2011年高考数学专题讲解————圆锥曲线 8_one整理
90题突破高中数学圆锥曲线
1.如图,已知直线L:的右焦点F,且交椭圆C于A、B两点,点A、B在直线上的射影依次为点D、E。
(1)若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点,求椭圆C的方程;
(2)(理)连接AE、BD,试探索当m变化时,直线AE、BD是否相交于一定点N?若交于定点N,请求出N点的坐标,并给予证明;否则说明理由。
(文)若为x轴上一点,求证:
2.如图所示,已知圆定点A(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足,点N的轨迹为曲线E。
(1)求曲线E的方程;
(2)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间),且满足的取值范围。
3.设椭圆C:的左焦点为F,上顶点为A,过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P,交x轴正半轴于点Q, 且
⑴求椭圆C的离心率;
⑵若过A、Q、F三点的圆恰好与直线
l: 相切,求椭圆C的方程.
4.设椭圆
的离心率为e=
(1)椭圆的左、右焦点分别为F1、F2、A是椭圆上的一点,且点A到此两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程.
(2)求b为何值时,过圆x2+y2=t2上一点M(2,
)处的切线交椭圆于Q1、Q2两点,而且OQ1⊥OQ2.
5.已知曲线上任意一点P到两个定点F1(-,0)和F2(,0)的距离之和为4.
(1)求曲线的方程;
(2)设过(0,-2)的直线与曲线交于C、D两点,且为坐标原点),求直线的方程.
6.已知椭圆
的左焦点为F,左、右顶点分别为A、C,上顶点为B.过F、B、C作⊙P,其中圆心P的坐标为(m,n).
(Ⅰ)当m+n>0时,求椭圆离心率的范围;
(Ⅱ)直线AB与⊙P能否相切?证明你的结论.
7.有如下结论:“圆
上一点
处的切线方程为
”,类比也有结论:“椭圆
处的切线方程为
”,过椭圆C:
的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线,切点为 A、B.
(1)求证:直线AB恒过一定点;(2)当点M在的纵坐标为1时,求△ABM的面积
8.已知点P(4,4),圆C:
与椭圆E:
有一个公共点A(3,1),F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF1与圆C相切.
(Ⅰ)求m的值与椭圆E的方程;
(Ⅱ)设Q为椭圆E上的一个动点,求
的取值范围.
9.椭圆的对称中心在坐标原点,一个顶点为
,右焦点
与点
的距离为
。
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在斜率
的直线
:
,使直线
与椭圆相交于不同的两点
满足
,若存在,求直线
的倾斜角
;若不存在,说明理由。
10.椭圆方程为
的一个顶点为
,离心率
。
(1)求椭圆的方程;
(2)直线
:
EMBED Equation.DSMT4 与椭圆相交于不同的两点
满足
,求
。
11.已知椭圆
的左焦点为F,左右顶点分别为A,C上顶点为B,过F,B,C三点作
,其中圆心P的坐标为
.
(1) 若椭圆的离心率
,求
的方程;
(2)若
的圆心在直线
上,求椭圆的方程.
12.已知直线
与曲线
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 交于不同的两点
,
为坐标原点.
(Ⅰ)若
,求证:曲线
是一个圆;
(Ⅱ)若
,当
且
时,求曲线
的离心率
的取值范围.
13.设椭圆
的左、右焦点分别为
、
,A是椭圆C上的一点,且
,坐标原点O到直线
的距离为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设Q是椭圆C上的一点,过Q的直线l交x轴于点
,较y轴于点M,若
,求直线l的方程.
14.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴的负半轴上,过其上一点
的切线方程为
为常数).
(I)求抛物线方程;
(II)斜率为
的直线PA与抛物线的另一交点为A,斜率为
的直线PB与抛物线的另一交点为B(A、B两点不同),且满足
,求证线段PM的中点在y轴上;
(III)在(II)的条件下,当
时,若P的坐标为(1,-1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.
15.已知动点A、B分别在x轴、y轴上,且满足|AB|=2,点P在线段AB上,且
设点P的轨迹方程为c。
(1)求点P的轨迹方程C;
(2)若t=2,点M、N是C上关于原点对称的两个动点(M、N不在坐标轴上),点Q
坐标为
求△QMN的面积S的最大值。
16.设上的两点,
已知,,若且椭圆的离心率短轴长为2,为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c),(c为半焦距),求直线AB的斜率k的值;
(Ⅲ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由
17.如图,F是椭圆
(a>b>0)的一个焦点,A,B是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率为
.点C在x轴上,BC⊥BF,B,C,F三点确定的圆M恰好与直线l1:
相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程:
(Ⅱ)过点A的直线l2与圆M交于PQ两点,且
,求直线l2的方程.
18.如图,椭圆长轴端点为
,
为椭圆中心,
为椭圆的右焦点,且
EMBED Equation.3 .
(1)求椭圆的
方程;
(2)记椭圆的上顶点为
,直线
交椭圆于
两点,问:是否存在直线
,使点
恰为
的垂心?若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
19.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴上,离心率为
,且经过点
. 直线
交椭圆于
两不同的点.
20.设
,点
在
轴上,点
在
轴上,且
(1)当点
在
轴上运动时,求点
的轨迹
的方程;
(2)设
是曲线
上的点,且
成等差数列,当
的垂直平分线与
轴交于点
时,求
点坐标.
21.已知点
是平面上一动点,且满足
(1)求点
的轨迹
对应的方程;
(2)已知点
在曲线
上,过点
作曲线
的两条弦
和
,且
,判断:直线
是否过定点?试证明你的结论.
