ߲ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ߲݊ ൩ ࢞אడఆ ൌ 0，࢞ᇱ א ߗ ൅ ߲ߗ   可知ܩଵ൫࢞，࢞Ԣ൯应满足的边值问题为方程  ܮൣܩଵ൫࢞，࢞Ԣ൯൧ ൌ 0，࢞，࢞ᇱ א ߗ   和边界条件  16    ൥ߙܩଵ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൅ ߚ ߲ܩଵ൫࢞，࢞Ԣ൯ ߲݊ ൩ ࢞אడఆ ൌ െ ൥ߙܩ଴൫࢞，࢞Ԣ൯ ൅ ߚ ߲ܩ଴൫࢞，࢞Ԣ൯ ߲݊ ൩ ࢞אడఆ ，࢞ᇱ א ߗ ൅ ߲ߗ   把 Green函数ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯分解为ܩ଴൫࢞，࢞Ԣ൯ 和ܩଵ൫࢞，࢞Ԣ൯的优点在于： 基本解ܩ଴൫࢞，࢞Ԣ൯容易求解，并包含ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯的奇性，而ܩଵ൫࢞，࢞Ԣ൯则 可用级数法求解，因为ܩଵ൫࢞，࢞Ԣ൯无奇性而级数有较好的收敛性。         在无界条件下，基本解方程  ܮൣܩ଴൫࢞，࢞Ԣ൯൧ ൌ ߜ൫࢞，࢞Ԣ൯  的解应对称于矢量࢞ െ ࢞Ԣ，因此只要其依赖于ݎ ൌ |࢞ െ ࢞Ԣ|的解即可。 当࢞ ് ࢞Ԣ时显然有  ܮൣܩ଴൫࢞，࢞Ԣ൯൧ ൌ 0  取在࢞ ൌ ࢞Ԣ处含有奇性的解ܩ଴൫࢞，࢞Ԣ൯即是基本解，但是仍然相差一个 常数。为此，可以取以࢞Ԣ为中心，半径ߝ的球体ܤሺߝሻ上，直接对基本 解方程两边积分  lim ఌ՜଴ න ܮሾܩ଴ሺ࢞ െ ࢞Ԣሻሿ݀߬ ஻ሺఌሻ ൌ 1  由于  න ܮሾܩ଴ሺ࢞ െ ࢞ᇱሻሿ݀߬ ஻ሺఌሻ   ൌ න ሼെ׏ሾ݌ሺ࢞ሻ׏ܩ଴ሺ࢞ െ ࢞ᇱሻሿ ൅ ݍሺ࢞ሻܩ଴ሺ࢞ െ ࢞ᇱሻሽ݀߬ ஻ሺఌሻ   ൌ ර ሾ݌ሺ࢞ሻ׏ܩ଴ሺ࢞ െ ࢞ᇱሻሿ ௌሺఌሻ · ࢔ෝ݀ݏ ൅ න ሼݍሺ࢞ሻܩ଴ሺ࢞ െ ࢞ᇱሻሽ݀߬ ஻ሺఌሻ   显然  17    lim ఌ՜଴ න ሼݍሺ࢞ሻܩ଴ሺ࢞ െ ࢞ᇱሻሽ݀߬ ஻ሺఌሻ ՜ 0  下面分别考察在边界积分  ර ሾ݌ሺ࢞ሻ׏ܩ଴ሺ࢞ െ ࢞ᇱሻሿ ௌሺఌሻ · ࢔ෝ݀ݏ  的行为。在一维空间ሺ݊ ൌ 1ሻ中，  ර ሾ݌ሺ࢞ሻ׏ܩ଴ሺ࢞ െ ࢞ᇱሻሿ ௌሺఌሻ · ࢔ෝ݀ݏ ൌ ݌ሺݔሻ ݀ ݀ݎ ܩ଴൫ݔ，ݔԢ൯ฬ ௫ᇲିఌ ௫ᇲାఌ   有  lim ௫՜௫ᇱ ݌ሺݔሻ ݀ ݀ݎ ܩ଴൫ݔ，ݔԢ൯ฬ ௫ᇲିఌ ௫ᇲାఌ ൌ െ1  在二维空间ሺ݊ ൌ 2ሻ中  ර ሾ݌ሺ࢞ሻ׏ܩ଴ሺ࢞ െ ࢞ᇱሻሿ ௌሺఌሻ · ࢔ෝ݀ݏ ൌ ቈ݌ሺݎሻ ݀ܩ଴ሺݎሻ ݀ݎ ቉ ௥ୀఌ ߝ න ݀ߠ ଶగ ଴ ൌ 2ߝߨ ቈ݌ሺݎሻ ݀ܩ଴ሺݎሻ ݀ݎ ቉ ௥ୀఌ   有  lim ௥՜଴ ൬2ߨݎ݌ሺ࢞ሻ ߲ܩ଴ ߲ݎ ൰ ൌ െ1  在三维空间ሺ݊ ൌ 3ሻ中  ර ሾ݌ሺ࢞ሻ׏ܩ଴ሺ࢞ െ ࢞ᇱሻሿ ௌሺఌሻ · ࢔ෝ݀ݏ ൌ ߝଶ ቈ݌ሺݎሻ ݀ܩ଴ሺݎሻ ݀ݎ ቉ ௥ୀఌ න න sin ߠ ଶగ ଴ ଶగ ଴ ݀ߠ݀߮ ൌ 4ߨߝଶ ቈ݌ሺݎሻ ݀ܩ଴ሺݎሻ ݀ݎ ቉ ௥ୀఌ   有  18    lim ௥՜଴ ൬4ߨݎଶ݌ሺ࢞ሻ ߲ܩ଴ ߲ݎ ൰ ൌ െ1  其中݌ሺ࢞ሻ在ݎ ՜ 0时无奇性，可从上述各式的极限号中移出。