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八年级数学竞赛培训:二次根式的化简求值

2013-02-21 14页 doc 549KB 204阅读

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八年级数学竞赛培训:二次根式的化简求值八年级数学竞赛培训:二次根式的化简求值   一、填空题(共8小题,每小题4分,满分32分) 1.(4分)已知,那么的值等于 _________ . 2.(4分)已知,那么= _________ . 3.(4分)已知,则= _________ . 4.(4分)代数式的最小值为 _________ . 5.(4分)已知:(x+)(y+)=2002,则x2﹣3xy﹣4y2﹣6x﹣6y+58= _________ . 6.(4分)已知,,那么代数式值为 _________ . 7.(4分)若a+=4,(0<a<1),则= _____...
八年级数学竞赛培训:二次根式的化简求值
八年级数学竞赛培训:二次根式的化简求值   一、填空题(共8小题,每小题4分,满分32分) 1.(4分)已知,那么的值等于 _________ . 2.(4分)已知,那么= _________ . 3.(4分)已知,则= _________ . 4.(4分)代数式的最小值为 _________ . 5.(4分)已知:(x+)(y+)=2002,则x2﹣3xy﹣4y2﹣6x﹣6y+58= _________ . 6.(4分)已知,,那么代数式值为 _________ . 7.(4分)若a+=4,(0<a<1),则= _________ . 8.(4分)已知a是的小数部分,那么代数式的值为 _________ . 二、选择题(共9小题,每小题5分,满分45分) 9.(5分)若,则的值是(  )   A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10.(5分)已知实数a满足,那么a﹣20002的值是(  )   A. 1999 B. 2000 C. 2001 D. 2002 11.(5分)设a=+,b=+,c=2,则a,b,c之间的大小关系是(  )   A. a>b>c B. a>c>b C. b>a>c D. c>b>a 12.(5分)设,则的值为(  )   A. B. C. D. 不能确定 13.(5分)如果,,|b3+c3|=b3﹣c3,那么a3b3﹣c3的值为(  )   A. 2002 B. 2001 C. 1 D. 0   14.(5分)已知,,,那么a,b,c的大小关系是(  )   A. a<b<c B. b<a<c C. c<b<a D. c<a<b 15.(5分)当时,代数式(4x3﹣2005x﹣2001)2003的值是(  )   A. 0 B. ﹣1 C. 1 D. ﹣22003 16.(5分)a,b,c为有理数,且等式成立,则2a+999b+1001c的值是(  )   A. 1999 B. 2000 C. 2001 D. 不能确定 17.(5分)满足等式的正整数对的个数是(  )   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题(共10小题,满分0分) 18.(2001•武汉)已知,求的值.  19.已知a、b是实数,且,问a、b之间有怎样的关系?请推导.  20.(2002•内江)已知:(0<a<1),求代数式的值.  21.(1)设a、b、c、d为正实数,a<b,c<d,bc>ad,有一个三角形的三边长分别为,,,求此三角形的面积; (2)已知a,b均为正数,且a+b=2,求U=的最小值.  22.若a>0,b>0,且,求的值.  23.已知,化简.  24.某船在点O处测得一小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向,船向西航行20海里到达B处,测得电视塔在船的西北方向,问再向西航行多少海里,船离电视塔最近?  25.已知实数a、b满足条件|a﹣b|=<1,化简代数式(﹣),将结果表示成只含有字母a的形式.  26.已知(a>0),化简:.  27.已知自然数x、y、z满足等式,求x+y+z的值.  参考答案与试题解析 一、填空题(共8小题,每小题4分,满分32分) 1.(4分)已知,那么的值等于  . 