22.已知椭圆
的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过
、
、
三点.
(1)求椭圆
的方程:
(2)若点D为椭圆
上不同于
、
的任意一点,
,当
内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标;
(3)若直线
与椭圆
交于
、
两点,证明直线
与直线
的交点在直线
上.
23.过直角坐标平面
中的抛物线
的焦点
作一条倾斜角为
的直线与抛物线相交于A,B两点。
(1)用
表示A,B之间的距离;
(2)证明:
的大小是与
无关的定值,
并求出这个值。
24.设
分别是椭圆C:
的左右焦点
(1)设椭圆C上的点
到
两点距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标
(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段
的中点B的轨迹方程
(3)设点P是椭圆C 上的任意一点,过原点的直线L与椭圆相交于M,N两点,当直线PM ,PN的斜率都存在,并记为
试探究
的值是否与点P及直线L有关,并证明你的结论。
25.已知椭圆的离心率为,直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
(I)求椭圆的方程;
(II)设椭圆的左焦点为,右焦点,直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点,线段垂直平分线交于点,求点的轨迹的方程;
(III)设与轴交于点,不同的两点在上,且满足求的取值范围.
26.如图所示,已知椭圆
:
EMBED Equation.3 ,
、
为
其左、右焦点,
为右顶点,
为左准线,过
的直线
:
与椭圆相交于
、
两点,且有:
(
为椭圆的半焦距)
(1)求椭圆
的离心率
的最小值;
(2)若
,求实数
的取值范围;
(3)若
,
,
求证:
、
两点的纵坐标之积为定值;
27.已知椭圆
的左焦点为
,左右顶点分别为
,上顶点为
,过
三点作圆
,其中圆心
的坐标为
(1)当
>
时,椭圆的离心率的取值范围
(2)直线
能否和圆
相切?证明你的结论
28.已知点A(-1,0),B(1,-1)和抛物线.
,O为坐标原点,过点A的动直线l交抛物线C于M、P,直线MB交抛物线C于另一点Q,如图.
(I)证明:
为定值;
(II)若△POM的面积为
,求向量
与
的夹角;
(Ⅲ) 证明直线PQ恒过一个定点.
29.已知椭圆C:
上动点
到定点
,其中
的距离
的最小值为1.
(1)请确定M点的坐标
(2)试问是否存在经过M点的直线
,使
与椭圆C的两个交点A、B满足条件
(O为原点),若存在,求出
的方程,若不存在请说是理由。
30.已知椭圆,直线与椭圆相交于两点.
(Ⅰ)若线段中点的横坐标是,求直线的方程;
(Ⅱ)在轴上是否存在点,使的值与无关?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
31.直线AB过抛物线
的焦点F,并与其相交于A、B两点。Q是线段AB的中点,M是抛物线的准线与y轴的交点.O是坐标原点.
(I)求
的取值范围;
(Ⅱ)过 A、B两点分剐作此撒物线的切线,两切线相交于N点.求证:
∥
;
(Ⅲ) 若P是不为1的正整数,当
,△ABN的面积的取值范围为
时,求该抛物线的方程.
32.如图,设抛物线
(
)的准线与
轴交于
,焦点为
;以
、
为焦点,离心率
的椭圆
与抛物线
在
轴上方的一个交点为
.
(Ⅰ)当
时,求椭圆的方程及其右准线的方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,直线
经过椭圆
的右焦点
,与抛物线
交于
、
,如果以线段
为直径作圆,试判断点
与圆的位置关系,并说明理由;
(Ⅲ)是否存在实数
,使得
的边长是连续的自然数,若存在,求出这样的实数
;若不存在,请说明理由.
33.已知点
和动点
满足:
,且存在正常数
,使得
。
(1)求动点P的轨迹C的方程。
(2)设直线
与曲线C相交于两点E,F,且与y轴的交点为D。若
求
的值。
34.已知椭圆
的右准线
与
轴相交于点
,右焦点
到上顶点的距离为
,点
是线段
上的一个动点.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在过点
且与
轴不垂直的直线
与椭圆交于
、
两点,使得
,并说明理由.
35.已知椭圆C:(.
(1)若椭圆的长轴长为4,离心率为,求椭圆的标准方程;
(2)在(1)的条件下,设过定点的直线与椭圆C交于不同的两点,且为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率k的取值范围;
(3)如图,过原点任意作两条互相垂直的直线与椭圆()相交于四点,设原点到四边形一边的距离为,试求时满足的条件.
36.已知
若过定点
、以
(
)为法向量的直线
与过点
以
为法向量的直线
相交于动点
.
(1)求直线
和
的方程;
(2)求直线
和
的斜率之积
的值,并证明必存在两个定点
使得
恒为定值;
(3)在(2)的条件下,若
是
上的两个动点,且
,试问当
取最小值时,向量
与
是否平行,并说明理由。
37.已知点
,点
(其中
),直线
、
都是圆
EMBED Equation.3 的切线.
(Ⅰ)若
面积等于6,求过点
的抛物线
的方程;
(Ⅱ)若点
在
轴右边,求
面积的最小值.