由此可 知，当࢞ ՜ ࢞ᇱ时，基本解的奇性为  lim ࢞՜࢞ᇲ ܩ଴൫࢞，࢞ᇱ൯ ൌ െ 1 2 ە ۖۖ ۔ ۖۖ ۓ 1 ݌ሺݔᇱሻ |ݔ െ ݔᇱ|， ݊ ൌ 1 1 ߨ݌ሺ࢞ᇱሻ ln|࢞ െ ࢞ᇱ|，݊ ൌ 2 1 2ߨ݌ሺ࢞ᇱሻ 1 |࢞ െ ࢞ᇱ| ，݊ ൌ 3   §2镜像法求 Green函数  当所研究问题的区域比较简单时，可用镜像法求解 Green函数。 从数学上讲，镜像法就是利用奇偶函数的性质把区域适当地对称开拓 到全空间，使所求的解限制在原区域自然满足所给定的边界条件。从 物理上讲，镜像法就是在物体的外部设置虚拟的点源（汇），使得它 们与原来设置在物体内部的点源一起在全空间所产生的位势场恰好 使物体表面的位势或位势的导数等于零。  边值问题的 Green函数的结构可以分解成  ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ ܩ଴൫࢞，࢞Ԣ൯ ൅ ܩ௞൫࢞，࢞Ԣ൯  其中ܩ଴൫࢞，࢞′൯是基本解，在࢞ ൌ ࢞Ԣ点有奇性  ܮൣܩ଴൫࢞，࢞Ԣ൯൧ ൌ ߜ൫࢞，࢞Ԣ൯，࢞，࢞Ԣ א ߗ   而ܩ௞൫࢞，࢞Ԣ൯在所考虑区域内满足  ܮൣܩ௞൫࢞，࢞Ԣ൯൧ ൌ 0，࢞，࢞Ԣ א ߗ  求出适当的ܩ௞൫࢞，࢞Ԣ൯满足边值条件    2.1       半空 基本 在边 其 ܩ௞൫ 为   半空间     求在直 ࢞ 空间 Lapla 本解  边界上  中 ߩ ൌ ൫ݔ ൫࢞，࢞Ԣ൯  直角坐标系 ࢞ ൌ ݔࢋ௫ ൅ ace方程的 ൝ െ ׏ ܩ଴൫࢞ ݔ，ݕ൯，ߩԢ ܩ௞൫ 系  ൅ ݕࢋ௬ ൅ ݖ 的第一边值 ׏ଶܩ൫࢞，࢞ ܩ൫࢞， ܩ଴൫࢞， ，࢞Ԣ൯ห ௭ୀ଴ Ԣ ൌ ൫ݔᇱ，ݕ ൫࢞，࢞Ԣ൯ห ௭ 19  ݖࢋ௭，࢞Ԣ ൌ 值问题  ࢞Ԣ൯ ൌ ߜ൫࢞ ࢞Ԣ൯ห ௭ୀ଴ ൌ ࢞Ԣ൯ ൌ 4ߨ ൌ 4ߨඥ|ߩ ݕԢ൯。为 ௭ୀ଴ ൌ െܩ଴ 且在 如图 镜像 ܲԢ 换言 演点 ൌ ݔԢࢋ௫ ൅ ݕ ࢞，࢞Ԣ൯，ݖ ൌ 0 1 |࢞ െ ࢞Ԣ| 1 ߩ െ ߩԢ|ଶ ൅ 满足边值 ଴൫࢞，࢞Ԣ൯ห 在上半空间 图所示，取 像点为  Ԣ ൌ ൫ݔᇱᇱ， 言之ܲԢԢ是ܲ 点。在ܲԢԢ ݕԢࢋ௬ ൅ ݖԢࢋ ൐ 0   ൅ ሺݖԢሻଶ   值条件， ௭ୀ଴   间满足 La 取ܲԢ ൌ ൫ݔ ݕԢԢ，ݖԢԢ൯ ൌ ൫ݔᇱ，ݕ ܲԢ关于平 放一点源 ࢋ௭  必须选 aplace 方 ݔᇱ，ݕԢ，ݖԢ ݕᇱ，െ ݖԢ൯ 面ݖ ൌ 0的 源，产生的 选择 程， Ԣ൯的 ൯  的反 的场 20    ܩ଴൫࢞，࢞ԢԢ൯ ൌ െ 1 4ߨ|࢞ െ ࢞ԢԢ|   得到  ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ ܩ଴൫࢞，࢞Ԣ൯ ൅ ܩ௞൫࢞，࢞Ԣ൯    即  ܩ൫࢞，࢞′൯ ൌ 1 4ߨ ൬ 1 |࢞ െ ࢞Ԣ| െ 1 |࢞ െ ࢞ԢԢ| ൰  从而上半平面的 Laplace方程的第一边值问题  ൝ ׏ଶݑ൫ݔ，ݕ，ݖ൯ ൌ 0，ݖ ൐ 0 ݑ൫ݔ，ݕ，ݖ൯ห ௭ୀ଴ ൌ ߮ ൫ݔ，ݕ൯   的解为  ݑ൫ݔ，ݕ，ݖ൯ ൌ െ ඵ ߮ ൫ݔᇱ，ݕ′൯ ஶ ߲ܩ൫ݔ，ݕ，ݖ；ݔᇱ，ݕԢ，ݖԢ൯ ߲݊′Ԣ อ ௭ᇲୀ଴ ݀ݔᇱ݀ݕԢ 而  ߲ܩ൫ݔ，ݕ，ݖ；ݔᇱ，ݕԢ，ݖԢ൯ ߲݊Ԣ อ ௭ᇲୀ଴ ൌ െ ߲ܩ൫ݔ，ݕ，ݖ；ݔᇱ，ݕԢ，ݖԢ൯ ߲ݖԢ อ ௭ᇲୀ଴ ൌ 1 2ߨ െݖ ሾሺݔ െ ݔԢሻଶ ൅ ሺݕ െ ݕԢሻଶ ൅ ݖଶሿଷ/ଶ   因此解为  ݑ൫ݔ，ݕ，ݖ൯ ൌ ݖ 2ߨ ඵ ߮ ൫ݔᇱ，ݕԢ൯ ሾሺݔ െ ݔԢሻଶ ൅ ሺݕ െ ݕԢሻଶ ൅ ݖଶሿଷ/ଶ ݀ݔԢ݀ݕԢ ∞   2.2 条带区域           求在无穷带形区域ߗ二维 Laplace方程的第二边值问题  21    ە ۖ ۔ ۖ ۓ െ ׏ ଶܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ ߜ൫࢞，࢞Ԣ൯，࢞，࢞Ԣ א ߗ ߲ܩ൫࢞，࢞ᇱ൯ ߲ݔ อ ௫ୀേ௔ଶ ൌ 0， െ ∞ ൏ ݕ ൏ ∞ lim |௬|՜ஶ หܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ห ൏ ൅∞   其中区域  ߗ ൌ ቄ൫ݔ，ݕ൯ห െ ܽ 2 ൏ ݔ ൏ ൅ ܽ 2 ，െ ∞ ൏ ݕ ൏ ∞ቅ  点࢞Ԣ的坐标为൫0，ܾ൯，ߗ ؿ ܴଶ。  根据镜像法的原理，将上述无穷带形区域ߗ上的函数偶周期地开 拓到全平面，以保证第二类边界条件被满足。从物理上讲，即在点 ൫േ݊ܽ，ܾ൯处放置与点൫0，ܾ൯一样各设置一个点源。在拓展后的全平 面上  െ ׏ଶܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ ෍ ߜ൫ݔ േ ݊ܽ，ݕ െ ܾ൯ ஶ ௡ୀିஶ ，ݔ，ݕ א ܴଶ  采用点源叠加大方式  ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ െ 1 4ߨ ෍ ሼlnሾሺݔ േ ݊ܽሻଶ ൅ ሺݕ െ ܾሻଶሿ ൅ ܿ௡ሽ ஶ ௡ୀିஶ   其中ܿ௡为待定常数。问题是如何选定常数ܿ௡，使得无穷级数收敛。写 为  ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ ܿ଴ ൅ lnሾݔଶ ൅ ሺݕ െ ܾሻଶሿ െ 1 4ߨ ෍ሼlnሾሺݔ ൅ ݊ܽሻଶ ൅ ሺݕ െ ܾሻଶሿሾሺݔ െ ݊ܽሻଶ ൅ ሺݕ െ ܾሻଶሿ ஶ ௡ୀଵ ൅ ܿ௡ሽ  令  ܨ௡൫ݔ，ݕ൯ ൌ lnሾሺݔ ൅ ݊ܽሻଶ ൅ ሺݕ െ ܾሻଶሿሾሺݔ െ ݊ܽሻଶ ൅ ሺݕ െ ܾሻଶሿ  22    无穷级数收敛，一般项趋于零  lim ௡՜ஶ ൣܨ௡൫ݔ，ݕ൯ ൅ ܿ௡൧ ՜ 0  由于݊ ՜ ∞时，ܨ௡൫ݔ，ݕ൯~ lnሺ݊ସܽସሻ，因此ܿ௡ ൌ െ lnሺ݊ସܽସሻ。