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电磁场与电磁波(第四章)

2012-10-12 34页 ppt 971KB 116阅读

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电磁场与电磁波(第四章)nullnull 第 4 章 静态场边值问题的解法◇ 静电场和恒定电场的边值问题,可归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。本章主要内容:直接求解法间接求解法分离变量法(直角坐标系下)镜像法静电场的唯一性定理◇边值问题:在已知源变量和边界条件下,求解边界所围区域内的场的问题null 第一节 唯一性定理一、边值问题存在边界面的电磁问题。根据给定边界条件对边值问题分类: 第一类边值问题:已知整个边界面上的电位函数分布值。 第二类边值问题:已知在整个边界面上的电位函数法向导数。null 第三类边值问题(混合边...
电磁场与电磁波(第四章)
nullnull 第 4 章 静态场边值问题的解法◇ 静电场和恒定电场的边值问题,可归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。本章主要内容:直接求解法间接求解法分离变量法(直角坐标系下)镜像法静电场的唯一性定理◇边值问题:在已知源变量和边界条件下,求解边界所围区域内的场的问题null 第一节 唯一性定理一、边值问题存在边界面的电磁问题。根据给定边界条件对边值问题分类: 第一类边值问题:已知整个边界面上的电位函数分布值。 第二类边值问题:已知在整个边界面上的电位函数法向导数。null 第三类边值问题(混合边值问题):已知一部分边界面上的电位函数值,和另一部分边界面上电位函数的法向导数。二、唯一性定理null唯一性定理的意义:1、指出了静态场边值问题具有唯一解的条件;2、为静态场边值问题求解方法提供了理论依据,为结果正确性提供了判据。唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程(泊松方程)的理论依据。null第二节 直角坐标系中的分离变量法分离变量法:根据边界面的形状,选择合适的坐标系,假定待求的位函数可示为三个函数的乘积,且其中每个函数分别仅是一个坐标的函数,将这个函数代入拉普拉斯方程,通过分离变量将原来的偏微分方程化为常微分方程。直角坐标中,拉普拉斯方程为:设 可用三个函数的乘积表示:则:null除以 得:上式成立的条件是三项中每项都为常数,即:则:为待定常数 通过引入分离常数k,将拉普拉斯方程分解为齐次常微分方程。分别解常微分方程就可以得出原问题的解。null常微分方程 的解为:(k取值不同解形式不同):1)当 时,解为线性函数2)当 为实数(即 )时,解为三角函数形式3)当 为虚数(即 )时,解为双曲函数或实函数 的指数函数由边界条件定出常数和解的形式null导体槽内为无源区,故电位 满足拉普拉斯方程,即例:如图所示无限长金属导体槽,其顶面电位为u,其余三面接地,求导体槽内电位分布。解: 满足的边界条件为:设:无限长导体槽,故电位与 无关null由于拉普拉斯方程是线性方程,因此方程的特解的线性组合仍然是方程的解。的一般解为:null的解一般形式为:代入上式:null等式两边同乘以 ,并对 求积分:根据三角函数的正交性,等式右边当 时为0 :null当 时:所以,接地导体槽内部电位分布为null例题二:如图所示,水平放置的两块半无穷大金属块接地, 铅直放置的金属板与它们绝缘,并保持电势U。求三块板之 间的电势分布。解:这是一个二维场求解的问题 , 与坐标Z无关。设:边界条件为:由条件1)、2)可得:null的一般解为:的解一般形式为:null代入条件4) 得:等式两边同乘以 ,并对 求积分:等式右边只有当 时,不为0的表达式为:null第三节 镜像法 镜像法基本思路:在所研究的场域外的某些适当位置,用一些虚拟电荷等效替代导体分界面上的感应电荷或媒质分界面上的极化电荷的影响。 镜像法理论依据:唯一性定理。 等效电荷一般位于原电荷关于边界面的镜像点处,故称为镜像电荷。 镜像电荷位置选择原则:1、镜像电荷必须位于求解区域以外的空间。 2、镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件。 null一、平面接地导体边界1、点电荷对无限大接地导体平面边界的镜像等效问题: 要求:与原问题边界条件相同 原电荷:q:z=h 镜像电荷(等效电荷):-q->z=-h 取消导体边界面,z>0空间媒质充满整个空间。null讨论:无限大导体平面上感应电荷总量即:镜像电荷电量与感应电荷电量相等。null2、线电荷对无限大接地导体平面边界的镜像 无限长线电荷对于接地导体面的镜像,类似地可得到等效:null3、点电荷对相交接地平面导体边界的镜像 如图,两半无限大接地导体平面垂直相交。 要满足在导体平面上电位为零,则必须引入3个镜像电荷。如图所示。一般,只要 满足 为偶数 ,就可以用镜像法来求解,若不 满足,则镜像电荷会出现在所求解的场域内,不能用镜像法来求解null二、点电荷对球面导体边界的镜像1、点电荷对接地球面导体边界的镜像镜像电荷位于球心与电荷q连线上。令镜像电荷电量为 ,与球心距离为 。 空间中任意点 处电位为:因为球接地,所以球上电位为0。null可以推得:电荷q在接地导体球面上产生的感应电荷量:即:感应电荷总量等于镜像电荷电量。结论:点电荷q对接地导体球面的镜像电荷为球外电位:null讨论:若点电荷q位于接地导体球壳内:null处理方法:电位叠加原理处理过程: 1、先假设导体球面接地,则球面上存在电量为 的感应电荷,镜像电荷可采用前面的方法确定。 2、断开接地。将电量为 的电荷加到导体球面上,这些电荷必然均匀分布在球面上,以使导体球为等势体。 3、均匀分布在导体球面上的电荷 可以用位于球心的等量点电荷等效。null结论:点电荷q对非接地导体球面的镜像电荷有两个:镜像电荷1:电量:位置:镜像电荷2:电量:位置:位于球心。null三、线电荷对导体圆柱分解界的镜像如图:无限长线电荷位于导体圆柱外,距离轴心d。 设镜像线电荷为 ,与轴心距离为 。由无限长线电荷的电位null结论:线电荷关于接地导体圆柱面的镜像为四、点电荷对电介质分解面的镜像null解决问题过程:设媒质1中电位函数为 , 媒质2中电位函数为 。1、建立 求解方程。镜像电荷 位于z<0区域中,整个空间充满媒质1。则媒质1内P点电位为:null2、建立 求解方程。镜像电荷 位于z>0区域中,整个空间充满媒质2。 位置与q重合。null上式即为点电荷在介质分界面上镜像电荷电量。说明:若为真空与介质分界面,则将对应介质介电常数代换为 即可。五、例题 例题一 例题二null例题一 一个半径为a的导体球,其上带有电量为Q的电荷,一点电荷q位于导体球附近距离球心距离为d(d>a)。求: 空间电位分布 先假设导体球不带电,由镜像法可求得镜像电荷分布如图所示解:利用叠加法。null则球外空间任意点 处电位为:导体球是一个等位体,其电位为:null例题二 两无限长平行导体圆柱,半径均为a,轴线距离为d,求:两导体间的电容。解:设两圆柱体分别带电 和 。:带电导体圆柱可用位于镜像位置的线电荷等效。 由分析可知,原问题可等效为位于镜像位置的两线电荷间电容的问题。求解关键在于求解等效电荷位置。 如图:由镜像电荷位置关系,有null等效问题:两无限长线电荷构成的系统。易知,在导体柱面上电位分别为:
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