考点: 二次根式的化简求值。809590 专题: 计算题。 : 通过平方或分式的性质,把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示,然后再进行计算. 解答: 解:由,两边分别平方得:x+=2, 原式=﹣=﹣. 故答案为:﹣. 点评: 本题考查了二次根式的化简求值,难度不大,关键是把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示. 2.(4分)已知,那么=  . 考点: 分式的化简求值;平方差公式;分式的加减法。809590 专题: 计算题。 分析: 题目算式比较多,经观察分母中含有公因式(x+2)(x﹣2),所以先通分化简后再代入求解. 解答: 解:=. 故答案为. 点评: 异分母分式相加减,先通分再加减,注意结果要化简,再代入值计算. 3.(4分)已知,则=  . 考点: 二次根式的化简求值。809590 专题: 计算题。 分析: 先将式的左边分子有理化,求出a的值,然后代入即可得出答案. 解答: 解:将式的左边分子有理化, =5,化简得=1, 两式相加得:,∴a=5,代入= ==﹣1. 故答案为:. 点评: 本题考查了二次根式的化简求值,难度不大,关键是对已知式d左边进行分子有理化. 4.(4分)代数式的最小值为 13 . 考点: 函数最值问题;轴对称-最短路线问题。809590 专题: 函数思想。 分析: 原问题转化为:求x轴上一点到(0,﹣2)以及(12,3)两点的和的最小值,显然两点间线段最短. 解答: 解:求代数式的最小值, 实际上就是求x轴上一点到(0,﹣2)以及(12,3)两点的和的最小值, 而两点间的距离是线段最短,所以,点到(0,﹣2)到点(12,3)的距离即为所求, 即=13. 故答案为:13. 点评: 本题主要考查了函数的最值问题、轴对称﹣﹣最短路线问题.解答此题的关键是根据代数式,将问题转化为:求x轴上一点到(0,﹣2)以及(12,3)两点的和的最小值,并且利用了“两点间线段最短”的. 5.(4分)已知:(x+)(y+)=2002,则x2﹣3xy﹣4y2﹣6x﹣6y+58= 58 . 考点: 二次根式的化简求值。809590 专题: 计算题。 分析: 由(x+)(y+)=2002,得到等式右边为有理数,左边必为平方差公式,得到x=﹣y,再把原式变形为(x﹣4y)(x+y)﹣6(x+y)+58,即可得到原式的值. 解答: 解:∵(x+)(y+)=2002, ∴等式右边为有理数,左边必为平方差公式, 即x=﹣y, 原式=(x﹣4y)(x+y)﹣6(x+y)+58, =58. 故答案为:58. 点评: 本题考查了二次根式的性质以及代数式的变形能力. 6.(4分)已知,,那么代数式值为  . 考点: 二次根式的化简求值。809590 专题: 计算题。 分析: 将x,y化简并代入代数式即可. 解答: 解:=,=. 原式= =. 故答案为. 点评: 本题考查二次根式的化简求值,较为简单. 7.(4分)若a+=4,(0<a<1),则= ﹣ . 考点: 完全平方公式。809590 专题: 计算题。 分析: 根据完全平方公式的变形()2=a+﹣2求解. 解答: 解:∵0<a<1, ∴<0, ∵()2=a+﹣2=4﹣2=2, ∴=﹣. 故答案为:﹣. 点评: 本题主要考查完全平方公式,熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助. 8.(4分)已知a是的小数部分,那么代数式的值为  . 考点: 二次根式的化简求值;估算无理数的大小。809590 专题: 计算题。 分析: 由已知可得a=2﹣,把所求代数式经过分解因式、约分、通分化简,再代入计算即可. 解答: 解:∵4﹣, 即2<4﹣<3, ∴a=4﹣﹣2=2﹣, ∴, =, =, =a﹣2, =2﹣﹣2, =﹣. 故答案为:﹣. 点评: 此题考查二次根式的化简求值,“a是的小数部分”的求法要掌握. 二、选择题(共9小题,每小题5分,满分45分) 9.(5分)若,则的值是(  )   A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 考点: 二次根式的化简求值。809590 专题: 计算题。 分析: 由已知x=+1,得x﹣=1,x﹣1=,两边平方得(x﹣1)2=3,即x2﹣2x+1=3,将所求式子变形,整体代入即可. 