有  ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ ܿ଴ ൅ lnሾݔଶ ൅ ሺݕ െ ܾሻଶሿ െ 1 4ߨ ෍ ln ቊ1 ൅ 2ሾെݔଶ ൅ ሺݕ െ ܾሻଶሿ ݊ଶܽଶ ൅ ሾݔଶ ൅ ሺݕ െ ܾሻଶሿଶ ݊ସܽସ ቋ ஶ ௡ୀଵ   因为当ݔ ൐ 0时，lnሺ1 ൅ ݔሻ ൏ ݔ，故  ln ቊ1 ൅ 2ሾെݔଶ ൅ ሺݕ െ ܾሻଶሿ ݊ଶܽଶ ൅ ሾݔଶ ൅ ሺݕ െ ܾሻଶሿଶ ݊ସܽସ ቋ ൑ ܿ௫௬ ݊ସܽସ   其中ܿ௫௬是依赖于ݔ，ݕ但与݊无关的常数，由于无穷级数  ෍ ܿ௫௬ ݊ସܽସ ஶ ௡ୀଵ   是收敛的，因此解表达式中的无穷级数除了点൫േ݊ܽ，ܾ൯外是收敛的， 且是ݔ，ݕ的连续函数。  2.3 球区域  在球坐标系中，求 Laplace方程的第一边值问题  ൝ െ ׏ଶܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ ߜ൫࢞，࢞Ԣ൯，ݎ，ݎԢ ൏ ܽ ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ห ௥ୀ௔ ൌ 0   基本解仍为  ܩ଴൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ 1 4ߨ|࢞ െ ࢞Ԣ|   现在来求  ൣܩ଴൫࢞，࢞Ԣ൯ ൅ ܩ௞൫࢞，࢞Ԣ൯൧௥ୀ௔ ൌ 0    取ܲ 线上 其中 换言 演点 其中 ܩ൫࢞ 其中 只要 则有 容易 ܲԢ镜像点 上，且点ܲ 中ݎԢ ൌ ܱܲതതതത ࢞ 言之ܲԢԢ是 点。于是 中常数ܿ依 ࢞，࢞ᇱ൯ห ௥ୀ ൌ ܿ 4 中ߜ为球面 ܩ൫࢞ 要取  有ܩ൫࢞，࢞ ܩ 易求得  点ܲԢԢ在线段 ܲԢԢ与原点 ܱܲԢԢതതതതതത ൌ ܽ ݎ ܲԢതത，ܲԢԢ的位 ࢞ᇱᇱ ൌ ܽଶ |࢞ Ԣ|ଶ 是ܲԢ关于球 ，取ܩ௞൫࢞ ܩ௞൫࢞，࢞Ԣ 依据  ൣܩ଴൫࢞ ୀ௔   ܿ ߨ ቈ ඥܽଶ െ 面上一点ܲ ࢞，࢞Ԣ൯ห ௥ୀ ࢞Ԣ൯ห ௥ୀ௔ ൌ ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ 段ܱܲԢതതതതത的延 点ܱ的距离 ܽଶ ݎԢ   位置矢径 ଶ ࢞Ԣ 球面ݎ ൌ ܽ的 ࢞，ࣈ൯为ܲԢ Ԣ൯ ൌ 4ߨ|࢞ ࢞，࢞Ԣ൯ ൅ 1 െ 2ܽݎᇱ cos ܲ与ܲԢ之间 ௔ ൌ 1 4ߨ ቆ1 0。因此， ൌ 1 4ߨ ൬ |࢞ 23  延长 离为  为  的反 ԢԢ处点源产 ܿ ࢞ െ ࢞ ԢԢ| ൌ ܩ௞൫࢞，࢞ ߜ ൅ ሺݎԢሻଶ 间的夹角。 