38.我们知道,判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别,那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗?请同学们进行研究并完成下面问题。
(1)设F1、F2是椭圆
的距离分别为d1、d2,试求d1·d2的值,并判断直线L与椭圆M的位置关系。
的两个焦点,点F1、F2到直线
(2)设F1、F2是椭圆
的两个焦点,点F1、F2到直线
(m、n不同时为0)的距离分别为d1、d2,且直线L与椭圆M相切,试求d1·d2的值。
(3)试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件,并证明。
(4)将(3)中得出的结论类比到其它曲线,请同学们给出自己研究的有关结论(不必证明)。
39.已知点
为抛物线
的焦点,点
是准线
上的动点,直线
交抛物线
于
两点,若点
的纵坐标为
,点
为准线
与
轴的交点.
(Ⅰ)求直线
的方程;(Ⅱ)求
的面积
范围;
(Ⅲ)设
,
,求证
为定值.
40.已知椭圆的离心率为,直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
(I)求椭圆的方程;
(II)设椭圆的左焦点为,右焦点,直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点,线段垂直平分线交于点,求点的轨迹的方程;
(III)设与轴交于点,不同的两点在上,且满足求的取值范围.
41.已知以向量
的对称点在该抛物线的准线上.
的顶点关于直线
:
,抛物线
过点
为方向向量的直线
(1)求抛物线
的方程;
(2)设
的轨迹方程。
),试求点
异于点
、
为坐标原点,
(
,若
交于点
与直线
,直线
轴的直线
作平行于
上的两个动点,过
是抛物线
、
42.如图,设抛物线
(
)的准线与
轴交于
,焦点为
;以
、
为焦点,离心率
的椭圆
与抛物线
在
轴上方的一个交点为
.
(Ⅰ)当
时,求椭圆的方程及其右准线的方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,直线
经过椭圆
的右焦点
,
与抛物线
交于
、
,如果以线段
为直径作圆,
试判断点
与圆的位置关系,并说明理由;
(Ⅲ)是否存在实数
,使得
的边长是连续的自然数,若存在,求出这样的实数
;若不存在,请说明理由.
43.设椭圆
的一个顶点与抛物线
的焦点重合,
分别是椭圆的左、右焦点,且离心率
且过椭圆右焦点
的直线
与椭圆C交于
两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)是否存在直线
,使得
.若存在,求出直线
的方程;若不存在,说明理由.
(Ⅲ)若AB是椭圆C经过原点O的弦, MN
AB,求证:
为定值.
44.设是抛物线的焦点,过点M(-1,0)且以为方向向量的直线顺次交抛物线于两点。
(Ⅰ)当时,若与的夹角为,求抛物线的方程;
(Ⅱ)若点满足,证明为定值,并求此时△的面积
45.已知点
,点
在
轴上,点
在
轴的正半轴上,点
在直线
上,且满足
.
(Ⅰ)当点
在
轴上移动时,求点
的轨迹
的方程;
(Ⅱ)设
、
为轨迹
上两点,且
>1,
>0,
,求实数
,
使
,且
.
46.已知椭圆
的右焦点为F,上顶点为A,P为C
上任一点,MN是圆
的一条直径,若与AF平行且在y轴上的截距为
的直线
恰好与圆
相切。
(1)已知椭圆
的离心率;
(2)若
的最大值为49,求椭圆C
的方程.
47.已知直线
与曲线
:
交于
两点,
的中点为
,若直线
和
(
为坐标原点)的斜率都存在,则
.
这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.
(Ⅰ)证明有心圆锥曲线的“垂径定理”;
(Ⅱ)利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题:
1 过点
作直线
与椭圆
交于
两点,求
的中点
的轨迹
的方程;
2 过点
作直线
与有心圆锥曲线
交于
两点,是否存在这样的直线
使点
为线段
的中点?若存在,求直线
的方程;若不存在,说明理由.
48.椭圆的中心为原点
,焦点在
轴上,离心率
,过
的直线
与椭圆交于
、
两点,且
,求
面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程.
49.椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,离心率e = eq \f(\r(2),2),椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e, 直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且.学科网
(1)求椭圆方程; (2)若,求m的取值范围.学科网
50.已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,准线l与x轴交于点K,已知|AK|=|AF|,三角形AFK的面积等于8.
(1)求p的值;
(2)过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l1,l2,与抛物线相交得两条弦,两条弦
的中点分别为G,H.求|GH|的最小值.
51.已知点
,点
在
轴上,点
在
轴的正半轴上,点
在直线
上,且满足
.
(Ⅰ)当点
在
轴上移动时,求点
的轨迹
的方程;
(Ⅱ)设
、
为轨迹
上两点,且
>1,
>0,
,求实数
,
使
,且
.
52.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线L在y轴上的截距为m(m≠0),L交椭圆于A、B两个不同点。
(1)求椭圆的方程;
(2)求m的取值范围;
(3)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。
53.已知椭圆上的点到右焦点F的最小距离是
,到上顶点的距离为,点是线段上的一个动点.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于、两点,
使得,并说明理由.
54.已知椭圆的上、下焦点分别为,点为坐标平面内的动点,满足
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点作曲线的两条切线,切点分别为,求直线的方程:
(3)在直线上否存在点,过该点作曲线的两条切线,切点分别为,使得,若存在,求出该点的坐标;若不存在,试说明理由。
55.已知抛物线
两点分别作抛物线的切线,设其交点为
过
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EMBED Equation.DSMT4
是抛物线上的两动点,且
的焦点为
(1)证明线段
的值
轴平分 (2)计算
被
(3)求证
56.已知是椭圆的顶点(如图),直线与椭圆交于异于顶点的两点,且.若椭圆的离心率
是,且.
(1)求此椭圆的方程;
(2)设直线和直线的倾斜角分别为.试判断是否为定值?若是,求出此定值;若不是,说明理由.
57.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过、、三点.
