高三数学高考压轴题集锦

高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 高考数学压轴题集锦 1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点（）的准线与x轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于、两点。 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若，求直线的方程； （3）设（），过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明. (14分) 2． 已知数对任意实数x都有，且当时，。 （1） 时，求的达式。 （2） 证明是偶函数。 （3） 试问方程是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。 3．（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：。 （1） 若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程； （2） 过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2 为定值； （3） 过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值。 4.以椭圆＝1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. 5 已知，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a＋b＋c＝0. （Ⅰ）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围. 6 已知过函数f（x）=的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。 （1） 求a、b的值； （2） 求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立； （3） 令。是否存在一个实数t，使得当时，g（x）有最大值1？ 7 已知两点M（－2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为H，︱︱是2和的等比中项。 （1） 求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线； （2） 若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程。 8．已知数列{an}满足 （1）求数列{bn}的通项公式； （2）设数列{bn}的前项和为S​n，试比较Sn与的大小，并证明你的结论. 9．已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线对称． （Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）设直线与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线经过M（-2，0）及AB的中点，求直线在轴上的截距b的取值范围； （Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，为双曲线C的左，右两个焦点，从引的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程． 10. 对任意都有 （Ⅰ）求和的值． （Ⅱ）数列满足：=+，数列是等差数列吗？请给予证明； （Ⅲ）令 试比较与的大小． 11. ：如图，设OA、OB是过抛物线y2＝2px顶点O的两条弦，且 12.知函数f(x)＝log3(x2－2mx＋2m2＋ 13.设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为函数f(x)= (1). 求f(的值。 （2）。证明：f(x)在[上是增函数。 （3）。对任意正数x1、x2,求证： 14．已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项的和.对于任意的，都有. I、求数列的通项公式. II、若对于任意的恒成立，求实数的最大值. 15.( 12分)已知点H（－3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足·=0，=－， （1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C； （2）过点T（－1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0,0），使得△ABE为等边三角形，求x0的值. 16.（14分）设f1(x)=,定义fn+1 (x)=f1［fn(x)］,an=,其中n∈N*. (1) 求数列｛an｝的通项公式； (2)若T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n,Qn=,其中n∈N*,试比较9T2n与Qn的大小. 17． 