2021届山东省实验中学高三第一次诊断考试（10月）数学试题解析

2021届山东省实验中学高三第一次诊断考试（10月）数学试题一、单选题1．已知全集．集合，，则阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．答案：C思路：先化简集合，根据图阴影表示集合，再进行集合运算．解：，，，由题得阴影部分表示集合，或所以，阴影部分表示的集合是．故选：C点评：本题主要考查维恩图，考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．已知函数（，且），则“”是“在上是增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：B思路：设，易知在上是增函数，然后利用复合函数的单调性，由解出的范围，再根据必要不充分条件的定义判断即可.解：设，则在上是增函数，又在上是增函数，则，所以，解得，即在上是增函数可得，所以是在上是增函数的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断以及复合函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3．公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”．《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说：“故折矩，勾广三，股修四，径隅五．”大意为“当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5”．以后人们就把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理．勾股数组是满足的正整数组．若在不超过10的正整数中，随机选取3个不同的数，则能组成勾股数组的概率是（）A．B．C．D．答案：C思路：在不超过10的正整数中，随机选取3个不同的数，共有种组合方法，能组成勾股数组的情况有2种情况，结合古典概型的概率公式，可求出答案.解：在不超过10的正整数中，随机选取3个不同的数，共有种组合方法，能组成勾股数组的情况有和，所以所求概率为.故选：C.点评：本题考查古典概型问题，考查排列组合的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.4．已知函数（e为自然对数的底数），若，，，则（）A．B．C．D．答案：D思路：先比较的大小关系，再根据单调性，比较函数值的大小，即可求解．解：因为，，，∴又在R上是单调递减函数，故．故选：D．点评：本题考查了指数幂和对数值的大小关系，以及指数函数的单调性，属于基础题．5．已知，，，，则（）A．B．C．D．答案：D思路：由角的变换可知，利用同角三角基本关系及两角差的余弦公式求解即可.解：解:,,,,,.故选：D点评：本题主要考查了角的变换，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于中档题.6．对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（，）是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．答案：A思路：是定义在上的“倒戈函数，即存在,满足，即有根，即可求出答案．解：是定义在上的“倒戈函数，存在满足，，，构造函数，，令，，在单调递增，在单调递减，所以取得最大值，或取得最小值，，，，故选：A．点评：本题考查的是指数函数的性质、函数的值域，新定义“倒戈函数”，正确理解新定义“倒戈函数”的含义，是解答的关键．7．已知，，记，则（）A．的最小值为B．的最小值为C．的最小值为D．的最小值为答案：D思路：设，，，，点在函数的图象上，点在直线上，则的最小值转化为函数的图象上的点与直线上点距离最小值的平方，利用导数求出切点坐标，再由点到直线的距离公式求解．求出的最小值为两直线平行时的距离，即可得到的最小值，并可求出此时对应的从而得解．解：解：设，，，，点在函数的图象上，点在直线上，的最小值转化为函数的图象上的点与直线上点距离最小值的平方．由，得，与直线平行的直线的斜率为．令，得，则切点坐标为，切点到直线的距离．即的最小值为．又过且与垂直的直线为，即，联立，解得，即当最小时，．故选：D．点评：本题考查函数的最值及其几何意义，考查数学转化思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于中档题．8．新高考方案规定，普通学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为、、、、五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（）A．获得A等级的人数减少了B．获得B等级的人数增加了1.5倍C．获得D等级的人数减少了一半D．获得E等级的人数相同答案：B思路：设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项.解：设年参加考试人，则年参加考试人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示： 年份 A B C D E 2016 2018 由图可知A,C,D选项错误，B选项正确，故本小题选B.点评：本小题主要考查图表分析，考查数据分析与处理能力，属于基础题.二、多选题9．已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则与所成的角和与所成的角相等答案：BCD思路：根据线、面的位置关系，逐一进行判断.