八年级数学竞赛培训:二次根式的化简求值八年级数学竞赛培训:二次根式的化简求值
一、填空题(共8小题,每小题4分,满分32分)
1.(4分)已知,那么的值等于 _________ .
2.(4分)已知,那么= _________ .
3.(4分)已知,则= _________ .
4.(4分)代数式的最小值为 _________ .
5.(4分)已知:(x+)(y+)=2002,则x2﹣3xy﹣4y2﹣6x﹣6y+58= _________ .
6.(4分)已知,,那么代数式值为 _________ .
7.(4分)若a+=4,(0<a<1),则= _____...
八年级数学竞赛培训:二次根式的化简求值
一、填空题(共8小题,每小题4分,满分32分)
1.(4分)已知,那么的值等于 _________ .
2.(4分)已知,那么= _________ .
3.(4分)已知,则= _________ .
4.(4分)代数式的最小值为 _________ .
5.(4分)已知:(x+)(y+)=2002,则x2﹣3xy﹣4y2﹣6x﹣6y+58= _________ .
6.(4分)已知,,那么代数式值为 _________ .
7.(4分)若a+=4,(0<a<1),则= _________ .
8.(4分)已知a是的小数部分,那么代数式的值为 _________ .
二、选择题(共9小题,每小题5分,满分45分)
9.(5分)若,则的值是( )
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
10.(5分)已知实数a满足,那么a﹣20002的值是( )
A.
1999
B.
2000
C.
2001
D.
2002
11.(5分)设a=+,b=+,c=2,则a,b,c之间的大小关系是( )
A.
a>b>c
B.
a>c>b
C.
b>a>c
D.
c>b>a
12.(5分)设,则的值为( )
A.
B.
C.
D.
不能确定
13.(5分)如果,,|b3+c3|=b3﹣c3,那么a3b3﹣c3的值为( )
A.
2002
B.
2001
C.
1
D.
0
14.(5分)已知,,,那么a,b,c的大小关系是( )
A.
a<b<c
B.
b<a<c
C.
c<b<a
D.
c<a<b
15.(5分)当时,代数式(4x3﹣2005x﹣2001)2003的值是( )
A.
0
B.
﹣1
C.
1
D.
﹣22003
16.(5分)a,b,c为有理数,且等式成立,则2a+999b+1001c的值是( )
A.
1999
B.
2000
C.
2001
D.
不能确定
17.(5分)满足等式的正整数对的个数是( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
三、解答题(共10小题,满分0分)
18.(2001•武汉)已知,求的值.
19.已知a、b是实数,且,问a、b之间有怎样的关系?请推导.
20.(2002•内江)已知:(0<a<1),求代数式的值.
21.(1)设a、b、c、d为正实数,a<b,c<d,bc>ad,有一个三角形的三边长分别为,,,求此三角形的面积;
(2)已知a,b均为正数,且a+b=2,求U=的最小值.
22.若a>0,b>0,且,求的值.
23.已知,化简.
24.某船在点O处测得一小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向,船向西航行20海里到达B处,测得电视塔在船的西北方向,问再向西航行多少海里,船离电视塔最近?
25.已知实数a、b满足条件|a﹣b|=<1,化简代数式(﹣),将结果表示成只含有字母a的形式.
26.已知(a>0),化简:.
27.已知自然数x、y、z满足等式,求x+y+z的值.
参考答案与试题解析
一、填空题(共8小题,每小题4分,满分32分)
1.(4分)已知,那么的值等于 .
考点:
二次根式的化简求值。809590
专题:
计算题。
:
通过平方或分式的性质,把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示,然后再进行计算.
解答:
解:由,两边分别平方得:x+=2,
原式=﹣=﹣.
故答案为:﹣.
点评:
本题考查了二次根式的化简求值,难度不大,关键是把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示.
2.(4分)已知,那么= .
考点:
分式的化简求值;平方差公式;分式的加减法。809590
专题:
计算题。
分析:
题目算式比较多,经观察分母中含有公因式(x+2)(x﹣2),所以先通分化简后再代入求解.
解答:
解:=.
故答案为.
点评:
异分母分式相加减,先通分再加减,注意结果要化简,再代入值计算.
3.(4分)已知,则= .
