[DOC] 平方根序列的几个渐进公式

[DOC] 平方根序列的几个渐进公式 平方根序列的几个渐进公式 第25卷第2期 2006年6月 延安大学(自然科学版) JournalofYananUniversity(NaturalScienceEdition) Vo1.25 June NO.2 2006 平方根序列的几个渐进公式 马爱梅 (延安职业技术学院,陕西延安716000) 摘要:利用解析的方法,研究了数论专家FSmarandache在其{0nlyProblemsNotSolutlons}-- 书中提出的第8o个问题,得到了平方根序列a()及其推广形式的一些有趣的渐进公式一 关键词:数论函数;均值公式;渐进公式 中图分类号:0154文献标识码:A文章编号:1004—602X(2006)02—0010—02 1993年,数论专家F.Smarandache在文献Ef] 中提出了1OO多个数论中尚未解决的问题,引起了 许多学者的极大研究兴趣.其中,第8O个问题是: 平方根序列:0,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3, 3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5, 6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,7,7, 7,7,7,7,7,7,8.8,… F.Smarandache教授要求我们研究这个序列的 性质.我们把这个序列记作a(),它不难示为 a(,z)一[],这里]是不超过z的最大整数.参 考文献E2]研究了平方根序列的几个均值公式,我们 这里给出了4个新的均值公式. 1的均值公式 定理1设是正整数,a()一[],则 一i1+丢l.gz+c+D(1),/--2-1n()[,一2,.u 证明因为对任意正数z,一定存在正整数?, 使得?z<(?+1),于是我们有 j一 急n()[] 萎+.至..+...zz[]’z.z[] +?+o(1) N2<(?+1)LVzj 一3’1+5?寺+…+((?+1)一N)?寺0』’ +O(1) = ?(2j+1)-『1+o(1) iNj — E2+?专+o(1)i|Ni|NJ 一 2N+logN+C+O(1) 一2z专+-~-logx+C+o(1) 这里C是Euler常数. 2(n(咒)){的均值公式 定理2设是正整数,n():[],则 {一([]号一十2+ H月Vu o(z{) 证明因为对任意正数z,一定存在正整数?, 使得?z<(?+1),于是我们有 ?(n())号一?([,/-7-1)}”H =3?1+5?21+…+((?+1)一N2).?丢 +o(N{) = ?(2+1)j-~+o(?{) = ?2+?1+o(?丢) j?NJ玉N = 4 』,,i 5+了2互3+o(N号) 收稿日期:2006—02—28 作者简介:马爱梅(1967一),女,陕西绥德县人,延安职业技术学院讲师 + + 1—2 ( ? + ( ? I1 ? D + + ? ?一 第2期马爱梅:平方根序列的几个渐进公式ll 一z{+z詈+0(z{)了z4十百z4十u-z4, 3推广的1和(口(咒))的均值公式 定理3设是正整数,n()一E,d-],则 一 1 1=++扣z +C+0(1) 证明 1 (n() ?13:~i<23 ?3f(?+1)3 = ?n Ei~-] 1 [{] + Z3< ? i~33Lz3J +…+ 南+0? =7?1+19?1+…+((?+1).一?.)? 1 ?+O(1) 一 ?((N+1)一N._『1+o(1) j<N = ?(3+3j+1_『1+0(1) j? =3?+?3+??+0(1)i?Ni|Ni|NJ =N(N+1)+3N+l.gN+c+0(1) 一 要z{(z{+1)+3x{+丢l.gz+c+0(1) 一 .主-z号+号z{+号l.gz+c+0(1) 这C是Euler常数. 定理4设是正整数,n()一[寺],则 ?(n())吉=?([号])告一导z吾+0(?詈) 证明因为对任意正数z,一定存在正整数?, 使得N.z<(N+1).,于是有 ?(n())吉一?([i1.J)1 一 ?([却){+?([i1j)i1+… 13~i<2323K33 +?(D.了1J)i1+o(N告) N3<(?+l】3 —7.1+19.2吾+…+((?+1)3一N3). N+0(N{) 一 ?((?+1).一?.)吉+0(?吾) J?? = ?(3z+3+1)号+0(?{) :? 一 3?+3?号+?+o(N专) J?Ni?Ni?N 一 6 7 N~+0(??) 一z舌+0(?})一了z十u 参考文献 [1IF.Smarandache.Onlyproblemsnotsolutions.Chicago[M].XiquanPublishingHouse,1993,74. [2]HeXiaolin.GuoJinbao,Onthe80--thproblemofF.Smarandache(I)[J].Smarandachenotionsjournal,2004,14:70 [SIT.M.Aposto1.IntroductiontOanalyticnumbertheory[M].NewYork:Springre-Verlag,1976. [责任编辑贺小林] SquareRootSequenceandItsMeanValueFormula MAAi—mei (YananFinanceandEconomicsSchool,Yanan716000) Abstact:Accordingtoonesequenceinthe80thproblem,whichwaspresentedbynumbertheoreticexpert F.Smarandacheinhisonlyprcblemnotsolutions,thesequenceisdenotedbya().UsingtheEulersum— marion,Abelequationformulaandotherexistedresultsaboutnumber—theo reticfunctionaswellasthe ideaofsection,theasymptoticformulaOS?n()anditsgeneralizationareobtai ned,thenaseriesofregu— larresultsisobtained. Keywords:squareroot;meanvalue;asymptoticformula. ?一?