过椭圆的右焦点F任做一与坐标轴不平行的直线与椭圆交于、两点,与所在的直线交于点Q.
(1)求椭圆的方程:
(2)是否存在这样直线,使得点Q恒在直线上移动?
若存在,求出直线方程,若不存在,请说明理由.
58.已知方向向量为的直线过点和椭圆的右焦点,且椭圆的离心率为.
(I)求椭圆的方程;
(II)若已知点,点是椭圆上不重合的两点,且,求实数的取值范围.
59.已知F1,F2是椭圆C: (a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,线段PF2与y轴的交点M满足。
(1)求椭圆C的方程。
(2)椭圆C上任一动点M关于直线y=2x的对称点为M1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范围。
60.已知均在椭圆上,直线、分别过椭圆的左右焦点、,当时,有.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设是椭圆上的任一点,为圆的任一条直径,求的最大值.
61.已知离心率为的椭圆的中心在原点,焦点在轴上,双曲线以椭圆的长轴为实轴,短轴为虚轴,且焦距为。
(I)求椭圆及双曲线的方程;
(Ⅱ)设椭圆的左、右顶点分别为,在第二象限内取双曲线上一点,连结交椭圆于点,连结并延长交椭圆于点,若。求四边形的面积。
62.已知椭圆C ,过点M(0, 3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B.
(Ⅰ)若l与x轴相交于点N,且A是MN的中点,求直线l的方程;
(Ⅱ)设P为椭圆上一点, 且 (O为坐标原点). 求当时,实数的取值范围.
63.已知椭圆C,过点M(0, 1)的直线l与椭圆C相交于两点A、B.
(Ⅰ)若l与x轴相交于点P,且P为AM的中点,求直线l的方程;
(Ⅱ)设点,求的最大值.
64.已知
分别为椭圆
的左、右焦点,直线
过点
且垂直于椭圆的长轴,动直线
垂直于直线
,垂足为
,线段
的垂直平分线交
于点M。
(Ⅰ)求动点M的轨迹
的方程;
(Ⅱ)过点
作直线交曲线
于两个不同的点P和Q,设 eq \o(F1P,\s\up7(→)) =
eq \o(F1Q,\s\up7(→)) ,若
∈[2,3],求 eq \o(F2Q,\s\up7(→)) 的取值范围。
65.已知椭圆
中心在原点,焦点在坐标轴上,直线
与椭圆
在第一象限内的交点是
,点
在
轴上的射影恰好是椭圆
的右焦点
,另一个焦点是
,且
。
(1)求椭圆
的方程;
(2)直线
过点
,且与椭圆
交于
两点,求
的内切圆面积的最大值
66.椭圆
与椭圆交于A、B两点,C为椭圆的右项点,
(I)求椭圆的方程;
(II)若椭圆上两点E、F使
面积的最大值
67.已知椭圆E:
(a>b>0),以F1(-c,0)为圆心,以a-c为半径作圆F1,过点B2(0,b)作圆F1的两条切线,设切点为M、N.
(1)若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1(0,-b)时,求此椭圆的离心率;
(2)若直线MN的斜率为-1,且原点到直线MN的距离为4(
-1),求此时的椭圆方程;
(3)是否存在椭圆E,使得直线MN的斜率k在区间(-
)内取值?若存在,求出椭圆E的离心率e的取值范围;若不存在,请说明理由.
68.已知A,B是抛物线
上的两个动点,
为坐标原点,
非零向量满足
.
(Ⅰ)求证:直线
经过一定点;
(Ⅱ)当
的中点到直线
的距离的最小值为
时,求
的值
69.如图,已知直线l:
与抛物线C:
交于A,B两点,
为坐标原点,
。
(Ⅰ)求直线l和抛物线C的方程;
(Ⅱ)抛物线上一动点P从A到B运动时,求△ABP面积最大值.
70.已知椭圆Γ的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点B恰好是抛物线y=
x2的焦点,离心率等于
.直线
与椭圆Γ交于
两点.
(Ⅰ)求椭圆Γ的方程;
(Ⅱ) 椭圆Γ的右焦点
是否可以为
的垂心?若可以,求出直线
的方程;若不可以,请说明理由.
71.记平面内动点
到两条相交于原点
的直线
的距离分别为
研究满足下列条件下动点
的轨迹方程
.
(1)已知直线
的方程为:
,
(a)若
,指出方程
所表示曲线的形状;
(b)若
,求方程
所表示的曲线所围成区域的面积;
(c)若
,研究方程
所表示曲线的性质,写出3个结论.
(2)若
,试用
表示常数d及直线
的方程,使得动点
的轨迹方程
恰为椭圆的标准方程
(
).
72.已知椭圆
是抛物线
的一条切线。(I)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点
的动直线L交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由。
73.已知点P (4,4),圆C:
与椭圆E:
的一个公共点为A(3,1),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,直线
与圆C相切。
(1)求m的值与椭圆E的方程;
(2)设D为直线PF1与圆C 的切点,在椭圆E上是否存在点Q ,使△PDQ是以PD为底的等腰三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由。
74.已知椭圆
的长轴长为
,离心率为
,
分别为其左右焦点.一动圆过点
,且与直线
相切.
(Ⅰ) (ⅰ)求椭圆
的方程; (ⅱ)求动圆圆心轨迹
的方程;
(Ⅱ) 在曲线
上有四个不同的点
,满足
与
共线,
与
共线,且
,求四边形
面积的最小值.
