自然数平方和公式的推导与证明

自然数平方和公式的推导与证明 ※自然数之和公式的推导 法计算1，2，3，„，n，„的前n项的和: 由 1 + 2 + „ + n-1 + n n + n-1 + „ + 2 + 1 (n+1)+(n+1)+ „ +(n+1)+(n+1) 可知 上面这种加法叫“倒序相加法” ※等差数列求和公式的推导 一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即 1、 思考:受高斯的启示，我们这里可以用什么去求和呢, 思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。 我们用两种方法表示: ? ? 由?+?，得 由此得到等差数列的前n项和的公式 对于这个公式，我们知道:只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。 2、 除此之外，等差数列还有其他方法(读基础教好学生要介绍) 当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如: = = = = 这两个公式是可以相互转化的。把代入中，就可以得到 引导学生思考这两个公式的结构特征得到:第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道和，n不同点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。 自然数平方和公式的推导与证明(一) 22221+2+3+„+n=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学‎‎归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。 2222 一、 设:S=1+2+3+„+n 22222222另设:S=1+2+3+„+n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+„+(n+n)，此步设题是解题1 的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题， 22222222中的12222第一:S=1+2+3+„+n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+„+(n+n)+2+3+„+n=S，12222可以展开2222(n+1)+(n+2)+(n+3)+„+(n+n)为(n+2n+1)+( n+2×2n+2) 222232222+( n+2×3n+3)+„+( n+2×nn+n)=n+2n(1+2+3+„+n)+ 1+2+3+„+n，即 3S=2S+n+2n(1+2+3+„+n)„„„„„„„„„„„„„„„„„„..(1) 1 22222222可以写为第二:S=1+2+3+„+n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+„+(n+n): 1 22222222S=1+3+5„+ (2n-1)+2+4+6„+(2n)，其中: 1 2222222222+4+6„+(2n)=2(1+2+3+„+n)=4S„„„„„„„„„„„„„„..(2) 222222221+3+5„+(2n-1)=(2×1-1)+(2×2-1)+(2×3-1) +„+ (2n-1) 22222222= (2×1-2×2×1+1) +(2×2-2×2×2+1)+(2×3-2×2×3+1)+„+ 222(2×n-2×2×n+1) 22222222=2×1+2×2+2×3+„+2×n-2×2×1-2×2×2-2×2×3-„-2×2×n+n 22222=2×(1+2+3+„+n)-2×2 (1+2+3+„+n)+n =4S-4(1+2+3+„+n)+n„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„..(3 ) 由(2)+ (3)得: S=8S-4(1+2+3+„+n)+n„„„„„„„„„„„„„„„„..(4) 1 3由(1)与(4)得:2S+ n+2n(1+2+3+„+n) =8S-4(1+2+3+„+n)+n 3即:6S= n+2n(1+2+3+„+n)+ 4(1+2+3+„+n)-n 2 = n[n+n(1+n)+2(1+n)-1] 2 = n(2n+3n+1) = n(n+1)(2n+1) S= n(n+1)(2n+1)/ 6 2222亦即:S=1+2+3+„+n= n(n+1)(2n+1)/6„„„„„„„„„„„„„„(5) 以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。 由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n为最后一位自然数。 由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1为最后一位自然数。 二、由自然数平方和公式推导自然数立方和公式 3333设S=1+2+3+„+n„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„.(1) 3333有S=n+(n-1)+(n-2)+„+1„„„„„„„„„„„„„„„„„...(2) 33333333+2+(n-2)+3+„+n+1 由(1)+ (2)得:2S=n+1+(n-1) 2 =(n+1)(n-n+1) + 22 (n+1)[(n-1)-2(n-1)+2) + 22 (n+1)[(n-2)-3(n-2)+3) + . . . + 22 (n+1)(1-n(n-n+1)(n-n+1+ n) 2222即2S=( n+1)[2(1+2+3+„+n)-n-2(n-1) -3(n-2)-„-n (n-n+1)] „„„„„„...(3) 2222由1+2+3+„+n=n(n+1)(2n+1)/ 6代入(2)得: 2S=(n+1)[2n(n+ 1)(2n+1)/6-n-2n-3n-„nn+2×1+3×2+„+n(n-1)] =(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+2+3+„n)+(1+1)×1+(2+1)×2+„+(n-1+1)(n-1)] 2222 =(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n (1+n)/2+1+1+2+2+„+(n-1)+ (n-1)] 2222 =(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+n)/2+1+2+„+(n-1)+1 +2+„+ (n-1)] „„...