考点:
二次根式的化简求值。809590
专题:
计算题。
分析:
先将式的左边分子有理化,求出a的值,然后代入即可得出答案.
解答:
解:将式的左边分子有理化,
=5,化简得=1,
两式相加得:,∴a=5,代入=
==﹣1.
故答案为:.
点评:
本题考查了二次根式的化简求值,难度不大,关键是对已知式d左边进行分子有理化.
4.(4分)代数式的最小值为 13 .
考点:
函数最值问题;轴对称-最短路线问题。809590
专题:
函数思想。
分析:
原问题转化为:求x轴上一点到(0,﹣2)以及(12,3)两点的和的最小值,显然两点间线段最短.
解答:
解:求代数式的最小值,
实际上就是求x轴上一点到(0,﹣2)以及(12,3)两点的和的最小值,
而两点间的距离是线段最短,所以,点到(0,﹣2)到点(12,3)的距离即为所求,
即=13.
故答案为:13.
点评:
本题主要考查了函数的最值问题、轴对称﹣﹣最短路线问题.解答此题的关键是根据代数式,将问题转化为:求x轴上一点到(0,﹣2)以及(12,3)两点的和的最小值,并且利用了“两点间线段最短”的
.
5.(4分)已知:(x+)(y+)=2002,则x2﹣3xy﹣4y2﹣6x﹣6y+58= 58 .
考点:
二次根式的化简求值。809590
专题:
计算题。
分析:
由(x+)(y+)=2002,得到等式右边为有理数,左边必为平方差公式,得到x=﹣y,再把原式变形为(x﹣4y)(x+y)﹣6(x+y)+58,即可得到原式的值.
解答:
解:∵(x+)(y+)=2002,
∴等式右边为有理数,左边必为平方差公式,
即x=﹣y,
原式=(x﹣4y)(x+y)﹣6(x+y)+58,
=58.
故答案为:58.
点评:
本题考查了二次根式的性质以及代数式的变形能力.
6.(4分)已知,,那么代数式值为 .
考点:
二次根式的化简求值。809590
专题:
计算题。
分析:
将x,y化简并代入代数式即可.
解答:
解:=,=.
原式=
=.
故答案为.
点评:
本题考查二次根式的化简求值,较为简单.
7.(4分)若a+=4,(0<a<1),则= ﹣ .
考点:
完全平方公式。809590
专题:
计算题。
分析:
根据完全平方公式的变形()2=a+﹣2求解.
解答:
解:∵0<a<1,
∴<0,
∵()2=a+﹣2=4﹣2=2,
∴=﹣.
故答案为:﹣.
点评:
本题主要考查完全平方公式,熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助.
8.(4分)已知a是的小数部分,那么代数式的值为 .
考点:
二次根式的化简求值;估算无理数的大小。809590
专题:
计算题。
分析:
由已知可得a=2﹣,把所求代数式经过分解因式、约分、通分化简,再代入计算即可.
解答:
解:∵4﹣,
即2<4﹣<3,
∴a=4﹣﹣2=2﹣,
∴,
=,
=,
=a﹣2,
=2﹣﹣2,
=﹣.
故答案为:﹣.
点评:
此题考查二次根式的化简求值,“a是的小数部分”的求法要掌握.
二、选择题(共9小题,每小题5分,满分45分)
9.(5分)若,则的值是( )
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
考点:
二次根式的化简求值。809590
专题:
计算题。
分析:
由已知x=+1,得x﹣=1,x﹣1=,两边平方得(x﹣1)2=3,即x2﹣2x+1=3,将所求式子变形,整体代入即可.
解答:
解:由已知,得(x﹣1)2=3,即x2﹣2x+1=3,
∴原式=x3﹣2x2+x﹣(x2﹣2x+1)+5
=x(x2﹣2x+1)﹣(x2﹣2x+1)+5
=3x﹣3+5
=3(x﹣)+5
=3×1+5=8.
故选D.
点评:
本题考查了二次根式的化简与求值,将已知条件变形,再整体代入是解题的关键,不化简,直接代入,运算很复杂.
10.(5分)已知实数a满足,那么a﹣20002的值是( )
A.
1999
B.
2000
C.
2001
D.
2002
考点:
二次根式有意义的条件;绝对值;无理方程。809590
专题:
计算题。
分析:
先根据二次根式有意义的条件求出a的取值范围,依此计算绝对值,从而求得a﹣20002的值.