已知=（x,0），=（1，y），（+）（–）． （I） 求点（x，y）的轨迹C的方程； （II） 若直线L：y=kx+m(m0)与曲线C交于A、B两点，D（0，–1），且有 |AD|=|BD|，试求m的取值范围． 18．已知函数对任意实数p、q都满足 （1）当时，求的表达式； （2）设求证： （3）设试比较与6的大小． 19．已知函数若数列：…， 成等差数列. （1）求数列的通项； （2）若的前n项和为Sn，求； （3）若，对任意,求实数t的取值范围. 20．已知△OFQ的面积为 （1）设正切值的取值范围； （2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），， 当取得最小值时，求此双曲线的方程. （3）设F1为（2）中所求双曲线的左焦点，若A、B分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动 点，且2|AB|=5|F1F|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 21、已知函数是偶函数，是奇函数，正数数列满足 1 求的通项公式； ②若的前项和为，求. 22、直角梯形ABCD中∠DAB＝90°，AD∥BC，AB＝2，AD＝，BC＝．椭圆C以A、B为焦点且经过点D． （1）建立适当坐标系，求椭圆C的方程； （2）若点E满足，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且，若存在，求出直线l与AB夹角的范围，若不存在，说明理由． 23、．设函数 （1）求证：对一切为定值； （2）记求数列的通项公式及前n项和. 24. 已知函数是定义在R上的偶函数.当X0时, =. (I) 求当X<0时, 的解析式; (II) 试确定函数= (X0)在的单调性，并证明你的结论. (III) 若且，证明：|－|<2. 25、已知抛物线的准线与轴交于点，过作直线与抛物线交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线与X轴交于D(X0,0) ⑴求X0的取值范围。 ⑵△ABD能否是正三角形？若能求出X0的值，若不能，说明理由。 26、已知□ABCD，A（-2，0），B（2，0），且∣AD∣=2 ⑴求□ABCD对角线交点E的轨迹方程。 ⑵过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，且∣MN∣=，MN的中点到Y轴的距离为，求椭圆的方程。 ⑶与E点轨迹相切的直线l交椭圆于P、Q两点，求∣PQ∣的最大值及此时l的方程。 27．（14分）（理）已知椭圆，直线l过点A（－a，0）和点B（a，ta） （t＞0）交椭圆于M.直线MO交椭圆于N.（1）用a，t表示△AMN的面积S； （2）若t∈[1，2]，a为定值，求S的最大值. 28．已知函数f(x)= （1）求函数f(x)的解析式； （2）若数列{an}（n∈N*）满足：an>0，a1=1，an+1= [f( 30、已知点集其中点列在中，为与轴的交点，等差数列的公差为1，。 （1）求数列，的通项公式； （2）若求； （3）若是否存在使得若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 21．经过抛物线的焦点F的直线与该抛物线交于、两点. (12分) （1）若线段的中点为,直线的斜率为,试求点的坐标,并求点的轨迹方程 （2）若直线的斜率,且点到直线的距离为,试确定的取值范围. 1（1）解：由题意，可设椭圆的方程为。 由已知得解得 所以椭圆的方程为，离心率。 （2）解：由（1）可得A（3，0）。 设直线PQ的方程为。由方程组 得，依题意，得。 设，则， ① 。 ② 由直线PQ的方程得。于是 。 ③ ∵，∴。 ④ 由①②③④得，从而。 所以直线PQ的方程为或 （3，理工类考生做）证明：。由已知得方程组 注意，解得 因，故 。 而，所以。 2 ①f(x)= (2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1，4]上有4个实根 3 ①x2=4y ②x1x2=-4 ⑶P(±2,1) SMIN= 4 .解：因a＞1，不防设短轴一端点为B（0，1） 设BC∶y＝kx＋1（k＞0） 则AB∶y＝－x＋1 把BC方程代入椭圆， 是（1＋a2k2）x2＋2a2kx＝0 ∴|BC|＝，同理|AB|＝ 由|AB|＝|BC|，得k3－a2k2＋ka2－1＝0 （k－1）［k2＋（1－a2）k＋1］＝0 ∴k＝1或k2＋（1－a2）k＋1＝0 当k2＋（1－a2）k＋1＝0时，Δ＝（a2－1）2－4 由Δ＜0，得1＜a＜ 由Δ＝0，得a＝，此时，k＝1 故，由Δ≤0，即1＜a≤时有一解 由Δ＞0即a＞时有三解 5 解：依题意，知a、b≠0 ∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0 ∴a＞0且c＜0 （Ⅰ）令f（x）＝g（x）， 得ax2＋2bx＋c＝0.（*） Δ＝4（b2－ac） ∵a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴Δ＞0 ∴f（x）、g（x）相交于相异两点  （Ⅱ）设x1、x2为交点A、B之横坐标 则|A1B1|2＝|x1－x2|2，由方程（*），知 |A1B1|2＝ ∵，而a＞0，∴ ∵，∴ ∴ ∴4［（）2＋＋1］∈（3，12） ∴|A1B1|∈（，2） 6、解：（1）= 依题意得k==3+2a=－3， ∴a=－3 ，把B（1，b）代入得b= ∴a=－3，b=－1 （2）令=3x2－6x=0得x=0或x=2 ∵f（0）=1，f（2）=23－3×22＋1=－3 f（－1）=－3，f（4）=17 ∴x∈[－1，4]，－3≤f（x）≤17 要使f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立，则f（x）的最大值17≤A－1987 ∴A≥2004。 （1） 已知g（x）=－ ∴ ∵0＜x≤1，∴－3≤－3x2＜0， 1 当t＞3时，t－3x2＞0， ∴g（x）在上为增函数， g（x）的最大值g（1）=t－1=1,得t=2（不合题意,舍去） 2 当0≤t≤3时, 令=0,得x= 列表如下: x （0, ） ＋ 0 － g（x） ↗ 极大值 ↘ g（x）在x=处取最大值－＋t=1 ∴t==＜3 ∴x=＜1 ③当t＜0时，＜0，∴g（x）在上为减函数， ∴g（x）在上为增函数， ∴存在一个a=，使g（x）在上有最大值1。 7、解:（1）设动点的坐标为P（x,y）,则H（0,y）,,=（－2－x,－y） =（2－x,－y） ∴·=（－2－x,－y）·（2－x,－y）= 由题意得∣PH∣2=2·· 即 即，所求点P的轨迹为椭圆 （2）由已知求得N（2，0）关于直线x+y=1的对称点E（1，－1），则∣QE∣=∣QN∣ 双曲线的C实轴长2a=（当且仅当Q、E、M共线时取“=”），此时，实轴长2a最大为 所以，双曲线C的实半轴长a= 又 ∴双曲线C的方程式为 8.（1） （2） 9．解：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0 ∵该直线与圆相切， ∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．…………………………………………2分 故设双曲线C的方程为． 又双曲线C的一个焦点为 ∴，． ∴双曲线C的方程为．………………………………………………4分 （Ⅱ）由得． 令 直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在上有两个不等实根． 因此　 解得． 又AB中点为， ∴直线l的方程为．………………………………6分 令x=0，得． ∵， ∴ ∴．………………………………………………8分 （Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，则延长到T，使， 若Q在双曲线的左支上，则在上取一点T，使． 根据双曲线的定义，所以点T在以为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是 　　 ①…………………………………………10分 由于点N是线段的中点，设，． 则，即． 代入①并整理得点N的轨迹方程为．………………12分 10 解：（Ⅰ）因为．所以．……2分 令，得，即．……………4分 （Ⅱ） 又………………5分 两式相加 ． 所以，………………7分 又．故数列是等差数列．………………9分 （Ⅲ） ………………10分 ………………12分 所以……………………………………………………………………14分 11．设直线OA的斜率为k，显然k存在且不等于0 则OA的方程为y＝kx 由 12．(1)由题意，有x2－2mx＋2m2＋ 13．解析：（1）。，由根与系数的关系得， 同法得f( (2).证明：f/(x)=而当x时， 2x2-tx-2=2(x-故当x时, f/(x)≥0, 函数f(x)在[上是增函数。 （3）。证明： , 同理. 又f(两式相加得: 即 而由（1），f( 且f(, . 14(I)当时,, ,又{an}各项均为正数,.数列是等差数列, (II) ,若对于任意的恒成立,则.令,.当时,.又，. 的最大值是. 15.（1）设点M的坐标为(x,y)，由=－,得P(0,－),Q(,0), 2分 由·=0，得（3，－）(x,)=0,又得y2=4x, 5分 由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0, 所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点. 6分 （2）设直线l:y=k(x+1),其中k≠0,代入y2=4x,得k2x2+2(k2－2)x+k2=0,① 7分 设A（x1,y1）,B(x2,y2), 则x1,x2是方程①的两个实根，∴x1+x2=－,x1x2=1, 所以，线段AB的中点坐标为(,), 8分 线段AB的垂直平分线方程为y－=－(x－), 9分 令y=0,x0=+1,所以点E的坐标为(+1,0) 因为△ABE为正三角形，所以点E（+1,0）到直线AB的距离等于｜AB｜, 而｜AB｜==·, 10分 所以，=, 11分 解得k=±,得x0=. 12分 16.（1）f1(0)=2,a1==,fn+1(0)=f1［fn(0)］=, an+1====－=－an, 4分 ∴数列｛an｝是首项为,公比为－的等比数列，∴an=(－)n－1. 6分 （2）T2n=a1+2a2+3a3+…+(2n－1)a2n－1+2na2n, －T2n=(－a1)+(－)2a2+(－)3a3+…+(－)(2n－1)a2n－1+(－)·2na2n =a2+2a3+…+(2n－1)a2n－na2n, 8分 两式相减得T2n=a1+a2+a3+…+a2n+na2n, 所以，T2n=+n×(－)2n－1=－(－)2n+(－)2n－1, 10分 T2n=－(－)2n+(－)2n－1=(1－). ∴9T2n=1－, Qn=1－, 12分 当n=1时，22n=4,(2n+1)2=9,∴9T2n＜Qn; 当n=2时，22n=16,(2n+1)2=25,∴9T2n＜Qn; 13分 当n≥3时，22n=［（1+1）n］2 =(C+C+C+…+C)2＞(2n+1)2,∴9T2n＞Qn. 14分 17．