椭圆四：面积问题

椭圆四：有关面积问题 1.（2010一模）海淀 19．（本小题满分13分） 已知椭圆C的中心在原点，焦点在 轴上，左右焦点分别为 ，且 ，点（1， ） 在椭圆C上. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过 的直线 与椭圆 相交于 两点，且 的面积为 ，求以 为圆心 且与直线 相切的圆的方程. ： 19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为 ，由题意可得： 椭圆C两焦点坐标分别为 ， . .……………1分 . .……………3分 又 ， ……………4分 故椭圆的方程为 . .……………5分 （Ⅱ）当直线 EMBED Equation.DSMT4 轴，计算得到： ， ，不符合题意. .……………6分 当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为： ， 由 ，消去y得 ， .……………7分 显然 成立，设 ， 则 .……………8分 又 即 ， .……………9分 又圆 的半径 .……………10分 所以 化简，得 ， 即 ，解得 所以， ， .……………12分 故圆 的方程为： . .……………13分 （Ⅱ）另解：设直线 的方程为 ， 由 ，消去x得 ， 恒成立， 设 ，则 ……………8分 所以 EMBED Equation.DSMT4 .……………9分 又圆 的半径为 ， .……………10分 所以 ，解得 ， 所以 ， ……………12分 故圆 的方程为： . .……………13分 2.朝阳(2011一模理) 19．（本小题满分14分） 已知 ， 为椭圆 的左、右顶点， 为其右焦点， 是椭圆 上异于 ， 的动点，且 面积的最大值为 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程及离心率； （Ⅱ）直线 与椭圆在点 处的切线交于点 ，当直线 绕点 转动时，试判断以 为直径的圆与直线 的位置关系，并加以． 答案：19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可设椭圆 的方程为 ， ． 由题意知 SHAPE \* MERGEFORMAT 解得 ， ． 故椭圆 的方程为 ，离心率为 ．……6分 （Ⅱ）以 为直径的圆与直线 相切． 证明如下：由题意可设直线 的方程为 EMBED Equation.DSMT4 . 则点 坐标为 ， 中点 的坐标为 ． 由 得 ． 设点 的坐标为 ，则 ． 所以 ， ． ……………………………10分 因为点 坐标为 ， 当 时，点 的坐标为 ，点 的坐标为 . 直线 轴，此时以 为直径的圆 与直线 相切． 当 时，则直线 的斜率 . 所以直线 的方程为 ． 点 到直线 的距离 EMBED Equation.DSMT4 ． 又因为 ，所以 ． 故以 为直径的圆与直线 相切． 综上得，当直线 绕点 转动时，以 为直径的圆与直线 相切．………14分 3.（2011顺义二模理19）. （本小题满分14分） 已知椭圆C的左，右焦点坐标分别为 ,离心率是 。椭圆C的左，右顶点分别记为A,B。点S是椭圆C上位于 轴上方的动点，直线AS,BS与直线 分别交于M,N两点。 （1） 求椭圆C的方程； （2） 求线段MN长度的最小值； （3） 当线段MN的长度最小时，在椭圆C上的T满足： 的面积为 。试确定点T的个数。 解（1）因为 ，且 ，所以 所以椭圆C的方程为 …………………………………………….3分 (2 ) 易知椭圆C的左，右顶点坐标为 ,直线AS的斜率 显然存在，且 故可设直线AS的方程为 ，从而 由 EMBED Equation.3 得 设 ，则 ，得 从而 ，即 又 ,故直线BS的方程为 由 得 ，所以 故 又 ，所以 当且仅当 时，即 时等号成立 所以 时，线段MN的长度取最小值 ………………………………..9分 （3）由（2）知，当线段MN的长度取最小值时， 此时AS的方程为 ， , 所以 ,要使 的面积为 ， 只需点T到直线AS的距离等于 ， 所以点T在平行于AS且与AS距离等于 的直线 上 设 ，则由 ，解得 1 当 时，由 得 由于 ，故直线 与椭圆C有两个不同交点 ② 时，由 得 由于 ，故直线 与椭圆C没有交点 综上所求点T的个数是2. … 4.（2010寒假）东城 19．（本小题满分13分） 已知椭圆 的中心在原点，一个焦点 ，且长轴长与短轴长的比是 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）若椭圆 在第一象限的一点 的横坐标为 ，过点 作倾斜角互补的两条不同的直线 ， 分别交椭圆 于另外两点 ， ，求证：直线 的斜率为定值； （Ⅲ）求 面积的最大值． 答案： 19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设椭圆 的方程为 ． 由题意 ………………………………………………2分 解得 ， ． 所以椭圆 的方程为 ．………………………………………………4分 （Ⅱ）由题意知，两直线 ， 的斜率必存在，设 的斜率为 ， 则 的直线方程为 . 由 得 .………………6分 设 ， ，则 ， 同理可得 ， 则 ， . 所以直线 的斜率 为定值. ……………………………………8分 （Ⅲ）设 的直线方程为 . 由 得 . 由 ，得 .……………………………………10分 此时 ， . 到 的距离为 ， 则 . 因为 使判别式大于零， 所以当且仅当 时取等号， 所以 面积的最大值为 ．………………………………………………………13分 5. （2010一模）石景山 19．（本题满分14分） 已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点A、B。 （1）求椭圆的方程； （2）求的值（O点为坐标原点）； （3）若坐标原点O到直线的距离为，求面积的最大值。 答案： 19．（本题满分14分） 解：（1）设椭圆的半焦距为c， 依题意 解得 由 2分 所求椭圆方程为 3分 （2） 设， 其坐标满足方程 消去并整理得 4分 则（*） 5分 故 6分 经检验满足式（*）式 8分 （3）由已知， 可得 9分 将代入椭圆方程，整理得 10分 11分 12分 当且仅当， 即时等号成立， 经检验，满足（*）式 当时， 综上可知13分 当|AB最大时，的面积最大值 14分 6.海淀(2011寒假) 19. （本小题满分14分） 已知点 在抛物线 EMBED Equation.DSMT4 上， 点到抛物线 的焦点F的距离为2，直线 EMBED Equation.DSMT4 与抛物线交于 两点. （Ⅰ）求抛物线 的方程； （Ⅱ）若以 为直径的圆与 轴相切，求该圆的方程； （Ⅲ）若直线 与 轴负半轴相交，求 面积的最大值. 