数列求和的十二种方法及递推数列求通项

Cuijie200688@126.com 11/7/2011 十二类递推数列求通项 安徽省合肥市第六中学 崔洁 对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 类型1递推公式为 解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法求解。 例1．已知数列 满足 ，求 。 类型2递推公式为 解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法求解。 例2．已知数列 满足 ，求 类型3递推公式为 （其中p，q均为常数， ）。 解法：把原递推公式转化为： 其中 ，再利用换元法转化为等比数列求解。 例3．已知数列 中， ，求 。 类型4递推公式为 （其中p，q均为常数， ）。 解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，得： 引入辅助数列 （其中 ），得： 再应用类型3的方法解决。 例4．已知数列 中， ，求 。 类型5递推公式为 （其中p，q均为常数），即二阶递推数列。 解法：先把原递推公式转化为 其中s，t满足 ，再应用前面类型的方法求解。 例5．已知数列 中， ，求 。 类型6：递推公式为 与 的关系式。 解法：利用 进行求解。 例6．已知数列 前n项和 。 （1）求 与 的关系； （2）求通项公式 。 例7． 已知数列 中， ， ，求 解法： 设 例8．已知数列 中， ， 求 . 类型8： ，（ ， ， 均为常数） 解法：两边同除以 ，构造数列 例9．各项均不为零的数列 ，首项 =1，且对于任意 均有 （或 ），求 例10．合肥市2010二模20T 各项均不为零的数列 ，首相 ，且对于任意 均有 （1）求数列 的通项公式； （2）此处不要求做。[若数列 的前n项和为 ，证明：当 时， ] 类型9：指数型数列 解法：两边取对数 例11．已知数列 满足 ，求 。 例12．已知 ，求 类型10：奇偶项数列 解法：作差或作商得，相间项成等差或成等比数列 例13、（1）在数列 中， ，求 （2）、在数列 中， ，求 类型11：双数列型 解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 例14．已知数列 中， ；数列 中， 。当 时， ， 求 。 类型12： 的数列 对于数列 ， 是常数且 ） 其特征方程为 ，变形为 …② 若②有二异根 ，则可令 （其中 是待定常数），代入 的值可求得 值。 这样数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，于是这样可求得 若②有二重根 ，则可令 （其中 是待定常数），代入 的值可求得 值。 这样数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，于是这样可求得 例15．已知数列 满足 ，求数列 的通项 例16．已知数列 满足 ，求数列 的通项 数列求和的八种方法 数列是高中代数的重要内容。在高考和各种数学竞赛中都占有重要地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。在数列求和过程中，根据数列的特点，采用适当的方法，定能较快、准确的求解 类型1：利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 等差数列求和公式： 等比数列求和公式：当q≠1时，S= 　　　　　 当q=1时，S= na 常用求和公式：S= 1 + 2 +…+ n = ， S= 例1、已知logx = ，求x + x +…x的值。 例2、设S=1+2+3+…+n，n∈N，求 的最大值。 类型2：错位相减法求和 这种方法主要用于数列｛a·b｝的前n项和，其中{a},{b}分别是等差数列和等比数列，且{b}的公比不为1。 例3、求和： 类型3：倒序相加法求和 倒序相加法求和即是将一个数列倒过来排列，再把它与原数列相加，就可以得到n个（ ） 例4、函数f(x)对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)= . （1）f( )和f( )+f( ) (n∈N)的值； （2）数列{ }满足： = f(0)+f( )+f( )…+f( )+f(1)，求 类型4：分项求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常数列或特殊数列，然后分别求和，再将其合并。 例5、求数列{n（n+1）(2n+1)}的前n项和S。 类型5：裂项求和 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之消去一些项，最终达到求和的目的。 例6、求数列， , ，…， …的前n项和 类型6：并项求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质。因此，在求和时，可将这些项先合并在一起求和，然后再求 。 例7、在各项均为正数的等比数列{ }中，若 =9,求 的值。 类型7：利用数列的通项求和 利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法。 例8、求1+11+111+…+ 之和 　　　　　　 类型8：与绝对值相关的求和 此类题需根据通项确定各项的正、负，再去掉绝对值。 例9、数列{ }中, =8, =2且满足 (n∈ )，设| ，求 。 ：十二类递推数列求通项公式 对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 类型1递推公式为 解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法求解。 例1.已知数列 满足 ，求 。 解：由条件知： 分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即 所以 又因为 所以 类型2递推公式为 解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法求解。 例2.已知数列 满足 ，求 。 解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得 个等式累乘之，即 所以 ， 又因为 ，所以 。 类型3递推公式为 （其中p，q均为常数， ）。 解法：把原递推公式转化为： 其中 ，再利用换元法转化为等比数列求解。 例3.已知数列 中， ，求 。 解：设递推公式 可以转化为 即 ，所以 故递推公式为 令 ，则 ，且 所以 是以 为首项，2为公比的等比数列，则 ，所以 类型4递推公式为 （其中p，q均为常数， ）。 解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，得： 引入辅助数列 （其中 ），得： 再应用类型3的方法解决。 例4.已知数列 中， ，求 。 解：在 两边乘以 得： 令 ，则 应用例3解法得： 所以 类型5递推公式为 （其中p，q均为常数）。 解法一：（待定系数法）先把原递推公式转化为 其中s，t满足 ，再应用前面类型的方法求解。 例5.已知数列 中， ，求 。 解法一：由 可转化为 即 所以 ，解得： 或 这里不妨选用 （当然也可选用 ，大家可以试一试），则 所以 是以首项为 ，公比为 的等比数列 所以 应用类型1的方法，令 ，代入上式得 个等式累加之，即 EMBED Equation.2 ，又因为 ，所以 。注：对于 （p、q均为常数），若p+q=1时，则 直接构造一个等比数列解决问题 解法二：特征根法 令 ， ， 得到特征方程，若特征方程有两同根 ，即 ，则通解 ，若特征方程有两异根 ，即 ，则通解 因为特征方程为 ，即（3x+1）(x-1)=0, ,所以 ， 解得 分别为 ，所以 类型6递推公式为 与 的关系式。 解法：利用 进行求解。 例6.已知数列 前n项和 。 （1）求 与 的关系； （2）求通项公式 。 解：（1）由 得： 于是 所以 ，即 （2）应用类型4的方法，上式两边同乘以 得： 由 ，得： 于是数列 是以2为首项，2为公差的等差数列，所以 ，故 例7. 已知数列 中， ， ，求 类型7： （p，q均为常数） 解法： 例8. 已知数列 中， ， 求 . 类型8： ，（ ， ， 均为常数） 解法：两边同除以 ，构造数列 例9.各项均不为零的数列 ，首项 =1，且对于任意 均有 （或 ），求 例10合肥市2010二模20T 各项均不为零的数列 ，首相 ，且对于任意 均有 （1）求数列 的通项公式； （2）此处不要求做。[若数列 的前n项和为 ，证明：当 时， ] 解：（1）由 得 ， 则 所以 是以3为公比，为首项的等比数列 4分 （2）当时， 令 则 所以 ] ……13分 类型9：指数型数列 解法：两边取对数 例11已知数列 满足 ，求 。 例12．已知 递推式两边同取对数，得 令 ，则 EMBED Equation.3 ， 已转化为“ 型”，由累乘相消法可得 类型10：奇偶项数列 解法：作差或作商得，相间项成等差或成等比数列 例13、1、在数列 中， ，求 2、在数列 中， ，求 解：1、 （2）-（1）得： 当 时， ， 即 当 时， ， 即 2、 ， 当 时， ， 即 当 时， ， 即 类型11双数列型 解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 例14.已知数列 中， ；数列 中， 。当 时， ，求 。 解：因 所以 即 ，又因为 所以 即 由<1>、<2>得： 类型12： 的数列 对于数列 ， 是常数且 ） 其特征方程为 ，变形为 …② 若②有二异根 ，则可令 （其中 是待定常数），代入 的值可求得 值。 这样数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，于是这样可求得 若②有二重根 ，则可令 （其中 是待定常数），代入 的值可求得 值。 这样数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，于是这样可求得 例15.已知数列 满足 ，求数列 的通项 解：其特征方程为 ，化简得 ，解得 ，令 由 得 ，可得 ， 数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列， ， 例16.已知数列 满足 ，求数列 的通项 解：其特征方程为 ，即 ，解得 ，令 由 得 ，求得 ， 数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列， ， 列求和的八种方法 数列是高中代数的重要内容。在高考和各种数学竞赛中都占有重要地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。 类型1：利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 等差数列求和公式： 等比数列求和公式：当q≠1时，S= 　　　　　　　当q=1时，S= na 常用求和公式：S= =1 + 2 +…+ n = 　　S=1 + 2 +…+n = n(n+1)(2n+1) 　　S=1 +2 +…+n =[n(n+1)] 例1、已知logx = ，求x + +…+ 的值。 