【doc】关于平方补数的几个均值公式
关于平方补数的几个均值公式
第24卷
第1期
哈尔滨师范大学自然科学
NATURALSCIENCESJOURNALOFHARBINNORMALUNIVERSITY
关于平方补数的几个均值公式术
王明军李海龙
(渭南师范学院)
【摘要】设/2为任一正整数,口(凡)为凡的平方补数.利用解析方法研究平方补
数的若干性质,进一步解决F.Smarandache教授提出的第27个问题,得到了几个有
趣的均值公式.
关键词:平方补数;数论函数;均值公式
1引言及结论
设凡为任一正整数,则凡可唯一的
示为凡= /
2
,其中/.t是正整数,是无平方因子数,令
口(n)表示n的平方补数,即a(n)就是使n成为 一
平方数的最小正整数k,则a(凡)=.如a(2) :2,口(3)=3,口(8)=2等.
在参考文献[1]中,E.Smarandache教授要 求我们研究数列{a(凡)f的性质.关于这一问题, 已有许多学者进行了初步的研究.如在参考文献 [2]中,王阳,张红莉用解析的方法研究了 ?的渐近性质.笔者主要目的是研究
函数
((k,口(凡))),d((k,口(/2)))以
及((k,a(凡)))的均值,并得到了几个有趣的渐 近公式.
定理1对任一实数>1,k为正整数, (k,a())表示k与a(凡)的最大公约数,d(凡)为 除数和函数,兀表示对所有整除k的素数P求 积,则有渐近公式
?d((尼,口(凡)))
收稿日期:2007—05—11
+渭南师范学院科研基金项目(07YKZ028) (1+)+0(
定理2对任一实数>1,k为正整数, (k,a(凡))表示k与a(凡)的最大公约数,(凡)为 除数和函数,H表示对所有整除k的素数P求 积,则有渐近公式
?((k,口(凡)))
(1+寿)+
定理3对任一实数>1,k为正整数, (,a(凡))表示k与a(凡)的最大公约数,(凡)为 Euler函数,兀表示对所有整除k的素数p求积, 则有渐近公式
?(((尼,a(/2)))
一(2一寿)+0扣
2定理的证明
2.1定理1的证明
令=,显然
20哈尔滨师范大学自然科学2008年 d(,?n是n阴1笙凼致,f是当ReS=>
1时,由Euler乘积公式有 ==
I=I
巳+墨!堡+
PP
+...)'
P
++
+...)
++川×
++
P
川
(?+1+1+1+…)(t++ 12,
++…
PP
ct+专,专
(+寿
因为))),J薹业
I<,>1为s的实部,根据Perron公式有一
1
=
厂+iTs+)}so0+急n2J6_f's… D(塑)
.H(2)min(1')+
D((?)min(,卉))
其中N为离最近的整数,当为半奇数时,取
?=一1
,IIII=f—NI,在上式中取s.=0,
b=2,
=丁
,()=,B()=?,贝4有一 1
d((,.')))= 1
fJ
~2+iT
,
(s){]【(1+
1
1
)s+D(
1[.2~iT
:(s)(1+)等
将积分限从s=2?7'移到s=1?iT
,考虑到
厂(s))I枞
I(1+
P1)}在s=l处有一个Dl十 简单极点,数为(+),即 c厂"+'坩++
~-iTl-iT)(s)×
l-I(1+1)5-ds—l
小
-I(1+-kT 容易估计
J(广坩坩+jf2扣)II(1+
寿,等×
'《J?汀)(1+)等)Ido-<<2pl'1
等,
-厂1扣)(1+净
J.I(2)等Id,《
所以可得
d((,.(n)))=H(1+p--~)+D(1).n?
这样就完成了定理1的证明.
2.2其他定理的证明 令)=薹)=
薹由Euler乘积公式有 ,=薹=
++
PP'
+...)
P
++
+...)
D
1期关于平方补数的几个均值公式
+
P
+
P
+
P
+..?)
(1++++...)
PPP
=
骣(,+1+1+1+…)(+
+++...) PP
{=l(.+pP+l.1
=
nplk
(1+P
1
)
)==(1+ +++
PPP孙.
=
(1+
/1
++
p
)
=
{=]【++c? +++
P
+..,
=
骣(?+1+1+1+…)氍(,++
+.)
PP
弭耵(.+pp-1)1
=
)(1+p-2
1
)?
然后对(S)(S)利用Perron公式,利用定理1
的证明方法便可证明定理2,定理3.
参考文献
[1]F.Smarandache.OnlyProblems,NotSolution[M].Chicago: XiquanPublishingHouse,1993.
[2]王阳,张红莉.平方补数的一个性质[J].延安大学(自
然科学版),2002.1:9—10.
[3]TomM.Aposto1.IntroductiontoAnalyticNumberTheory [M].NewYork:Spring—Verlag,1976.
[4]潘承洞,潘承彪.解析数论基础[M].北京:科学出版社,
oNSoMEMEANVALUEFoRMULAS
OFTHESQUARECOMPLEMENTS
WangMingjunL/Hailong
(WeinanTeachersCollege)
ABSTRACT
Letnbeapositiveinteger,口
(n)bethesuqarecomplementsofn.Byusingtheanalyticmethod.some propertiesofthesuqarecomplementsarestudied,andseveralinterestingmeanvalueformula
sagegiven.The
27一thquestionwhichprofessorF.Smarandachegeneratedinreference[1]issolved.
Keywords:Suqarecomplements;Numbertheoreticfunction;Meanvalueformulas
(责任编辑:李双臻)
n
=