75.如图,已知椭圆长轴长为4,高心率为过点的直线交椭圆于两点、交轴于点,点关于轴的对称点为,直线交轴于点。
(I)求椭圆方程;
(Ⅱ)探究:是否为常数?
76.设椭圆的上顶点为,椭圆上两点在轴上的射影分别为左焦点和右焦点,直线的斜率为,过点且与垂直的直线与轴交于点,的外接圆为圆.
(1)求椭圆的离心率;
(2)直线与圆相交于两点,且,求椭圆方程;
(3)设点在椭圆C内部,若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于,求椭圆C的短轴长的取值范围.
77.已知直线:(为常数)过椭圆()的上顶点和左焦点,直线被圆截得的弦长为.
(1)若,求的值;
(2)若,求椭圆离心率的取值范围.
78.已知可行域
的外接圆 C 与 x 轴交于点 Al 、 A2 ,椭圆 Cl 以线段 A1A2为长轴,离心率
(I)求圆 C 及椭圆 Cl 的方程;
(Ⅱ)设椭圆C1的右焦点为 F ,点 P 为圆 C 上异于 A 1、 A2的动点,过原点O作直线 PF 的垂线交直线 x =2
于点Q ,判断直线 PQ 与圆C的位置关系,并给出证明.
79.若椭圆
:
和椭圆
:
满足
,则称这两个椭圆相似,
称为其相似比。
(1)求经过点
,且与椭圆
相似的椭圆方程。
(2)设过原点的一条射线
分别与(1)中的两个椭圆交于A、B两点(其中点A在线段OB上),求
的最大值和最小值.
80.椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,离心率
,椭圆上的点到焦点的最短距离为
与y轴交于P点(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且
(1)求椭圆方程;
(2)若
的取值范围.
81.设,,为直角坐标系中的单位向量,,,。
(1)求动点的轨迹C的方程;
(2)过点作直线与曲线交于A、B两点,若,是否存在直线使得为矩形?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
82.如图,中心在原点,焦点在轴上的椭圆的离心率,分别是椭圆的长轴、短轴的端点,原点到直线的距离为。
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知,设点是椭圆上的两个动点,
满足,求的取值范围.
83.已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点为A(0,-1)。若右焦点到直线
的距离为3.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆与直线
相交于不同的两点M、N.当
时,求m的取值范围.
84.已知直线L过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,Q是线段AB的中点,M是抛物线的准线与y轴的交点,0是坐标原点
(1) 若直线L与x轴平行,且直线与抛物线所围区域的面积为6,求p的值.
(2) 过A,B两点分别作该抛物线的切线,两切线相交于N点,求证:
,
(3) 若p是不为1的正整数,当
,△ABN的面积的取值范围为
时,求:该抛物线的方程.
85.已知曲线C的方程为,F为焦点。
(1)过曲线上C一点()的切线与y 轴交于A,试探究|AF|与|PF|之间的关系;
(2)若在(1)的条件下P点的横坐标,点N在y轴上,且|PN|等于点P到直线的距离,圆M能覆盖三角形APN,当圆M的面积最小时,求圆M的方程。
86.设椭圆
的右焦点为
,直线
与
轴交于点
,
若
(其中
为坐标原点).
(1)求椭圆
的方程;
(2)设
是椭圆
上的任一点,
为圆
的任意一条直径,求
的最大值.
87.已知
、
分别为椭圆
:
的上、下焦点,其中
也是抛物线
的焦点,点
是
与
在第二象限的交点,且
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程.
(Ⅱ)已知点
和圆
:
,过点
的动
直线
与圆
相交于不同的两点
,在线段
上取一点
,满足:
,
,(
且
).
求证:点
总在某定直线上.
88.设
是抛物线
EMBED Equation.3 上相异两点,且
,直线
与
轴相交于
.
(1)若
到
轴的距离的积为
,求该抛物线方程及
的面积的最小值.
(2)在
轴上是否存在一点
,使直线
与抛物线的另一交点为
(与点
不重合),而直线
与
轴相交于
,且有
,若存在,求出
点的坐标(用
表示),若不存在,说明理由.
89.如图,A为椭圆
上的一个动点,
弦AB、AC分别过焦点F1、F2,当AC垂直于x轴时,
恰好有AF1:AF2=3:1.
(Ⅰ) 求椭圆的离心率;
(Ⅱ) 设
.
①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时,
求
的值;
②当A点为该椭圆上的一个动点时,试判断是
否为定值?若是,请证明;若不是,请说明理由.
90.已知分别是双曲线=l(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线上的一点,若 ,且
的三边长成等差数列.又一椭圆的中心在原点,短轴的一个端点到其右焦点的距离为,双曲线与该椭圆离心率之积为。
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线
与椭圆交于A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值.
答案及解析
1.解:(1)易知
(2) 先探索,当m=0时,直线L⊥ox轴,则ABED为矩形,由对称性知,AE与BD相交于FK中点N ,且
猜想:当m变化时,AE与BD相交于定点
证明:设,当m变化时首先AE过定点N
∴KAN=KEN ∴A、N、E三点共线 同理可得B、N、D三点共线
∴AE与BD相交于定点
(文)解:(1)易知
(2)(文) 设
∴KAN=KEN ∴A、N、E三点共线
2.解:(1) ∴NP为AM的垂直平分线, ∴|NA|=|NM|
又
∴动点N的轨迹是以点C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆
且椭圆长轴长为
∴曲线E的方程为
(2)当直线GH斜率存在时,设直线GH方程为
得 由
设 又
整理得
又
又当直线GH斜率不存在,方程为
即所求的取值范围是
3. 解:⑴设Q(x0,0),由F(-c,0) (0,b)知
设,得
因为点P在椭圆上,所以
整理得2b2=3ac,即2(a2-c2)=3ac,,故椭圆的离心率e=
⑵由⑴知,于是F(-a,0), Q
△AQF的外接圆圆心为(a,0),半径r=|FQ|=a 所以,解得a=2,∴c=1,b=,
所求椭圆方程为
4.(1)椭圆的方程为
(2)解: 过圆
上的一点M(2,
)处的切线方程为2x+
y-6=0.
