平方根公式推导

平方根公式推导 美国普林斯顿大学的鲍莫尔和耶鲁大学的托宾从分析持有货币的机会成本和将 生利资产转化为货币的交易成本入手，将现代管理科学“最适量存货控制理论” 运用于货币需求的研究。得出交易性货币需求的平方根公式。 鲍莫尔假定： 1、人们有规律地每隔一段时间取得一定的收入（比如：月收入为Y），支出则是连续和均匀的，在每一期的期末（比如月末），所有的收入Y都被花光； 2、生息资产一律采取短期政府债券形式。人们只有两类资产：现金和债券， 现金的名义收益率为0，债券的名义收益率为i (i＞0); 3、每次出售债券与前一次出售的时间间隔相等； 4、每次出售债券变现的现金金额都相等，都为C； 5、每次交易债券需支付固定的佣金费用b。 假定某人月收入为900元，每月月初得到，月末花光。 （一）若此人每月不购买债券，则货币需求和交易过程如下： 收入所得期内：套现次数为1次； 因不买卖债券，故交易成本为0； 平均手持现金余额为450（=900/2=Y/2=C/2），故持有现金余额的机会成本 为450×i(=C/2×i) （实际收入Q增加会提高货币的意愿持有量。即收入水平 的提高会促使家庭增加开支，为了支持更大的交易量，家庭将增加平均货币持有 量，根据测算，货币的实际收入弹性约为1/2。也就是实际收入Q的a%的增长会带来需要的货币持有量(a/2)%的增长。因此在不购买债券的情况下，平均手持现 金额为收入的1/2;即持有货币是变现金额的1/2） 持有现金的总成本是 C/2×i （二）若此人每月初用一半的收入买债券，在月中时将债券卖出变为现金 收入所得期内：套现次数为2次（=900/450=Y/C）； 因买卖债券2次，故交易成本为2×b（=Y/C×b）； 平均手持现金余额为225(=450/2=C/2)，故持有现金余额的机会成本为 225×i(=C/2×i); 持有现金的总成本是Y/C×b+ C/2×i （三）若此人每月初用2/3的收入（即600元）购买债券，10天后卖出300 元债券，20天后再卖出剩下的300元债券，直到月末。 收入所得期内：套现次数为3次（=900/300=Y/C）； 因买卖债券3次，故交易成本为3×b（=Y/C×b）； 平均手持现金余额为150(=300/2=C/2)，故持有现金余额的机会成本为 150×i(=C/2×i); 持有现金的总成本是Y/C×b+ C/2×i 是不是持有的货币（货币需求）越少，成本就越小呢？答案是否定的。每个 月初购买的债券越多，则手持现金越少，从而货币需求的机会成本就越少。然而 债券的交易次数也越多，交易的佣金就越多。理性经济人的目标是使得持有现金 的总成本最小。 （四）持有现金的总成本最小时的交易性货币需求量的求解 收入所得期内：套现次数为Y/C次； 因买卖债券Y/C次，故交易成本为Y/C×b； 平均手持现金余额为C/2，故持有现金余额的机会成本为C/2×i； 持有现金的总成本X是Y/C×b+ C/2×i。 求函数X（C）=，X对C求导，得 ，令，得 。 （1） 又因为在收入所得期内，所持有的平均交易性现金余额（Md）为C/2，故交易性货币需求的最佳量为： （2） （1）式或者（2）式就是鲍莫尔的“平方根公式”。