解答:
解:∵a﹣2001≥0,
∴a≥2001,
则原式可化简为:a﹣2000+=a,
即:=2000,
∴a﹣2001=20002,
∴x﹣20002=2001.
故选C.
点评:
本题考查了二次根式有意义的条件和绝对值的性质.求出x的范围,对原式进行化简是解决本题的关键.
11.(5分)设a=+,b=+,c=2,则a,b,c之间的大小关系是( )
A.
a>b>c
B.
a>c>b
C.
b>a>c
D.
c>b>a
考点:
实数大小比较。809590
分析:
利用平
把三个数值平方后再比较大小即可.
解答:
解:∵a2=2000+2,b2=2000+2,c2=4004=2000+2×1002,
1003×997=1 000 000﹣9=999 991,1001×999=1 000 000﹣1=999 999,10022=1 004 004.
∴c>b>a.
故选D.
点评:
这里注意比较数的大小可以用平方法,两个正数,平方大的就大.此题也要求学生熟练运用完全平方公式和平方差公式.
12.(5分)设,则的值为( )
A.
B.
C.
D.
不能确定
考点:
二次根式的性质与化简。809590
专题:
计算题。
分析:
利用二次根式的性质对先进行通分化简,然后再代入进行求解.
解答:
解:=,∴x=+a﹣2
∴0<a<1
∴===,
故选B.
点评:
此题主要考查二次根式的性质和化简,计算时要仔细,解题的关键是要会通分化简找出完全平方式.
13.(5分)如果,,|b3+c3|=b3﹣c3,那么a3b3﹣c3的值为( )
A.
2002
B.
2001
C.
1
D.
0
考点:
二次根式的混合运算。809590
分析:
由公式(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab,先求ab的值,再利用排除法判断b3+c3的符号,进一步求出c的值,计算a3b3﹣c3的值.
解答:
解:由(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab,得(+2)﹣(﹣2)=4ab,
解得,ab=1,
又若b3+c3<0,则由|b3+c3|=b3﹣c3,解得b3=0,与ab=1矛盾,
故b3+c3≥0,
将|b3+c3|=b3﹣c3,去绝对值,解得c=0,
故a3b3﹣c3=a3b3=1.
故选C.
点评:
本题考查了乘法公式的灵活运用,分类讨论,排除法等数学思想,要求学生掌握.
14.(5分)已知,,,那么a,b,c的大小关系是( )
A.
a<b<c
B.
b<a<c
C.
c<b<a
D.
c<a<b
考点:
实数大小比较。809590
分析:
利用作差法比较a和b、b和c、a和c的大小,再比较a、b、c三者的大小.
解答:
解:∵a﹣b=﹣1﹣(2﹣)
=﹣(1+)
≈2.449﹣2.414>0,
∵a>b;
∵a﹣c=﹣1﹣(﹣2)=+1﹣≈2.414﹣2.449<0,
∴a<c;
于是b<a<c,
故选B.
点评:
此题主要考查了实数的大小的比较,其中比较两个实数的大小,可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等.
实数大小比较法则:
(1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数;
(2)两个负数,绝对值大的反而小.
15.(5分)当时,代数式(4x3﹣2005x﹣2001)2003的值是( )
A.
0
B.
﹣1
C.
1
D.
﹣22003
考点:
二次根式的化简求值。809590
专题:
常规题型;整体思想。
分析:
由已知可得,2x﹣1=,两边平方得4x2﹣4x=2001,整体代入计算即可.
解答:
解:∵,
∴2x﹣1=,
两边都平方得4x2﹣4x+1=2002,
即4x2﹣4x=2001,
∴4x3﹣2005x﹣2001=4x3﹣2005x﹣(4x2﹣4x)=4x3﹣4x2﹣2005x+4x=x(4x2﹣4x﹣2001)=0,
∴(4x3﹣2005x﹣2001)2003=0.
故选A.
点评:
此题考查二次根式的化简求值,充分利用已知条件是关键,还要注意整体思想的应用.
16.(5分)a,b,c为有理数,且等式成立,则2a+999b+1001c的值是( )
A.
1999
B.
2000
C.
2001
D.