答案： 19. （共14分） 解：（Ⅰ）抛物线 的准线为 ， .....................................1分 由抛物线定义和已知条件可知 ， 解得 ，故所求抛物线方程为 . ......................................3分 （Ⅱ）联立 ，消 并化简整理得 . 依题意应有 ，解得 . ..............................................4分 设 ，则 ， .............................................5分 设圆心 ，则应有 . 因为以 为直径的圆与 轴相切，得到圆半径为 ， ........................6分 又 . 所以 ， .........................................7分 解得 . .........................................8分 所以 ，所以圆心为 . 故所求圆的方程为 . ............................................9分 方法二： 联立 ，消掉 并化简整理得 ， 依题意应有 ，解得 . ............................................4分 设 ，则 . .............................................5分 设圆心 ，则应有 ， 因为以 为直径的圆与 轴相切，得到圆半径为 . .....................................6分 又 ， 又 ，所以有 ， .............................................7分 解得 ， ..............................................8分 所以 ，所以圆心为 . 故所求圆的方程为 . .............................................9分 （Ⅲ）因为直线 与 轴负半轴相交，所以 ， 又 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知 ，所以 ，...........................................10分 直线 ： 整理得 ， 点 到直线 的距离 ， .................................................11分 所以 . ..................................................12分 令 ， ， ， ＋ 0 － 极大 由上可得 最大值为 . ...............................................13分 所以当 时， 的面积取得最大值 . ...............................................14分 7.东城（2011一模理） (19) （本小题共13分） 已知椭圆 的离心率为 ，且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点．斜率为 的直线 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于 ， 两点，线段 的垂直平分线与 轴相交于点 ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求的取值范围； （Ⅲ）试用表示△ 的面积，并求面积的最大值． 答案：（19）（共13分） 解：（Ⅰ）依题意可得， ， ， 又 ， 可得 ． 所以椭圆方程为 ． （Ⅱ）设直线 的方程为 ， 由 可得 ． 设 ， 则 ， ． 可得 ． 设线段 中点为 ，则点 的坐标为 ， 由题意有 ， 可得 ． 可得 ， 又 ， 所以 ． （Ⅲ）设椭圆上焦点为 ， 则 . ， 由 ，可得 ． 所以 ． 又 ， 所以 . 所以△ 的面积为 （ ）． 设 ， 则 ． 可知 在区间 单调递增，在区间 单调递减． 所以，当 时， 有最大值 ． 所以，当 时，△ 的面积有最大值 ． 8.（2011西城二模理19.）（本小题满分14分） 已知椭圆 EMBED Equation.3 的离心率为 ，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 两点，且以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ， 求 面积的最大值． 解：（Ⅰ）因为椭圆 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 ， 所以 ， ……………1分 又椭圆的离心率为 ，即 ，所以 ， ………………2分 所以 ， . ………………4分 所以 ，椭圆 的方程为 . ………………5分 （Ⅱ）方法一：不妨设 的方程 ，则 的方程为 . 由 得 ， ………………6分 设 ， ， 因为 ，所以 ， ………………7分 同理可得 ， ………………8分 所以 ， ， ………………10分 ， ………………12分 设 ， 则 ， ………………13分 当且仅当 时取等号， 所以 面积的最大值为 . ………………14分 方法二：不妨设直线 的方程 . 由 消去 得 ， ………………6分 设 ， ， 则有 ， . ① ………………7分 因为以 为直径的圆过点 ，所以 . 由 ， 得 . ………………8分 将 代入上式， 得 . 将 ① 代入上式，解得 或 （舍）. ………………10分 所以 （此时直线 经过定点 ，与椭圆有两个交点）， 所以 . ……………12分 设 ， 则 . 所以当 时， 取得最大值 . 9.（2010寒假）崇文 （19）（本小题共14分） 已知椭圆的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点 与 轴不垂直的直线 交椭圆于 ， 两点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）当直线 的斜率为1时，求 的面积； （Ⅲ）在线段 上是否存在点 ,使得以 为邻边的平行四边形是菱形？ 若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由. 