完全平方公式、平方差公式的几何背景

完全平方公式、平方差公式的几何背景 专 完全平方公式、平方差公式的几何背景 【例7】(2012•遵义)如图，从边长为(a+1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a-1)cm的正方形(a,1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则该矩形的面积是( C ) 22222A(2cm B2acm C(4acm D((a-1)cm :先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出( 解答:解:由题意可得，正方形的边长为(m+n)， 2故正方形的面积为(m+n)， 22又?原矩形的面积为4mn，?中间空的部分的面积=(m+n)-4mn=(m-n)( 故选C( 【例8】(2012•白银)如图，边长为(m+3)的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是( ) A(m+3 B(m+6 C(2m+3 D.2m+6 分析:由于边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长( 2222解答:解:依题意得剩余部分为(m+3)-m=m+6m+9-m=6m+9， 6m，9而拼成的矩形一边长为3，?另一边长是=2m+3(故选C( 3 【变式训练】 15.(2012四川绵阳)图(1)是一个长为2m，宽为2n(m,n)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是( C ) 2222A(2mn B((m+n) C((m-n) D(m-n 16.如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形(a,b)，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为( C ) 222222A((a-b)=a-2ab+b B((a+b)=a+2ab+b 222C(a-b=(a+b)(a-b) D(a+ab=a(a+b) 17.图?是一个边长为(m+n)的正方形，小颖将图?中的阴影部分拼成图?的形状，由图?和图?能验证的式子是( B ) 22A.(m+n)-(m-n)=4mn 222B.(m+n)-(m+n)=2mn 222C.(m-n)+2mn=m+n 22D.(m+n)(m-n)=m-n 18.(2012广东佛山)如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 2m+4 . 19.如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个 22长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是 a-b=(a+b)(a-b). 20.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式(例如，根据图甲，我们可以得到两 222数和的平方公式:(a+b)=a+2ab+b(你根据图乙能得到的数学公式是 (a-b)222 =a-2ab+b. 21.阅读材料并回答问题: 我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来示，实际上还有一些代数恒等式也 22可以用这种形式表示，如:(2a+b)(a+b)=2a+3ab+b，就可以用图(1)或图(2)等图形的面积表示( (1)请写出图(3)所表示的代数恒等式: . 22(2)试画一个几何图形，使它的面积表示:(a+b)(a+3b)=a+4ab+3b; (3)请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形( 22解:(1)(2a+b)(a+2b)=2a+5ab+2b; (2)(答案不唯一); 22(3)恒等式是(a+2b)(a+b)=a+3ab+2b，如图所示( (答案不唯一)