令
,
, 则
化为5x2-24x+36-2b2=0, 由⊿>0得:
由
知,
,
即b=3∈(
,+∞),故b=3
5.解:(1)根据椭圆的定义,可知动点的轨迹为椭圆,其中,,则.
所以动点M的轨迹方程为.
(2)当直线的斜率不存在时,不满足题意.
当直线的斜率存在时,设直线的方程为,设,,
∵,∴. ∵,,
∴.∴ .… ①
由方程组 得.则,,代入①,得.
即,解得,或.所以,直线的方程是或.
6. 解:(Ⅰ)设F、B、C的坐标分别为(-c,0),(0,b),(1,0),则FC、BC的中垂线分别为
,
.联立方程组,解出
,即
,即(1+b)(b-c)>0,∴ b>c.
从而
即有
,∴
.又
,∴
EMBED Equation.3 .
(Ⅱ)直线AB与⊙P不能相切.由
,
=
.
如果直线AB与⊙P相切,则
·
=-1.
解出c=0或2,与0<c<1矛盾,所以直线AB与⊙P不能相切.
7.【解】(1)设M
∵点M在MA上∴
① 同理可得
②
由①②知AB的方程为
易知右焦点F(
)满足③式,故AB恒过椭圆C的右焦点F(
)
(2)把AB的方程
∴
又M到AB的距离
∴△ABM的面积
8. 【解】(Ⅰ)点A代入圆C方程,
得
.∵m<3,∴m=1.
圆C:
.设直线PF1的斜率为k,
则PF1:
,即
.
∵直线PF1与圆C相切,∴
.
解得
.
当k=
时,直线PF1与x轴的交点横坐标为
,不合题意,舍去.
当k=
时,直线PF1与x轴的交点横坐标为-4,∴c=4.F1(-4,0),F2(4,0).
2a=AF1+AF2=
,
,a2=18,b2=2.椭圆E的方程为:
. 2
(Ⅱ)
,设Q(x,y),
,
.
∵
,即
,而
,∴-18≤6xy≤18.
则
的取值范围是[0,36].
的取值范围是[-6,6].
∴
的取值范围是[-12,0].
9.【解】(1)依题意,设椭圆方程为
,则其右焦点坐标为
,由
EMBED Equation.DSMT4 ,得
,
即
,解得
。
又 ∵
,∴
,即椭圆方程为
。
(2)由
知点
在线段
的垂直平分线上,
由
消去
得
即
(*)
由
,得方程(*)的
,即方程(*)有两个不相等的实数根。
设
、
,线段
的中点
,
则
,
EMBED Equation.3 ,
,即
,∴直线
的斜率为
,
由
,得
,
∴
,解得:
,即
,
又
,故
,或
,∴ 存在直线
满足题意,其倾斜角
,或
。
10.【解】(1)设
,依题意得
即
∴
,即椭圆方程为
。
(2)
EMBED Equation.3 ∴
,且点
线段
的中点,
由
消去
得
即
(*)
由
,得方程(*)的
,显然方程(*)有两个不相等的实数根。
设
、
,线段
的中点
,
则
,
EMBED Equation.3
∴
,即
,∴直线
的斜率为
,
由
,得
, ∴
,解得:
,
11.【解】(1)当
EMBED Equation.DSMT4 时,∵
,∴
,
∴
,
EMBED Equation.DSMT4 ,点
,
,
设
的方程为
由
过点F,B,C得
∴
-----------------①
-----------------②
-------------------③
由①②③联立解得
EMBED Equation.DSMT4 ,
,
∴所求的
的方程为
(2)∵
过点F,B,C三点,∴圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC的垂直平分线上,FC的垂直平分线方程为
--------④ ∵BC的中点为
,
∴BC的垂直平分线方程为
-----⑤
由④⑤得
,即
∵P
在直线
上,∴
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
∵
∴
由
得
∴椭圆的方程为
12.【解】(Ⅰ)证明:设直线
与曲线
的交点为
EMBED Equation.3 ∴
即:
∴
EMBED Equation.3 在
上
∴
,
∴两式相减得:
∴
即:
∴曲线
是一个圆
(Ⅱ)设直线
与曲线
的交点为
,
EMBED Equation.3
∴曲线
是焦点在
轴上的椭圆
EMBED Equation.3
∴
即:
将
代入
整理得:
∴
,
EMBED Equation.3 在
上 ∴
EMBED Equation.3
又
EMBED Equation.3 ∴
∴2
EMBED Equation.3 ∴
∴
∴
∴
∴
EMBED Equation.3 ∴
∴
13.【解】(1)由题设知
由于
,则有
,所以点A的坐标为
,
故
所在直线方程为
,
所以坐标原点O到直线
的距离为
,
又
,所以
,解得
,
所求椭圆的方程为
.
(2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为
,则有
,
设
,由于
,∴
,解得
又Q在椭圆C上,得
,解得
, 故直线l的方程为
或
, 即
或
.