答案： 19）（共14分） 解：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为 ． ----------------1分 ∵ 两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2， ∴ ． 所求椭圆方程为 ． ---------------- 4分 （Ⅱ）右焦点 ，直线 的方程为 ． 设 ， 由 得 ，解得 ． ∴ ． ----------------9分 （Ⅲ）假设在线段 上存在点 ,使得以 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与 轴不垂直，所以设直线 的方程为 ． 由 可得 ． ∴ ． ．其中 以 为邻边的平行四边形是菱形 EMBED Equation.DSMT4 ． ∴ ． ----------------1 4分 10.丰台18.（本小题满分13分） 已知 为平面直角坐标系的原点，过点 的直线 与圆 交于 两点． （Ⅰ）若 ，求直线 的方程； （Ⅱ）若 与 的面积相等，求直线 的斜率． 解：（Ⅰ）依题意，直线 的斜率存在， 因为 直线 过点 ，可设直线 ： ． 因为 两点在圆 上，所以 ， 因为 ，所以 所以 所以 到直线 的距离等于 ． 所以 ， 得 ， 所以 直线 的方程为 或 …………………6分 （Ⅱ）因为 与 的面积相等，所以 ， 设 ， ，所以 ， ． 所以 即 　　（*）； 因为　 ， 两点在圆上， 所以 把（*）代入，得 ， 所以 所以 直线 的斜率 ， 即 ………………………13分 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� D _ � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� _ x _ y _ N _ S _ A _ B _ M _ O _1358505193.unknown _1363677523.unknown _1363698544.unknown _1363699433.unknown _1364406408.unknown _1364621287.unknown _1364621731.unknown _1364713249.unknown _1364983440.unknown _1364983622.unknown _1366182790.unknown _1364983492.unknown _1364842845.unknown _1364621896.unknown _1364629460.unknown _1364713239.unknown _1364629517.unknown _1364629075.unknown _1364621824.unknown _1364621435.unknown _1364621603.unknown _1364621656.unknown _1364621532.unknown _1364621342.unknown _1364621374.unknown _1364621294.unknown _1364564662.unknown _1364565417.unknown _1364621270.unknown _1364621193.unknown _1364621223.unknown _1364565273.unknown _1364565299.unknown _1364564947.unknown _1364564723.unknown _1364564858.unknown _1364406479.unknown _1364406706.unknown _1364406575.unknown _1364406462.unknown _1363934591.unknown _1364313538.unknown _1364406310.unknown _1364406386.unknown _1364313714.unknown _1364313862.unknown _1364314025.unknown _1364313885.unknown _1364313762.unknown _1364313673.unknown _1364313700.unknown _1364313575.unknown _1364312723.unknown _1364313154.unknown _1364313498.unknown _1364312954.unknown _1364051381.unknown _1364051389.unknown _1364051346.unknown _1363934592.unknown _1363934587.unknown _1363934589.unknown _1363934590.unknown _1363934588.unknown _1363891132.unknown _1363934586.unknown _1363892279.unknown _1363889723.unknown _1363889753.unknown _1363889157.unknown _1363698982.unknown _1363699216.unknown _1363699356.unknown _1363699387.unknown _1363699320.unknown _1363699065.unknown _1363699149.unknown _1363699047.unknown _1363698765.unknown _1363698889.unknown _1363698930.unknown _1363698860.unknown _1363698677.unknown _1363698698.unknown _1363698620.unknown _1363697310.unknown _1363697840.unknown _1363698098.unknown _1363698305.unknown _1363698521.unknown _1363698264.unknown _1363698199.unknown _1363698230.unknown _1363697953.unknown _1363698026.unknown _1363697897.unknown _1363697546.unknown _1363697711.unknown _1363697757.unknown _1363697634.unknown _1363697419.unknown _1363697492.unknown _1363697350.unknown _1363696811.unknown _1363696989.unknown _1363697157.unknown _1363697220.unknown _1363697109.unknown _1363696896.unknown _1363696956.unknown _1363696872.unknown _1363696493.unknown _1363696549.unknown _1363696626.unknown _1363696527.unknown _1363677810.unknown _1363677867.unknown _1363677593.unknown _1358697541.unknown _1362133213.unknown _1362133577.unknown _1362134251.unknown _1362134831.unknown _1363677293.unknown _1363677420.unknown _1362135131.unknown _1362135288.unknown _1362162523.unknown _1362135234.unknown _1362135065.unknown _1362134411.unknown _1362134619.unknown _1362134753.unknown _1362134569.unknown _1362134302.unknown _1362133853.unknown _1362134104.unknown _1362134188.unknown _1362133903.unknown _1362133736.unknown _1362133807.unknown _1362133676.unknown _1362133275.unknown _1362133465.unknown _1362133568.unknown _1362133348.unknown _1362133239.unknown _1362133261.unknown _1362133224.unknown _1360704403.unknown _1361253996.unknown _1362054930.unknown _1362133155.unknown _1362133197.unknown _1362132112.unknown _1362133115.unknown _1362131821.unknown _1361256650.unknown _1361480282.unknown _1362054929.unknown _1361256784.unknown _1361256850.unknown _1361256920.unknown _1361256725.unknown _1361256162.unknown _1361256570.unknown _1361256129.unknown _1361042033.unknown _1361253948.unknown _1361253973.unknown _1361253645.unknown _1361043537.unknown _1361039201.unknown _1361039209.unknown _1360704431.unknown _1360703668.unknown _1360704350.unknown _1360704363.unknown _1360704145.unknown _1360704240.unknown _1360703677.unknown _1360703630.unknown _1360703649.unknown _1358697741.unknown _1358698066.unknown _1358698065.unknown _1358697559.unknown _1358505777.unknown _1358507301.unknown _1358687306.unknown _1358687320.unknown _1358507564.unknown _1358673624.unknown _1358507956.unknown _1358507379.unknown _1358506496.unknown _1358506562.unknown _1358507101.unknown _1358507222.unknown _1358506549.unknown _1358506409.unknown _1358506425.unknown _1358506339.unknown _1358505497.unknown _1358505606.unknown _1358505733.unknown _1358505562.unknown _1358505447.unknown _1358505353.unknown _1358505436.unknown _1331367675.unknown _1355917392.unknown _1356727024.unknown _1358501643.unknown _1358504259.unknown _1358504677.unknown _1358505065.unknown _1358505128.unknown _1358505138.unknown _1358504835.unknown _1358504640.unknown _1358501752.unknown _1358504028.unknown _1358501751.unknown _1358501170.unknown _1358501606.unknown _1358501197.unknown _1358501327.unknown _1356727038.unknown _1356727123.unknown _1356348438.unknown _1356726632.unknown _1356726940.unknown _1356348740.unknown _1356349288.unknown _1356726618.unknown _1356349194.unknown _1356348512.unknown _1356118534.unknown _1356348192.unknown _1356348200.unknown _1356348258.unknown _1356347474.unknown _1356347565.unknown _1355917424.unknown _1354733765.unknown 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