解（I）+=（x,0）+(1,y)=(x+, y), –=（x, 0）(1,y)= (x,– y).(+)(), (+)·()=0, (x+)( x)+y·(y)=0, 故P点的轨迹方程为．　　　　　　　（６分） （II）考虑方程组 消去y，得（1–3k2）x2-6kmx-3m2-3=0 (*) 显然1-3k20, =(6km)2-4(1-3k2)( -3m2-3)=12(m2+1-3k2)>0. 设x1,x2为方程*的两根，则x1+x2=，x0=, y0=kx0+m=, 故AB中点M的坐标为（，）, 线段AB的垂直平分线方程为y=（）, 将D（0，–1）坐标代入，化简得 4m=3k21, 故m、k满足 消去k2得 m24m>0, 解得 m<0或m>4. 又4m=3k21>1, 故m(,0)(4,+)．　　（１２分） 18．(1)解　由已知得 ．　　　(4分) (2)证明　　由(1)可　知　设 则 ． 两式相减得+…+ ． （9分） （3）解　由（1）可知 则 =　　 故有 =6． （１４分） 19．（1） （2） （3） 为递增数列 中最小项为 20．（1） （2）设所求的双曲线方程为 又由 当且仅当c=4时，最小，此时Q的坐标为 所求方程为 （3）设 的方程为的方程为 则有① ② ③ 设由①②得 ， 代入③得 的轨迹为 焦点在y轴上的椭圆. 21、解：（1）为偶函数　 　　 为奇函数 　 　 　 是以为首项，公比为的等比数列. （2） 22、解析：（1）如图，以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，A（-1，0），B（1，0） 　　设椭圆方程为： 　　令　∴ 　　∴　椭圆C的方程是： 　 　　（2），，l⊥AB时不符， 　　设l：y＝kx＋m（k≠0） 　　由　 　　M、N存在 　　设M（，），N（，），MN的中点F（，） 　　∴　， 　　 ∴　∴ ∴ ∴且 　　∴　l与AB的夹角的范围是，． 23、（1） 24、（1）当X<0时, （3分） （2）函数= (X0)在是增函数；（证明略） （9分） （3）因为函数= (X0)在是增函数，由x得； 又因为，所以，所以； 因为，所以，且，即， 所以，-2≤f(x1) – f(x2) ≤2即|－|<2. （14分） 25、解：⑴由题意易得M(-1,0) 设过点M的直线方程为代入得 ………………………………………（１） 再设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２） 则ｘ１＋x2=，ｘ１·x2=１ y１＋y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(ｘ１＋x2)+2k= ∴ＡＢ的中点坐标为（） 那么线段ＡＢ的垂直平分线方程为，令得 ，即 又方程（１）中△＝ ⑵若△ABD是正三角形，则需点D到AB的距离等于 点到AB的距离d= 据得： ∴，∴，满足 ∴△ABD可以为正△，此时 26、解：⑴设E（x，y），D（x0，y0） ∵ABCD是平行四边形，∴， ∴（4，0）+（x0+2，y0）=2（x+2，y）∴（x0+6，y0）=(2x+4，2y) ∴ 又 即： ∴□ABCD对角线交点E的轨迹方程为 ⑵设过A的直线方程为 以A、B为焦点的椭圆的焦距2C=4，则C=2 设椭圆方程为 ， 即…………………（*） 将代入（*）得 即 设M（x1，y1），N（x2，y2）则 ∵MN中点到Y轴的距离为，且MN过点A，而点A在Y轴的左侧，∴MN中点也在Y轴的左侧。 ∴，∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴ ∴ ∴ ， ，∵ ，∴ ∴ ∴所求椭圆方程为 ⑶由⑴可知点E的轨迹是圆 设是圆上的任一点，则过点的切线方程是 ①当时，代入椭圆方程得： ，又 ∴ ∴ = 令 则 ， ∵ ∴当t=15时， 取最大值为15 ，的最大值为。 此时 ，∴直线l的方程为 ②当时，容易求得 故：所求的最大值为，此时l的方程为 27．解（理）（1）易得l的方程为…1分 由，得（a2t2+4）y2－4aty=0…2分 解得y=0或 即点M的纵坐标………………4分 S=S△AMN=2S△AOM=|OA|·yM=…7分 （2）由（1）得， 令…………9分 由 当时，…10分 若1≤a≤2，则，故当时，Smax=a11分 若a＞2，则在[1，2]上递增，进而S(t)为减函数. ∴当t=1时,13分 综上可得…………14分 28. (1) ∵函数f(x)= 又函数f(x)= ∴数列{ 29、解：（1）由，得 …………2分 ，则 …………4分 （2）当时，， …………6分 …………8分 （3）假设存在符合条件的使命题成立 当是偶数时，是奇数，则 由得 …………11分 当是奇数时，是偶数，则 由得无解 综上存在，使得 …………14分 30.解：（1）设，，直线AB的方程为： 把代入得： ∴∴ ∴∴点M的坐标为； 消去可得点M的轨迹方程为：； （2）∵ ∴∴∴ ∵∴，∴∴ ∴或∴或 ∴∴的取值范围为。 Y D C E A O B X y P x B O A 高考资源网版权所有，侵权必究！www.ks5u.com 高考资源网版权所有，侵权必究！www.ks5u.com