14. 【解】(I)由题意可设抛物线的方程为
,
∵过点
的切线方程为
,
∴抛物线的方程为
(II)直线PA的方程为
,
同理,可得
.
又
∴线段PM的中点在y轴上.
(III)由
∵∠PAB为钝角,且P, A, B不共线,
即
又∵点A的纵坐标
∴当
时,
;
当
∴∠PAB为钝角时点A的坐标的取值范围为
15.【解】(1)设
(2)t=2时,
16.解:(Ⅰ) 椭圆的方程为
(Ⅱ)由题意,设AB的方程为
由已知得:
(Ⅲ) (1)当直线AB斜率不存在时,即,由得
又 在椭圆上,所以
所以三角形的面积为定值
(2).当直线AB斜率存在时:设AB的方程为y=kx+b
所以三角形的面积为定值.
17.【解】 (1)F(-c,0),B(0,
),∵kBF=
,kBC=-
,C(3c,0) 且圆M的方程为(x-c)2+y2=4c2,圆M与直线l1:x+
u+3=0相切,
∴
,解得c=1,∴所求的椭圆方程为
(2) 点A的坐标为(-2,0),圆M的方程为(x-1)2+y2=4,
过点A斜率不存在的直线与圆不相交,设直线l2的方程为y=k(x+2),
∵
,又
,∴cos
=
∴∠PMQ=120°,圆心M到直线l2的距离d=
,所以
,∴k=
所求直线的方程为x×2
+2=0.
18.【解】(1)如图建系,设椭圆方程为
,则
又∵
即
∴
故椭圆方程为
(2)假设存在直线
交椭圆于
两点,且
恰为
的垂心,则设
,∵
,故
,
于是设直线
为
,由
得
∵
又
得
即
由韦达定理得
解得
或
(舍) 经检验
符合条件
19. 【解】
20.【解】 (1)设
,则由
得
为
中点,所以
又
得
,
,
所以
(
)
(2)由(1)知
为曲线
的焦点,由抛物线定义知,抛物线上任一点
到
的距离等于其到准线的距离,即
,所以
,
根据
成等差数列,得
,
直线
的斜率为
,
所以
中垂线方程为
,
又
中点
在直线上,代入上式得
,即
,
所以点
.
21.【解】(1)设
(5分)
(6分)
(9分)
(11分)
(13分)
) (15分)
22.【解】 (1)设椭圆方程为
将
、
、
代入椭圆E的方程,得
解得
. ∴椭圆
的方程
(2)
,设
边上的高为
当点
在椭圆的上顶点时,
最大为
,所以
的最大值为
.
设
的内切圆的半径为
,因为
的周长为定值6.所以
,
所以
的最大值为
.所以内切圆圆心的坐标为
(3)法一:将直线
代入椭圆
的方程
并整理.
得
.
设直线
与椭圆
的交点
,
由根系数的关系,得
.
直线
的方程为:
,它与直线
的交点坐标为
同理可求得直线
与直线
的交点坐标为
.
下面证明
、
两点重合,即证明
、
两点的纵坐标相等:
,
因此结论成立.
综上可知.直线
与直线
的交点住直线
上.
(16分)
法二:直线
的方程为:
由直线
的方程为:
,即
由直线
与直线
的方程消去
,得
∴直线
与直线
的交点在直线
上.
23.解:(1)焦点
,过抛物线的焦点且倾斜角为
的直线方程是
由
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
( 或
)
(2)
∴
的大小是与
无关的定值,
EMBED Equation.3
24.[解]:(1)由于点
在椭圆上,
2
=4,
椭圆C的方程为
焦点坐标分别为(-1,0) ,(1,0)
(2)设
的中点为B(x, y)则点
把K的坐标代入椭圆
中得
线段
的中点B的轨迹方程为
(3)过原点的直线L与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称
设
,得
=
=
故:
的值与点P的位置无关,同时与直线L无关,
25.解:(Ⅰ)∵ ∵直线相切,∴ ∴ ∵椭圆C1的方程是
(Ⅱ)∵MP=MF2,∴动点M到定直线的距离等于它到定点F1(1,0)的距离,
∴动点M的轨迹是C为l1准线,F2为焦点的抛物线 ∴点M的轨迹C2的方程为
(Ⅲ)Q(0,0),设 ∴
∵ ∴
∵,化简得 ∴ ∴
当且仅当 时等号成立
∵
∴当的取值范围是
26.解(1)设直线
与椭圆相交于
,
,因为
;
故
,
,由
得:
①;
将
代入
得:
;
由题意得:
代入①中,并化简得:
因此,
,
;即椭圆的离心率的最小值为
;
(2)由
得:
;
;由于
是
的单调增函数,
因为
,故
,
所以
的取值范围:
(3)
的方程为
;因为
;
故
,同理:
;
所以
(为定值)
27.解(1)由题意
的中垂线方程分别为
,
于是圆心坐标为
EMBED Equation.3 =
EMBED Equation.3 >
,即
>
即
>
所以
>
, 于是
>
即
>
,所以
<
即
<
<
(2)假设相切, 则
,
,
这与
<
<
矛盾.
故直线
不能与圆
相切.
28.解:(I)设点
、M、A三点共线,
(II)设∠POM=α,则
由此可得tanα=1.
又
(Ⅲ)设点
、B、Q三点共线,
即
即
由(*)式,
代入上式,得
由此可知直线PQ过定点E(1,-4).