解答: 解:由已知,得(x﹣1)2=3,即x2﹣2x+1=3, ∴原式=x3﹣2x2+x﹣(x2﹣2x+1)+5 =x(x2﹣2x+1)﹣(x2﹣2x+1)+5 =3x﹣3+5 =3(x﹣)+5 =3×1+5=8. 故选D. 点评: 本题考查了二次根式的化简与求值,将已知条件变形,再整体代入是解题的关键,不化简,直接代入,运算很复杂. 10.(5分)已知实数a满足,那么a﹣20002的值是(  )   A. 1999 B. 2000 C. 2001 D. 2002 考点: 二次根式有意义的条件;绝对值;无理方程。809590 专题: 计算题。 分析: 先根据二次根式有意义的条件求出a的取值范围,依此计算绝对值,从而求得a﹣20002的值. 解答: 解:∵a﹣2001≥0, ∴a≥2001, 则原式可化简为:a﹣2000+=a, 即:=2000, ∴a﹣2001=20002, ∴x﹣20002=2001. 故选C. 点评: 本题考查了二次根式有意义的条件和绝对值的性质.求出x的范围,对原式进行化简是解决本题的关键. 11.(5分)设a=+,b=+,c=2,则a,b,c之间的大小关系是(  )   A. a>b>c B. a>c>b C. b>a>c D. c>b>a 考点: 实数大小比较。809590 分析: 利用平把三个数值平方后再比较大小即可. 解答: 解:∵a2=2000+2,b2=2000+2,c2=4004=2000+2×1002, 1003×997=1 000 000﹣9=999 991,1001×999=1 000 000﹣1=999 999,10022=1 004 004. ∴c>b>a. 故选D. 点评: 这里注意比较数的大小可以用平方法,两个正数,平方大的就大.此题也要求学生熟练运用完全平方公式和平方差公式. 12.(5分)设,则的值为(  )   A. B. C. D. 不能确定 考点: 二次根式的性质与化简。809590 专题: 计算题。 分析: 利用二次根式的性质对先进行通分化简,然后再代入进行求解. 解答: 解:=,∴x=+a﹣2 ∴0<a<1 ∴===, 故选B. 点评: 此题主要考查二次根式的性质和化简,计算时要仔细,解题的关键是要会通分化简找出完全平方式. 13.(5分)如果,,|b3+c3|=b3﹣c3,那么a3b3﹣c3的值为(  )   A. 2002 B. 2001 C. 1 D. 0 考点: 二次根式的混合运算。809590 分析: 由公式(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab,先求ab的值,再利用排除法判断b3+c3的符号,进一步求出c的值,计算a3b3﹣c3的值. 解答: 解:由(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab,得(+2)﹣(﹣2)=4ab, 解得,ab=1, 又若b3+c3<0,则由|b3+c3|=b3﹣c3,解得b3=0,与ab=1矛盾, 故b3+c3≥0, 将|b3+c3|=b3﹣c3,去绝对值,解得c=0, 故a3b3﹣c3=a3b3=1. 故选C. 点评: 本题考查了乘法公式的灵活运用,分类讨论,排除法等数学思想,要求学生掌握. 14.(5分)已知,,,那么a,b,c的大小关系是(  )   A. a<b<c B. b<a<c C. c<b<a D. c<a<b 考点: 实数大小比较。809590 分析: 利用作差法比较a和b、b和c、a和c的大小,再比较a、b、c三者的大小. 解答: 解:∵a﹣b=﹣1﹣(2﹣) =﹣(1+) ≈2.449﹣2.414>0, ∵a>b; ∵a﹣c=﹣1﹣(﹣2)=+1﹣≈2.414﹣2.449<0, ∴a<c; 于是b<a<c, 故选B. 点评: 此题主要考查了实数的大小的比较,其中比较两个实数的大小,可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等. 实数大小比较法则: (1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数; (2)两个负数,绝对值大的反而小. 15.(5分)当时,代数式(4x3﹣2005x﹣2001)2003的值是(  )   A. 0 B. ﹣1 C. 1 D. ﹣22003 考点: 二次根式的化简求值。809590 专题: 常规题型;整体思想。 