1 ൅ ܿݎᇱ ܽ ቇ ඥ ܿ ൌ െ ܽ ݎᇱ ，求得边 1 ࢞ െ ࢞Ԣ| െ ݎ 产生的场 4ߨ|࢞ െ ܽ Ԣ൯൧ ௥ୀ௔ ൌ ൅ ඥܽଶ െ 上式即为 ඥܽଶ െ 2ܽ 值问题的 ܽ ݎԢ |࢞ െ ܽଶ ܿ ܽଶ࢞ᇱ/|࢞Ԣ|ଶ 0确定。在 1 െ 2ܽଷݎᇱ co 为  1 ܽ cos ߜ ൅ ሺ 的解为  1 ଶ࢞ᇱ/|࢞Ԣ|ଶ| ൰ |   在边界上  os ߜ ൅ ሺݎԢሻ ሺݎԢሻଶ   ൰  ሻଶ ቉  24    ߲ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ߲݊Ԣ อ ௥ᇱୀ௔ ൌ ߲ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ߲ݎԢ อ ௥ᇱୀ௔ ൌ 1 4ߨܽ ݎଶ െ ܽଶ ሾܽଶ െ 2ܽݎ cos ߜ ൅ ݎଶሿଷ/ଶ   如果给定球面上  ݑ൫ݎ，ߠ，߶൯ห ௥ୀ௔ ൌ ߮ ൫ߠ，߶൯  得到解  ݑ൫ݎ，ߠ，߶൯ ൌ ܽ 4ߨ න න ሺܽଶ െ ݎଶሻ߮ ൫ߠ′，߶′൯ ሾܽଶ െ 2ܽݎ cos ߜ ൅ ݎଶሿଷ/ଶ sin ߠ′݀ߠ′݀߶′ గ ଴ ଶగ ଴   称为球 Poisson公式，其中    cos ߜ ൌ cos ߠ cos ߠԢ＋ sin ߠ sin ߠԢ cosሺ߶ െ ߶ᇱሻ  §3 发展方程的 Green函数  1859 年，Riemann 首先广义地使用了 Green 定理，研究波动方 程．Du Bois‐Reymond（1836－1889）的论文和 Darboux“曲面的—般 理论”的著作，都引用了 Riemann的论文，把 Green定理推广到共轭 偏微分方程，称为广义 Green定理。  讨论一般形式的二阶偏微分算子  ܮሾݑሿ ൌ ෍ ܽ௞௟ሺ࢞ሻ ߲ଶݑ ߲ݔ௞߲ݔ௟ ௡ ௞,௟ୀଵ ൅ ෍ ܾ௞ሺ࢞ሻ ߲ݑ ߲ݔ௞ ௡ ௞ୀଵ ൅ ܿሺ࢞ሻݑ  其中  ࢞ ൌ ൫ݔଵ，ݔଶ，ڮ，ݔ௡൯  3.1 Riemann方法            1859年，Riemann在研究有限振幅击波传播的过程中，创立了   解波 的二 其中 问题 时， 行。 特征 于微 于是 波动方程初 二阶线性微 中，݌，ݍ， 题是已知 ，去求出在 。他的方法 征函数，使 微分表达式 是 Green定 初值问题 微分方程 ܮሾݑሿ ݎ是ݔ，ݕ 了沿曲线 在任意点ܲ 法依赖于 使其满足 ܮାሾݒሿ ൌ 式ܮሾݑሿ， ܺ ܻ 定理说  题的一个完 程  ൌ ߲ଶݑ ߲ݔ߲ݕ ൅ ݕ的二阶可 ߁的ݑ及其 ߲ݑ ߲݊ ，也就 ܲ处的ݑ൫ݔ 于找一个函 足现今所称 ൌ ߲ଶݒ ߲ݔ߲ݕ െ 引入  ܺ ൌ 1 2 ൬ݒ ܻ ൌ 1 2 ൬ݒ 25  完全不同的 ൅ ݌ ߲ݑ ߲ݔ ൅ 可微连续函 其法向导数 就是已知 ݔ，ݕ൯，该 函数ݒ൫ݔ，ݕ 称的共轭方 െ ߲ሺ݌ݒሻ ߲ݔ െ ݒ ߲ݑ ߲ݕ െ ݑ ߲ ߲ ݒ ߲ݑ ߲ݔ െ ݑ ߲ ߲ 的方法．