解：由logx =  logx= -log2 x = ，由等比数列式求和公式得：S= x + x +…+ x = =1- 例2、设S=1+2+3+…+n，n∈N，求 的最大值。 解：由等差数列求和公式得S=n(n+1)，S=(n+1)(n+2), ∴ = 当且仅当n = ，即n=8时， 取最大值 。 类型2：错位相减法求和 这种方法主要用于数列｛a·b｝的前n项和，其中{a},{b}分别是等差数列和等比数列，且{b}的公比不为1。 例3、求和：1+3a+5a+7a+…+(2n-1)a(a≠0) 解：数列{(2n-1)·a}是由等差数列{2n-1}和等比数列{a}的相应项乘积组成。 当a=1时，S=1+3+5+…+（2n-1）= = n 当a≠1时，S=1+3a+5a+…+（2n-1）a ……①， 两边分别乘以公比a得： aS=a+3a+5a+…+（2n-3）a+(2n-1)a…………② ①-②得：（1-a）S =1+2a+2a+2a+…+2a-(2n-1)a =1-(2n-1)a+， 于是S= 类型3：倒序相加法求和 倒序相加法求和即是将一个数列倒过来排列，再把它与原数列相加，就可以得到n个（a+a） 例4、函数f(x)对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)= . f( )和f( )+f( ) (n∈N)的值； 数列{a}满足：a= f(0)+f( )+f( )…+f( )+f(1)，求a 例4、求证C+3C+5C+…+（2n+1）C=(n+1)2 证明：设S=C+3C+5C+…+（2n+1）C……① 将①右边倒转过来得： S=（2n+1）C+（2n-1）C+…+3C+C……② 由C=C得 S=（2n+1）C+（2n-1）C+…+3C+C……③ ①+③得：2S=(2n+2)(C+C+…+C+C)=(2n+1)2 ∴S=(n+1)2 类型4：分项求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常数列或特殊数列，然后分别求和，再将其合并。 例5、求数列{n（n+1）(2n+1)}的前几项和。 解：设a= n(n+1)(2n+1)= 2n+3n+n ∴S=1·(1+1)·(2+1)+2(2+1)·(4+1)+…+n(n+1)(2n+1) =2×1+3×1+1+2×2+3×2+2+…+2n+3n+n 将其每一项拆开再重新组合得 S=2（1+2+…+n）+3（1+2+…+n）+（1+2+…+n） = = 类型5：裂项求和 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之消去一些项，最终达到求和的目的。 例6、求数列 的前n项和 解：设a= ，则S= =( - )+( - )+…+（ - ） = 常见裂项式如下： ， ； 类型6：并项求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质。因此，在求和时，可将这些项先合并在一起求和，然后再求S。 例7、在各项均为正数的等比数列{a}中，若aa=9,求loga+loga+…+loga的值。 解：设S=loga+loga+…+loga 由等比数列的性质m+n =p+qaa=aa和对数运算性质logM+logN=log(MN)，得 S=(loga+loga)+(loga+loga)+…+( loga+loga )=log(aa) + log(aa)+…+log（aa） =log9+log9+…+log9=10 类型7：利用数列的通项求和 利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法。 例8、求1+11+111+…+111…1之和 　　　　　　　　　 n个1 解：a=111…1= ×99…9 = （ -1）　　　 　 n个1 n个9 ∴1+11+111+…+111…1 　　　　　　　 n个1 = （10 -1）+ （10 -1）+…+ （10 -1） = （10 +10 +…+10 ）- （1+1+…+1） 　　　　　　　　　　　　　 n个1 = (10 -10-9n) 类型8：与绝对值相关的求和 例9、数列{a}中,a=8,a=2且满足a=2a-a(n∈N) 设S=|a|+|a|+…+|a|，求S。 解：由a=2a-aa-a=a-a，可知{a}为等差数列，d= = -2　　∴a=10-2n 由a=10-2n≥0可得n≤5时，S= -n+9n，当n＞5时， S= n-9n+40 EMBED Equation.DSMT4 此类题需根据通项确定各项的正、负，再去掉绝对值。 在数列求和过程中，根据数列的特点，采用适当的方法，定能较快、准确的解 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 1 _1174984019.unknown _1174984563.unknown _1332394224.unknown _1358790560.unknown _1358795106.unknown _1358798691.unknown _1361159639.unknown _1373483090.unknown _1373487030.unknown _1373487603.unknown _1373487940.unknown _1373489545.unknown _1382035051.unknown _1382035069.unknown _1382034400.unknown _1382034997.unknown _1373488143.unknown _1373488555.unknown _1373488594.unknown _1373488193.unknown _1373487998.unknown _1373487768.unknown _1373487864.unknown _1373487701.unknown _1373487121.unknown _1373487491.unknown _1373483968.unknown _1373486596.unknown _1373486953.unknown _1373487018.unknown _1373486560.unknown _1373483882.unknown _1373483948.unknown _1373483197.unknown _1361273241.unknown _1362755573.unknown _1363172454.unknown _1362750745.unknown _1361272376.unknown _1361272413.unknown _1361168842.unknown _1358875191.unknown _1358875938.unknown _1358875969.unknown _1358876024.unknown _1358875981.unknown _1358875950.unknown _1358875884.unknown _1358875914.unknown _1358875465.unknown _1358875674.unknown _1358798968.unknown _1358802126.unknown _1358799800.unknown _1358799821.unknown _1358801351.unknown _1358799019.unknown _1358798845.unknown _1358798929.unknown _1358798734.unknown _1358795820.unknown _1358796075.unknown _1358796231.unknown _1358797362.unknown _1358797431.unknown _1358797459.unknown _1358797738.unknown _1358798629.unknown _1358797707.unknown _1358797445.unknown _1358797405.unknown _1358797137.unknown _1358797333.unknown _1358796375.unknown _1358796985.unknown _1358796149.unknown _1358796012.unknown _1358796042.unknown _1358795892.unknown _1358795358.unknown _1358795506.unknown _1358795673.unknown _1358795415.unknown _1358795311.unknown _1358795334.unknown _1358795174.unknown _1358793989.unknown _1358794849.unknown _1358794904.unknown _1358794997.unknown _1358794886.unknown _1358794635.unknown _1358794749.unknown _1358794242.unknown _1358794379.unknown _1358794598.unknown _1358794404.unknown _1358794365.unknown _1358794108.unknown _1358791987.unknown _1358793695.unknown _1358793771.unknown _1358793825.unknown _1358792470.unknown _1358793317.unknown _1358793378.unknown _1358792812.unknown _1358792064.unknown _1358790769.unknown _1358791696.unknown _1358791738.unknown _1358791645.unknown _1358791671.unknown _1358791588.unknown _1358790570.unknown _1358790601.unknown _1333524392.unknown _1336393465.unknown _1336394087.unknown _1340944317.unknown _1340955299.unknown _1340955775.unknown _1340944362.unknown _1336394395.unknown _1336394455.unknown _1336394203.unknown _1336394238.unknown _1336393562.unknown _1336393702.unknown _1336393787.unknown _1336393663.unknown _1336393543.unknown _1336393155.unknown _1336393347.unknown _1336393429.unknown 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