分析: 由已知可得,2x﹣1=,两边平方得4x2﹣4x=2001,整体代入计算即可. 解答: 解:∵, ∴2x﹣1=, 两边都平方得4x2﹣4x+1=2002, 即4x2﹣4x=2001, ∴4x3﹣2005x﹣2001=4x3﹣2005x﹣(4x2﹣4x)=4x3﹣4x2﹣2005x+4x=x(4x2﹣4x﹣2001)=0, ∴(4x3﹣2005x﹣2001)2003=0. 故选A. 点评: 此题考查二次根式的化简求值,充分利用已知条件是关键,还要注意整体思想的应用. 16.(5分)a,b,c为有理数,且等式成立,则2a+999b+1001c的值是(  )   A. 1999 B. 2000 C. 2001 D. 不能确定 考点: 二次根式的性质与化简。809590 分析: 将已知等式右边化简,两边比较系数可知a、b、c的值,再计算式子的值. 解答: 解:∵==, ∴a+b+c=, ∴a=0,b=1,c=1, 2a+999b+1001c=2000. 故选B. 点评: 本题考查了二次根式的性质与化简,将复合二次根式化简并比较系数是解题的关键. 17.(5分)满足等式的正整数对的个数是(  )   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点: 二次根式的混合运算;质数与合数。809590 专题: 计算题。 分析: 先将已知等式变形,(﹣)(++)=0,由++>0,则﹣=0,从而求得x,y的正整数对的个数. 解答: 解:由可得, (﹣)(++)=0, ∵++>0,∴﹣=0, ∴, 故选B. 点评: 本题考查了二次根式的混合运算,以及质数和合数,是一道综合题难度较大.  三、解答题(共10小题,满分0分) 18.(2001•武汉)已知,求的值. 考点: 二次根式的化简求值;分式的化简求值。809590 分析: 可先根据所给的等式得到相应的x的值,再把后面的代数式进行化简,把x的值代入即可. 解答: 解:∵=, ∴(++1)x+3+3+3=x+2, 解得x=, 那么x+3=, 原式=÷ =× =﹣ =+. 点评: 在计算过程中应先算小括号,再算除法,分子分母能进行因式分解的要先进行因式分解,以便化简运算. 19.已知a、b是实数,且,问a、b之间有怎样的关系?请推导. 考点: 二次根式的化简求值。809590 专题: 证明题。 分析: 找每一个括号部分的有理化因式,两边相乘,得出两个等式,把两式相加即可. 解答: 解:a、b之间的关系是:a+b=0. 理由:原等式两边乘以(),得+b=, 原等式两边乘以(﹣b),得+a=﹣b, 两式相加,得a+b=﹣a﹣b, 故a+b=0. 点评: 本题考查了二次根式的化简求值的运用,关键点是每一个括号部分的有理化因式与它互为倒数. 20.(2002•内江)已知:(0<a<1),求代数式的值. 考点: 二次根式的化简求值。809590 分析: 由已知条件可得:∵,∴x=a++2,x﹣2=a+,(x﹣2)2=(a+)2即:x2﹣4x=a2+﹣2=(a﹣)2,化简原式,并代入求值,由a的取值范围确定式子的值. 解答: 解:∵, ∴x=a++2, x﹣2=a+,(x﹣2)2=(a+)2 即:x2﹣4x=a2+﹣2=(a﹣)2 ∴原式==(x﹣2)2﹣=(a+)2﹣, ∵0<a<1,∴a﹣<0, ∴原式= = =a2+2. 点评: 此题用了整体代入得数学思想,难度较大. 21.(1)设a、b、c、d为正实数,a<b,c<d,bc>ad,有一个三角形的三边长分别为,,,求此三角形的面积; (2)已知a,b均为正数,且a+b=2,求U=的最小值. 考点: 二次根式的应用。809590 专题: 计算题。 分析: (1)显然不能用面积公式求三角形面积,的几何意义是以a、c为直角边的直角三角形的斜边,从构造图形人手,将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决; (2)用代数的方法求U的最小值较繁,运用对称分析,借助图形求U的最小值. 解答: 解:如图1,作长方形ABCD,使AB=b﹣a,AD=c, 延长DA至E,使DE=d,延长DC至F,使DF=b,连接EF、FB, 则BF=,EF=,BE=, 从而可知△BEF就是题设的三角形; 而S△BEF=S正方形ABCD+S△BCF+S△ABE﹣S△CEF=(b﹣a)c+ac+(d﹣c)(b﹣a)﹣bd =(bc﹣ad); (2)将b=2﹣a代入U=中,得U=+, 构造图形(如图2), 可得U的最小值为A′B==. 