他 ݍ ߲ݑ ߲ݕ ൅ ݎݑ 函数，但是 数  ߲ݑ ߲ݔ ， ߲ݑ ߲ݕ 该曲线߁与 ݕ൯，后人 方程  ߲ሺݍݒሻ ߲ݕ ൅ 引入通 征线  的线端 Green ߲ݒ ߲ݔ ൰ ൅ ܦݑݒ ߲ݒ ߲ݕ ൰ ൅ ܧݑݒ 他考虑可写 ݑ ൌ 0  是与ݑ及其 与特征线ݔ轴 人称作 Riem ݎݑ ൌ 0  通过点ܲ൫ߦ ݔ ൌ ߦ，ݕ 端ܲ ଵܲ和ܲ 定理的二 ݒ  ݒ  写为如下形 其导数无关 轴和ݕ轴不 mann函数 ߦ，ߟ൯处的 ݕ ൌ ߟ  ܲ ଶܲ，把广 二维形式应 形状 关。 不平 数或 的特 广义 应用 26    න ሺݒܮሾݑሿ െ ݑܮାሾݒሿሻ ௌ ݀ܵ ൌ න ൬ ߲ܺ ߲ݔ ൅ ߲ܻ ߲ݕ ൰ ௌ ݀ܵ ൌ ර ൣܺ cos൫݊，ݔ൯ ൅ ܻ cos൫݊，ݕ൯ ൧ ஼ ݀ݏ  其中ܵ是图中所示为闭合曲线ܥ所包围的区域，cos൫݊，ݔ൯是ܥ的法线 与ݔ轴间夹角的余弦。  Riemann对函数ݒ൫ݔ，ݕ൯提出要求  ݒ൫ߦ，ߟ൯ ൌ 1， ൤߲ݒ ߲ݔ െ ܦݒ൨ ௫ୀక ൌ 0， ൤߲ݑ ߲ݕ െ ܧݑ൨ ௬ୀఎ ൌ 0  并使用条件ܮାሾݒሿ ൌ 0，计算出在闭合曲线ܥ上的积分  ݑ൫ߦ，ߟ൯ ൌ ර ൣܺ cos൫݊，ݔ൯ ൅ ܻ cos൫݊，ݕ൯ ൧ ௰ ݀ݏ ൅ 1 2 ൣሺݑݒሻ௉భ ൅ ሺݑݒሻ௉మ൧  这样，在任一点ܲ൫ߦ，ߟ൯处的函数值ݑ൫ߦ，ߟ൯就可以用  ݑ， ߲ݑ ߲݊ ，ݒ， ߲ݒ ߲݊   在曲线߁上的值和ݑ，ݒ在点 ଵܲ和 ଶܲ上的值表示出来。  Riemann 方法取得的成就在于：把原来关于ݑ的初值问题变成关 于ݒ的另一类初值问题，而这个问题通常比较容易求解。但是，所述 的 Riemann方法仅对以二元波动方程作为例子的那类方程有用，而不 能直接推广．当推广到多于两个独立变量时，遇到 Riemann函数在积 分区域边界上奇异，从而积分发散的困难．这方法借助自伴算子的发 展已经被推广，Hilbert空间就可以看成是自伴的 Banach空间。  例如，波动方程的型为  27    ܮሾݑሿ ൌ ߲ଶݑ ߲ݔ߲ݕ ൌ 0  则共轭方程  ܮାሾܴሿ ൌ ߲ଶܴ ߲ݔ߲ݕ ൌ 0  而且在  ݔ ൌ ߦ，ݕ ൌ ߟ上ܴ ൌ 1，从而ܴ ؠ 1，也就是说  ܴ ൌ ܪሺݔ െ ߦሻܪሺݕ െ ߟሻ  从而得到 d’Alembert公式。对于电报方程  ܮሾݑሿ ൌ ߲ଶݑ ߲ݔ߲ݕ ൅ ݑ ൌ 0  则共轭方程  ܮାሾܴሿ ൌ ߲ଶܴ ߲ݔ߲ݕ ൅ ܴ ൌ 0  其中  ܴ ൌ 1 在ݔ ൌ ߦ，ݕ ൑ ߟ和ݕ ൌ ߟ，ݔ ൑ ߦ上  可以把原点变换成 ൫ߦ，ߟ൯，并注意“对称性”，即如果 ܴ ൌ ܨ൫ݔ െ ߦ，ݕ െ ߟ൯是一个 Riemann 函数，那么ܨ ቀߙሺݔ െ ߦሻ，ߙିଵሺݕ െ ߟሻቁ也是 Riemann函数，其中ߙ为任意常数。于是 Riemann函数ܴ仅是 相似变量ሺݔ െ ߦሻሺݕ െ ߟሻ ൌ ݏ的函数，比如记成ܨ൫2√ݏ൯，于是满足  ݀ଶܨ ݀ݏଶ ൅ 1 ݏ ݀ܨ ݀ݏ ൅ ܨ ൌ 0，对于ݏ ൐ 0  且ܨሺ0ሻ ൌ 1。