不能确定
考点:
二次根式的性质与化简。809590
分析:
将已知等式右边化简,两边比较系数可知a、b、c的值,再计算式子的值.
解答:
解:∵==,
∴a+b+c=,
∴a=0,b=1,c=1,
2a+999b+1001c=2000.
故选B.
点评:
本题考查了二次根式的性质与化简,将复合二次根式化简并比较系数是解题的关键.
17.(5分)满足等式的正整数对的个数是( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
考点:
二次根式的混合运算;质数与合数。809590
专题:
计算题。
分析:
先将已知等式变形,(﹣)(++)=0,由++>0,则﹣=0,从而求得x,y的正整数对的个数.
解答:
解:由可得,
(﹣)(++)=0,
∵++>0,∴﹣=0,
∴,
故选B.
点评:
本题考查了二次根式的混合运算,以及质数和合数,是一道综合题难度较大.
三、解答题(共10小题,满分0分)
18.(2001•武汉)已知,求的值.
考点:
二次根式的化简求值;分式的化简求值。809590
分析:
可先根据所给的等式得到相应的x的值,再把后面的代数式进行化简,把x的值代入即可.
解答:
解:∵=,
∴(++1)x+3+3+3=x+2,
解得x=,
那么x+3=,
原式=÷
=×
=﹣
=+.
点评:
在计算过程中应先算小括号,再算除法,分子分母能进行因式分解的要先进行因式分解,以便化简运算.
19.已知a、b是实数,且,问a、b之间有怎样的关系?请推导.
考点:
二次根式的化简求值。809590
专题:
证明题。
分析:
找每一个括号部分的有理化因式,两边相乘,得出两个等式,把两式相加即可.
解答:
解:a、b之间的关系是:a+b=0.
理由:原等式两边乘以(),得+b=,
原等式两边乘以(﹣b),得+a=﹣b,
两式相加,得a+b=﹣a﹣b,
故a+b=0.
点评:
本题考查了二次根式的化简求值的运用,关键点是每一个括号部分的有理化因式与它互为倒数.
20.(2002•内江)已知:(0<a<1),求代数式的值.
考点:
二次根式的化简求值。809590
分析:
由已知条件可得:∵,∴x=a++2,x﹣2=a+,(x﹣2)2=(a+)2即:x2﹣4x=a2+﹣2=(a﹣)2,化简原式,并代入求值,由a的取值范围确定式子的值.
解答:
解:∵,
∴x=a++2,
x﹣2=a+,(x﹣2)2=(a+)2
即:x2﹣4x=a2+﹣2=(a﹣)2
∴原式==(x﹣2)2﹣=(a+)2﹣,
∵0<a<1,∴a﹣<0,
∴原式=
=
=a2+2.
点评:
此题用了整体代入得数学思想,难度较大.
21.(1)设a、b、c、d为正实数,a<b,c<d,bc>ad,有一个三角形的三边长分别为,,,求此三角形的面积;
(2)已知a,b均为正数,且a+b=2,求U=的最小值.
考点:
二次根式的应用。809590
专题:
计算题。
分析:
(1)显然不能用面积公式求三角形面积,的几何意义是以a、c为直角边的直角三角形的斜边,从构造图形人手,将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决;
(2)用代数的方法求U的最小值较繁,运用对称分析,借助图形求U的最小值.
解答:
解:如图1,作长方形ABCD,使AB=b﹣a,AD=c,
延长DA至E,使DE=d,延长DC至F,使DF=b,连接EF、FB,
则BF=,EF=,BE=,
从而可知△BEF就是题设的三角形;
而S△BEF=S正方形ABCD+S△BCF+S△ABE﹣S△CEF=(b﹣a)c+ac+(d﹣c)(b﹣a)﹣bd
=(bc﹣ad);
(2)将b=2﹣a代入U=中,得U=+,
构造图形(如图2),
可得U的最小值为A′B==.
点评:
本题考查了二次根式在计算图形面积,勾股定理中的运用.关键是根据题意,构造图形求解.
22.若a>0,b>0,且,求的值.
考点:
二次根式的化简求值。809590
专题:
计算题。
分析:
将已知条件变形,因式分解,得出a、b的关系,再代入所求式子化简即可.