点评: 本题考查了二次根式在计算图形面积,勾股定理中的运用.关键是根据题意,构造图形求解. 22.若a>0,b>0,且,求的值. 考点: 二次根式的化简求值。809590 专题: 计算题。 分析: 将已知条件变形,因式分解,得出a、b的关系,再代入所求式子化简即可. 解答: 解:由已知条件,得a﹣2﹣15b=0, 即(﹣5)(+3)=0, ∵a>0,b>0, ∴﹣5=0, 解得a=25b, ∴原式===2. 故答案为:2. 点评: 本题考查了二次根式的化简求值,解题时要遵循先化简后代入求值的原则. 23.已知,化简. 考点: 二次根式的性质与化简;绝对值;二次根式有意义的条件。809590 专题: 计算题。 分析: 根据绝对值的意义,确定x的取值范围,然后用二次根式的性质对代数式化简. 解答: 解:由绝对值的意义有:x≥0. 当0≤x≤1时,|1﹣|=|1﹣(1﹣x)|=x; 当x>1时,|1﹣|=|1﹣(x﹣1)|=|2﹣x|≠x; 所以:0≤x≤1. 原式=|x﹣|+|x+|, =x++|x﹣|=. 点评: 本题考查的是二次根式的性质,先根据绝对值的意义确定x的取值范围,然后用二次根式的性质对代数式计算. 24.某船在点O处测得一小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向,船向西航行20海里到达B处,测得电视塔在船的西北方向,问再向西航行多少海里,船离电视塔最近? 考点: 解直角三角形的应用。809590 专题: 几何动点问题。 分析: 过点A作出OB所在直线的垂线,那条垂线段就是最近的距离,设点B和垂足间的线段长为未知数,都表示出O到垂足间的线段列方程求解即可. 解答: 解:作AC⊥OB于点C, 设BC=x, ∵∠AOB=30°,∠ABC=45°, ∴AC=x,OA=2x, ∴OC==x, ∴x+20=x, 解得x=10+10. 答:再向西航行(10+10)海里,船离电视塔最近. 点评: 考查解直角三角形在实际生活中的应用,构造直角三角形是常用的辅助性方法;关键是用两种方法表示出OC的长度. 25.已知实数a、b满足条件|a﹣b|=<1,化简代数式(﹣),将结果表示成只含有字母a的形式. 考点: 二次根式的化简求值。809590 专题: 综合题。 分析: 由已知可得a﹣b﹣1=(a﹣b)﹣1<0,据此把代数式化简,又因为要将结果表示成只含有字母a的形式,根据 |a﹣b|=,分情况讨论,得出用a表示b的代数式,代入化简即可. 解答: 解:∵|a﹣b|=<1, ∴a、b同号,且a≠0,b≠0, ∴a﹣b﹣1=(a﹣b)﹣1<0, ∴(﹣)=(﹣)[1﹣(a﹣b)]=. ①若a、b同为正数,由<1,得a>b, ∴a﹣b=,a2﹣ab=b,解得b=, ∴(﹣)== =﹣•=﹣ =﹣; ②若a、b同为负数,由<1,得b>a, ∴a﹣b=﹣,a2﹣ab=﹣b,解得b=, ∴()== = =. 综上所述,当a、b同为正数时,原式的结果为﹣;当a、b同为负数时,原式的结果为. 点评: 此题考查二次根式的化简求值,利用了(a≥0)的性质,要充分利用已知条件,难度较大. 26.已知(a>0),化简:. 考点: 二次根式的化简求值。809590 专题: 计算题。 分析: 由(a>0),得:x+2=,x﹣2=,然后代入化简即可得出答案. 解答: 解:由(a>0),得: x+2=,x﹣2=, 原式=, =, 当a≥1时,原式=; 当0<a<1时,原式=a. 点评: 本题考查了二次根式的化简求值,难度适中,关键是先求出x+2=,x﹣2=,然后再代入化简. 27.已知自然数x、y、z满足等式,求x+y+z的值. 考点: 二次根式的化简求值。809590 专题: 计算题。 分析: 由已知自然数x、y、z满足等式⇒x﹣y﹣z=2﹣2,然后求出x,y,z的值即可得出答案. 解答: 解:由⇒=, 即x﹣y﹣z=2﹣2,∵x、y、z为自然数,∴左边为整数,右边也为整数,但为无理数, 只有左右两边都是零,或存在整数k(k≠0),使得2﹣2=k,只有k=0时才成立,从而, 解得:或者,故x+y+z=2(y+z)=14或10. 点评: 本题考查了二次根式的化简求值,难度较大,关键是根据已知条件正确解出x,y,z的值. - 13 -
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