因此ܨሺݏሻ ൌ ܬ଴ሺݏሻ，第一类零阶 Bessel函数，即  ܴ ൌ ܬ଴ ቀ2ඥሺݔ െ ߦሻሺݕ െ ߟሻቁ  在乘上ܪሺݔ െ ߦሻܪሺݕ െ ߟሻ使之在整个平面上有定义。  28    3.2共轭微分算子  算子ܮ的共轭算子  ܮାሾݒሿ ൌ ෍ ߲ଶሺܽ௞௟ݒሻ ߲ݔ௞߲ݔ௟ ௡ ௞,௟ୀଵ െ ෍ ߲ሺܾ௞ݒሻ ߲ݔ௞ ௡ ௞ୀଵ ൅ ܿݓ  如果ܮା ൌ ܮ，称为自共轭算子。例如  ܮ ൌ െ׏ · ሾ݌ሺݔሻ׏ሿ ൅ ݍሺݔሻ，ܮା ൌ െ׏ · ሾ݌ሺݔሻ׏ሿ ൅ ݍሺݔሻ  波动型算子  ߎ ൌ ߱ ∂ଶ ∂ݐଶ ൅ ܮ，ߎା ൌ ߱ ∂ ଶ ∂ݐଶ ൅ ܮ  是自共轭的；但是抛物型算子  ߎ ൌ ߱ ∂ ∂ݐ ൅ ܮ，ߎା ൌ െ߱ ∂ ∂ݐ ൅ ܮ  不是自共轭的。由于  ݒܮሾݑሿ െ ݑܮାሾݒሿ ൌ ෍ ߲ ߲ݔ௞ ൝෍ ൤ܽ௞௟ݒ ߲ݑ ߲ݔ௟ െ ݑ ߲ݑ ߲ݔ௞ ሺܽ௞௟ݒሻ൨ ൅ ܾܿ௞ݑݒ ௡ ௟ୀଵ ൡ ௡ ௞ୀଵ   令  ܴ௞ ൌ ෍ ൤ܽ௞௟ݒ ߲ݑ ߲ݔ௟ െ ݑ ߲ݑ ߲ݔ௞ ሺܽ௞௟ݒሻ൨ ൅ ܾܿ௞ݑݒ ௡ ௟ୀଵ   则有  ݒܮሾݑሿ െ ݑܮାሾݒሿ ൌ ෍ ߲ܴ௞ ߲ݔ௞ ௡ ௞ୀଵ   右边具有散度的形式，利用 Green公式，在区域ߗ中积分  න ሺݒܮሾݑሿ െ ݑܮାሾݒሿሻ ఆ ݀߬ ൌ ෍ ර ܴ௞ డఆ ௡ ௞ୀଵ cos൫ݔ௞，݊௞൯ ݀ߪ  注意其中݀߬和݀ߪ是广义的体积元和面积元，区域ߗ可能包含时间变量 29    和空间变量，未必一定物理空间的。  如果取函数ݒ为无限大空间，那么  න ሺݒܮሾݑሿ െ ݑܮାሾݒሿሻ ఆ ݀߬ ൌ 0  进一步地，令  ܾ ൌ ෍ ൭ܾ௞ െ ෍ ߲ܽ௞௟ ߲ݔ௞ ௡ ௟ୀଵ ൱ cos൫ݔ௞，݊௞൯ ௡ ௞ୀଵ   和共轭边界算子  ܲሾݑሿ ൌ ෍ ܽ௞௟ cos൫ݔ௞，݊௞൯ ௡ ௞,௟ୀଵ ߲ݑ ߲ݔ௟ ൅ ߚݑ  ܳሾݒሿ ൌ ෍ ܽ௞௟ cos൫ݔ௞，݊௞൯ ௡ ௞,௟ୀଵ ߲ݒ ߲ݔ௟ െ ሺܾ െ ߚሻݓ  其中ߚ为边界߲ߗ上的任一连续函数，则有广义 Green公式  න ሺݒܮሾݑሿ െ ݑܮାሾݒሿሻ ఆ ݀ߗ ൌ ර ሺݒܲሾݑሿ െ ݑܳሾݒሿሻ డఆ ݀ߑ  显然，对于第一类边界条件，ߚ ൌ ∞；对于第二类边界条件，ߚ ൌ 0。 一般地为第三类条件。考虑广义的边值问题  ቊ ܮ ሾݑሿ ൌ ݂ሺ࢞ሻ，࢞ א ߗ ܲሾݑሿ|డఆ ൌ ߮ ሺ࢞ሻ   并定义 Green函数满足边值问题  ൝ ܮ෠ାܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ ൌ ߜሺ࢞ െ ࢞Ԣሻ，࢞，࢞Ԣ א ߗ ෠ܳܩ൫࢞，࢞Ԣ൯ห డఆ ൌ 0， ࢞ א ߗ ൅ ߲ߗ   其中ܮ෠ା和 ෠ܳ表明算子ܮା和ܳ对࢞Ԣ作用。