29.解析:设
,由
得
故
EMBED Equation.DSMT4 由于
且
故当
时,
的最小值为
此时
,当
时,
取得最小值为
解得
不合题意舍去。综上所知当
是满足题意此时M的坐标为(1,0)。
(2)由题意知条件
等价于
,当
的斜率不存在时,
与C的交点为
,此时
,设
的方程为
,代入椭圆方程整理得
,由于点M在椭圆内部故
恒成立,由
知
即
,据韦达定理得
,
代入上式得
得
不合题意。综上知这样的直线不存在。
30.解:依题意,直线的斜率存在,设直线的方程为,
将代入, 消去整理得
设 则
由线段中点的横坐标是,得,解得,适合.
注意到是与无关的常数,从而有, 此时
综上,在轴上存在定点,使为常数.
31.解:(Ⅰ) 由条件得
,设直线AB的方程为
则
EMBED Equation.3
∴由韦达定理得
从而有
∴
(Ⅱ)抛物线方程可化为
∴切线NA的方程为:
切线NB的方程为:
从而可知N点、Q点的横坐标相同但纵坐标不同。
∥
又由(Ⅰ)知
EMBED Equation.3 而
又
(Ⅲ)由
由于
从而
又
而
而p>0,∴1≤p≤2 又p是不为1的正整数
∴p=2
故抛物线的方程:
32.【解】∵
的右焦点
∴椭圆的半焦距
,又
,
∴椭圆的长半轴的长
,短半轴的长
. 椭圆方程为
.
(Ⅰ)当
时,故椭圆方程为
,
右准线方程为:
.
(Ⅱ)依题意设直线
的方程为:
,
联立
得点
的坐标为
.
将
代入
得
.
设
、
,由韦达定理得
,
.
又
,
.
∵
,于是
的值可能小于零,等于零,大于零。
即点
可在圆内,圆上或圆外.
(Ⅲ)假设存在满足条件的实数
, 由
解得:
.
∴
,
,又
.
即
的边长分别是
、
、
. ∴
时,能使
的边长是连续的自然数。
33.解:(1)在△PAB中,|AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA|·|PB|·cos2θ
∴4=(|PA|+|PB|)2-2|PA|·|PB|(1+cos2θ)=(|PA|+|PB|)2-4m,∴(|PA|+|PB|=2
),即点P的轨迹为椭圆,点P的轨迹C的方程为
.
(2)由
EMBED Equation.DSMT4 (2m+1)x2+2(m+1)x+1-m2=0
设E(x1,y1),F(x2,y2),D(0,1)
则x1+x2=
…………① x1·x2=
…………②
又
,∴(x1,y1-1)=(2+
)(x2,y2-1)
∴x1=(2+
)x2…………③
将③代入①②得
EMBED Equation.DSMT4 m=
或m=-
∵m>0 ∴m=
.
34.解:(1)由题意可知
,又
,解得
,
椭圆的方程为
;
(2)由(1)得
,所以
.假设存在满足题意的直线
,设
的方程为
,代入
,得
,
设
,则
①
,
,
而
的方向向量为
,
;
EMBED Equation.3 当
时,
,即存在这样的直线
; 当
时,
不存在,即不存在这样的直线
.
35.解:(1)
(2)显然直线x=0不满足题设条件,可设直线l:
由得.
,(1)
又
由 ∴ 所以
(2)由(1)(2)得。
(3)由椭圆的对称性可知PQSR是菱形,原点O到各边的距离相等。
当P在y轴上,Q在x轴上时,直线PQ的方程为,由d=1得,
当P不在y轴上时,设直线PS的斜率为k,,则直线RQ的斜率为,
由,得(1),同理(2)
在Rt△OPQ中,由,即
所以,
化简得, ,即。
综上,d=1时a,b满足条件
36.【解】(1)直线
的法向量
,
的方程:
,
即为
;…(2分)
直线
的法向量
,
的方程:
,
即为
。 (4分)
(2)
。 (6分)
设点
的坐标为
,由
,得
。(8分)
由椭圆的定义的知存在两个定点
,使得
恒为定值4。
此时两个定点
为椭圆的两个焦点。(10分)
(3)设
,
,则
,
,
由
,得
。(12分)
;
当且仅当
或
时,
取最小值
。(14分)
,故
与
平行。(16分)
37.解:(1) 设
,由已知
,
,
设直线PB与圆M切于点A,
又
,
EMBED Equation.3
(2)
点 B(0,t),点
,
进一步可得两条切线方程为:
,
EMBED Equation.3 ,
,
,
,
,又
时,
,
EMBED Equation.3 面积的最小值为
38.解:(1)
;
联立方程
;
与椭圆M相交。
(2)联立方程组
消去
(3)设F1、F2是椭圆
的两个焦点,点F1、F2到直线
;直线L与椭圆M相离的充要条件为:
;直线L与椭圆M相切的充要条件为:
的距离分别为d1、d2,且F1、F2在直线L的同侧。那么直线L与椭圆相交的充要条件为:
证明:由(2)得,直线L与椭圆M相交
命题得证。
(4)可以类比到双曲线:设F1、F2是双曲线
;直线L与双曲线M相离的充要条件为:
;直线L与双曲线M相切的充要条件为:
距离分别为d1、d2,且F1、F2在直线L的同侧。那么直线L与双曲线相交的充要条件为:
的两个焦点,点F1、F2到直线
39.解:(Ⅰ)由题知点
的坐标分别为
,
,于是直线
的斜率为
, 所以直线
的方程为
,即为
.
(Ⅱ)设
两点的坐标分别为
,由
得
,
所以
,
.