解答:
解:由已知条件,得a﹣2﹣15b=0,
即(﹣5)(+3)=0,
∵a>0,b>0,
∴﹣5=0,
解得a=25b,
∴原式===2.
故答案为:2.
点评:
本题考查了二次根式的化简求值,解题时要遵循先化简后代入求值的原则.
23.已知,化简.
考点:
二次根式的性质与化简;绝对值;二次根式有意义的条件。809590
专题:
计算题。
分析:
根据绝对值的意义,确定x的取值范围,然后用二次根式的性质对代数式化简.
解答:
解:由绝对值的意义有:x≥0.
当0≤x≤1时,|1﹣|=|1﹣(1﹣x)|=x;
当x>1时,|1﹣|=|1﹣(x﹣1)|=|2﹣x|≠x;
所以:0≤x≤1.
原式=|x﹣|+|x+|,
=x++|x﹣|=.
点评:
本题考查的是二次根式的性质,先根据绝对值的意义确定x的取值范围,然后用二次根式的性质对代数式计算.
24.某船在点O处测得一小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向,船向西航行20海里到达B处,测得电视塔在船的西北方向,问再向西航行多少海里,船离电视塔最近?
考点:
解直角三角形的应用。809590
专题:
几何动点问题。
分析:
过点A作出OB所在直线的垂线,那条垂线段就是最近的距离,设点B和垂足间的线段长为未知数,都表示出O到垂足间的线段列方程求解即可.
解答:
解:作AC⊥OB于点C,
设BC=x,
∵∠AOB=30°,∠ABC=45°,
∴AC=x,OA=2x,
∴OC==x,
∴x+20=x,
解得x=10+10.
答:再向西航行(10+10)海里,船离电视塔最近.
点评:
考查解直角三角形在实际生活中的应用,构造直角三角形是常用的辅助性方法;关键是用两种方法表示出OC的长度.
25.已知实数a、b满足条件|a﹣b|=<1,化简代数式(﹣),将结果表示成只含有字母a的形式.
考点:
二次根式的化简求值。809590
专题:
综合题。
分析:
由已知可得a﹣b﹣1=(a﹣b)﹣1<0,据此把代数式化简,又因为要将结果表示成只含有字母a的形式,根据
|a﹣b|=,分情况讨论,得出用a表示b的代数式,代入化简即可.
解答:
解:∵|a﹣b|=<1,
∴a、b同号,且a≠0,b≠0,
∴a﹣b﹣1=(a﹣b)﹣1<0,
∴(﹣)=(﹣)[1﹣(a﹣b)]=.
①若a、b同为正数,由<1,得a>b,
∴a﹣b=,a2﹣ab=b,解得b=,
∴(﹣)==
=﹣•=﹣
=﹣;
②若a、b同为负数,由<1,得b>a,
∴a﹣b=﹣,a2﹣ab=﹣b,解得b=,
∴()==
=
=.
综上所述,当a、b同为正数时,原式的结果为﹣;当a、b同为负数时,原式的结果为.
点评:
此题考查二次根式的化简求值,利用了(a≥0)的性质,要充分利用已知条件,难度较大.
26.已知(a>0),化简:.
考点:
二次根式的化简求值。809590
专题:
计算题。
分析:
由(a>0),得:x+2=,x﹣2=,然后代入化简即可得出答案.
解答:
解:由(a>0),得:
x+2=,x﹣2=,
原式=,
=,
当a≥1时,原式=;
当0<a<1时,原式=a.
点评:
本题考查了二次根式的化简求值,难度适中,关键是先求出x+2=,x﹣2=,然后再代入化简.
27.已知自然数x、y、z满足等式,求x+y+z的值.
考点:
二次根式的化简求值。809590
专题:
计算题。
分析:
由已知自然数x、y、z满足等式⇒x﹣y﹣z=2﹣2,然后求出x,y,z的值即可得出答案.
解答:
解:由⇒=,
即x﹣y﹣z=2﹣2,∵x、y、z为自然数,∴左边为整数,右边也为整数,但为无理数,
只有左右两边都是零,或存在整数k(k≠0),使得2﹣2=k,只有k=0时才成立,从而,
解得:或者,故x+y+z=2(y+z)=14或10.
点评:
本题考查了二次根式的化简求值,难度较大,关键是根据已知条件正确解出x,y,z的值.
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