在广义 Green 公式中，取 ݓ ൌ ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯，而ݑሺ࢞Ԣሻ满足广义边值问题，则该边值问题的解可以 30    写为  ݑሺ࢞ሻ ൌ න ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯݂ሺ࢞ሻ ఆ ݀ߗ െ ර ܩ൫࢞，࢞Ԣ൯߮ሺ࢞Ԣሻ݀ߑ డఆ   注意，此时 Green函数由共轭算子定义。  3.3 抛物型方程           不失一般性，考虑抛物型方程  ߎݑ ൌ ߱ ∂ݑ ∂ݐ െ ׏ · ሾ݌ሺ࢞ሻ׏ݑሿ ൅ ݍሺ࢞ሻݑ ൌ ݂൫࢞，ݐ൯  其中࢞ ൌ ൫ݔ，ݕ，ݖ൯，且݌ሺ࢞ሻ ൐ 0，共轭算子为    ߎାݑ ൌ െ߱ ∂ݑ ∂ݐ െ ׏ · ሾ݌ሺ࢞ሻ׏ݑሿ ൅ ݍሺ࢞ሻݑ  因此在四维时空࢞ െ ݐ区域ߗ中，时－空体积元݀ߗ ൌ ݀߬݀ݐ，其中݀߬为 三维空间体积元。设以ݐ ൌ 0为下底，ݐ ൌ ܶ为上底，以空间区域ߗ为 底面积的圆柱体记为ܴ，广义 Green公式表示为  න ሺݒߎݑ െ ݑߎାݒሻ ோ ݀ߗ ൌ න ׏෩ · ൣെ݌ݒ׏ݑ ൅ ݑ׏ݒ，߱ݑݒ൧ ோ ݀ߗ ൌ ර ൣെ݌ݒ׏ݑ ൅ ݑ׏ݒ，߱ݑݒ൧ · ࢔݀ߑ డோ   其中，空－时四维梯度算子  ׏෩ൌ ൬׏， ∂ ∂ݐ ൰  而ൣെ݌ݒ׏ݑ ൅ ݑ׏ݒ，߱ݑݒ൧是四维矢量，  ߲ܴ ൌ ߲ܴ௫ ൅ ்߲ܴ ൅ ߲ܴ଴  在侧柱面߲ܴ௫上，法向࢔ ൌ ൫࢔௫，0൯；在底面߲ܴ଴上，࢔ ൌ ൣെ1，0൧； 31    在底面்߲ܴ上，࢔ ൌ ൣ0，1൧，有  න ሺݒߎݑ െ ݑߎାݒሻ ோ ݀ߗ ൌ ර ൤െ݌ݒ ߲ݑ ߲݊ ൅ ݌ݑ ߲ݒ ߲݊ ，߱ݑݒ൨ ݀ߑ డோೣ   ൅ ර ߱ݑݒ݀ߑ డோ೅ െ ර ߱ݑݒ݀ߑ డோబ   例 一维热传导方程混合问题  ە ۖ ۔ ۖ ۓ ∂ ∂ݐ ݑ൫ݔ，ݐԢ൯ െ ∂ ଶ ∂ݔଶ ݑ൫ݔ，ݐԢ൯ ൌ ݂൫ݔ，ݐԢ൯，0 ൏ ݔ ൏ ݈，ݐ ൐ 0 ݑ൫ݔ，0Ԣ൯ ൌ ߮ሺݔሻ，0 ൑ ݔ ൑ ݈ ݑ൫0，ݐԢ൯ ൌ ߰ଵሺݐሻ，ݑ൫݈，ݐԢ൯ ൌ ߰ଶሺݐሻ，ݐ ൒ 0   的解的表达式。取ܶ ൌ ݐ െ ߝ，ݒ൫ߦ，߬Ԣ൯ ൌ ܩ൫ݔ െ ߦ，ݐ െ ߬Ԣ൯为定解问题  ە ۖ ۔ ۖ ۓ ∂ ∂ݐ ݑ൫ݔ，ݐԢ൯ െ ∂ ଶ ∂ݔଶ ݑ൫ݔ，ݐԢ൯ ൌ ߜ൫ݔ െ ߦ，ݐ െ ߬Ԣ൯，0 ൏ ݔ ൏ ݈，ݐ ൐ 0 ݑ൫ݔ，0Ԣ൯ ൌ 0，0 ൑ ݔ ൑ ݈ ݑ൫0，ݐԢ൯ ൌ ߰ଵሺݐሻ，ݑ൫݈，ݐԢ൯ ൌ ߰ଶሺݐሻ，ݐ ൒ 0   的解，则有  න න ቊܩ൫ݔ െ ߦ，ݐ െ ߬ᇱ൯ ቈ∂ݑ ∂߬ െ ∂ଶݑ ∂ߦଶ ቉ ௟ ଴ ௧ିఌ ଴ െ ݑ൫ߦ，߬ᇱ൯ ቈെ ∂ܩ ∂߬ െ ∂ଶܩ ∂ߦଶ ቉ቋ ݀ߦ݀߬ ൌ න ൣܩ൫ݔ െ ߦ，ݐ െ ߬ᇱ൯ݑ൫ߦ，߬ᇱ൯൧ ଴ ఛୀ௧ିఌ ݀ߦ ௟ ଴ െ න ൤ܩ൫ݔ െ ߦ，ݐ െ ߬ᇱ൯ ∂ ∂ߦ ݑ൫ߦ，߬ᇱ൯ ௧ିఌ ଴ െ ݑ൫ߦ，߬ᇱ൯ ∂ ∂ߦ ܩ൫ݔ െ ߦ，ݐ െ ߬ᇱ൯൨ ଴ ௫ୀ௟ ݀߬  当߬ᇱ ൏ ݐ时，  32    െ ∂ܩ ∂߬ െ ∂ଶܩ ∂ߦ