(4) 2222由1+2+„+(n-1)= n(n+1)(2n+1)/6-n ，1+2+„+(n-1)=n(n-1)/2代入(4)得: 2 2S=(n+1)[3n(n+1)(2n+1)/6-n+n(n-1)/2 22 =n(n+1)/2 333322即S=1+2+3+„+n= n(n+1)/4 22结论:自然数的立方和公式为(n+1)n/4，其中n为自然数。 三、自然数偶数立方和公式推导 3333设S=2+4+6+„+(2n) 333332222有S=2(1+2+3+„+n)=8n(n+1)/4=2n(n+1) 2结论:自然数偶数的立方和公式为2n2(n+1)，其中2n为最后一位自然偶数。 四、自然数奇数立方和公式推导 3333设S=1+2+3+„+(2n) 22由自然数的立方和公式(n+1)为n/4，其中n为自然数代入左边 2233333333有n(2n+1)=2+4+6+„+(2n) +1+3+5„+(2n-1) 223333 =2n(n+1)+1+3+5„+(2n-1) 33332222移项得:1+3+5„+(2n-1) =n(2n+1)-2n(n+1) 22 =n(2n-1) 22结论:自然数奇数的立方和公式为n(2n-1)，其中2n-1为最后一位自然奇数，即n的取值。 自然数平方和公式的推导与证明(二) 这里的自然数指的是不包含0的传统自然数。 1^2+2^2+3^2+4^2+.......n^2=? (n^2表示n×n,n2为了好打字) 一、推导 1、直接推导: 1+2+3+4+„„+n=(1+n)*n/2 + + 2+3+4+„„+n=(2+n)*(n-1)/2 + + 3+4+„„+n=(3+n)*(n-2)/2 + + . . . . (i+1)+„„+n=(n+i+1)*(n-i)/2 (i=0,„„,n-1) || || S = (2*n^3+3*n^2+n-2S)/4 两边求一下得所求S 此法较为直观正规 2、用其他的公式推导: 容易证明1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 +...+ nx(n+1)=1/3xn(n+1)(n+2)(数学归纳 法易证，而左式可写成 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + nx(n+1)=(1x1 + 2x2 + ... + nxn)+(1+2+...+n) 于是 1x1 + 2x2 + ... + nxn=1/3xn(n+1)(n+2)-1/2xn(n+1)=1/6xn(n+1)(2n+1) 3、二项式推导: 2^3=1^3+3*1^2+3*1+1 3^3=2^3+3*2^2+3*2+1 4^3=3^3+3*3^2+3*3+1 ....... (n+1)^3=n^3+3*n^2+3^n+1 sum up both sides substract common terms: (n+1)^3=3*b+3*(n+1)*n/2+n+1==> solve for b b=1^2+2^2+...+n^2 此法需要较强的基本功，属奥妙之作 4、立方差公式推导(此法高中生都能看懂吧) 5、用现成恒等式推导 二、证明 1、数学归纳法 1^2+2^2+3^2+„„+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 当n=1时,显然成立. 设n=k时也成立,即: 1^2+2^2+3^2+„„+k^2=k(k+1)(2k+1)/6 那么当n=k+1时,等式的左边等于: 1^2+2^2+3^2+„„+k^2+(k+1)^2 =k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2 =(k+1)[k(2k+1)/6+(k+1)] =(k+1)[2k^2+k+6k+6]/6 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6 而等式的右边等于:(当n=k+1时) (k+1)(k+1+1)(2k+2+1)/6 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6 即当n=k+1时,等式左边等于等式的右边 所以对于一切n,等式都成立 此法给初中和小学生讲是没法了，现在的教育之痛，用某小学老师的话来说，小学生的题是出给家长作的，呜,，砖家当道啊，有没有满足他们拔苗助长嗜好的奥数方法呢 2、图形法 2222计算1，2，3，4。 22根据平方的含义和乘法的含义，我们可以将这个算式改=1×1=1、写:12=2×2=2222222，2、3=3×3=3，3，3、4=4×4=4，4，4，4，则1，2，3，4=1，2，2，3，3，3，4，4，4，4。把这10个加数排写在一个三角形内(图1)，计算这个算式的和，就是计算这个三角形内所有数的和。(其实学生如果会算自然数n项和，下面的说明就可省了，不过想个个学生成高斯，结果个个搞死了，呵呵) 我们对图1进行两次“复制”，得到两个和图1完全相同的三角形，把其中一个逆时针旋转60?得到图2，另一个顺时针旋转60?得到图3。 先把图2和图3重合，得到图4。图4中，重合的两个图形相对应位置的两个数相加，它们的和有什么规律呢,我们发现，从上往下看，第一行两个数的和是8，第二行两个数的和都是7，第三行两个数的和都是6，第四行两个数的和都是5。再把图4和图1重合，得到图5。 从 图中可以看出，每个圆圈中都有三个数，这三个数的和都是9，9=2×4，1。而10=1，2，3，4=(1，4)×4?2。图5中所有数的和应是图1中所 有数的和的3倍，所以图1中所有数的和=9×10?3=(2×4，1)×(1，4)×4?2?3=4× (1，4)×(2×4，1)×1/6。即12，22，32，42=4× (1，4)×(2×4，1)×1/6。 观察这个算式，用同样的思考方法，我们可推出这样的结论: 222221，2，3，4，„„，n=n× (1，n)×(2×n，1)×1/6 这个不是证明的过程对小学生来说算是证明吧。