解：选项A：若，则或，又，并不能得到这一结论，故选项A错误；选项B：若，则由线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理可得，故选项B正确；选项C：若，则有面面平行的性质定理可知，故选项C正确；选项D：若，则由线面角的定义和等角定理知，与所成的角和与所成的角相等，故选项D正确.故选：BCD.点评：本题考查了线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理，以及线面角的定义和等角定理等基础知识，需要对每个选项逐一进行判断，属于中档题.10．已知函数（），若将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则下列结论中不正确的是（）A．B．是图象的一个对称中心C．D．是图象的一条对称轴答案：ABC思路：由函数平移所得函数关于原点对称可求，进而知研究的函数性质即可知选项的正误.解：函数的图象向右平移个单位，即，由题意知：关于原点对称，，∴，而，故，∴，知：则为对称中心；；，则；故选：ABC点评：本题考查了三角函数的性质，根据图象平移后所得函数的中心对称性求参数值，进而确定函数解析式，结合三角函数的性质判断选项的正误.11．设函数若函数有三个零点，则实数可取的值可能是（）A．0B．C．D．1答案：BCD思路：将问题转化为与有三个不同的交点；在同一坐标系中画出与的图象，根据图象有三个交点可确定所求取值范围.解：解:函数有三个零点等价于与有三个不同的交点当时，，则所以在上单调递减，在上单调递增且，，从而可得图象如下图所示：通过图象可知，若与有三个不同的交点，则故选：BCD点评：本题考查根据函数零点个数求解参数取值范围的问题，关键是将问题转化为曲线和直线的交点个数问题，通过数形结合的方式求得结果，是中档题.12．已知边长为2的等边，点、分别是边、上的点，满足且（），将沿直线折到的位置，在翻折过程中，下列结论成立的是（）A．在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面B．存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面C．若，当二面角等于60°时，D．在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为答案：CD思路：假设结论成立，推出矛盾结论判断，，利用勾股定理计算判断，求出解析式，利用导数求出最大值判断．解：解：对于，连接，，，显然平面平面，若上存在点使得，则，显然与为相交直线，矛盾，故错误；对于，设中点，中点，由等边三角形性质可知，，若平面平面，则在底面上的射影为，于是，，与矛盾，故错误；对于，若，二面角等于，则，设在底面上的射影为，则，，，，，故正确；对于，EMBEDEquation.DSMT4，，，，显然在翻折过程中，当平面平面时，四棱锥的体积最大，故，，令可得，当时，，当时，，当时，取得最大值，故正确．故选：．点评：本题考查了线面平行的性质，考查棱锥的体积计算，属于中档题．三、填空题13．已知，则的值为______．答案：思路：根据三角函数的基本关系式和倍角公式，化简为“齐次式”，代入即可求解.解：因为，可得点评：本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及正弦与余弦的倍角公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的倍角公式和基本关系式，化简为“齐次式”求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.14．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的模率为，得0分的概率，（），已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为______．答案：思路：推导出，从而，利用基本不等式能求出的最小值．解：一位篮球运动员投篮一次得3分概率为，得2分概率为，得0分概率为，，他投篮一次得分的期望为2，，EMBEDEquation.DSMT4，当且仅当时取等号，EMBEDEquation.DSMT4的最小值为．故答案为：．点评：本题考查代数式的最小值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．已知定义在上的函数的周期为4，当时，，则______．答案：思路：根据函数的周期性以及对数值的有关运算，把所求转化到所给区间，即可求解．解：解：因为函数的周期为4，当，时，，；；；故答案为：．点评：本题主要考查函数函数周期性的应用以及对数值的运算，属于中档题．四、双空题16．的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______.答案：EMBEDEquation.DSMT4思路：求出二项展开式的通项，令指数为零，求出参数的值，代入可得出展开式中的常数项；求出项的系数，利用作商法可求出系数最大的项.解：的展开式的通项为，令，得，所以，展开式中的常数项为；令，令，即，解得，，，因此，展开式中系数最大的项为.故答案为：；.点评：本题考查二项展开式中常数项的求解，同时也考查了系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.五、解答题17．已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若，讨论函数的单调性．答案：（1）；（2）答案见解析.思路：（1）根据导数的几何意义得到，进而得到切线方程；（2）对函数求导，研究导函数的正负，得到函数的单调性.解：（1）当时，，，又，，所以曲线在处的切线方程为．（2）（），①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时，在和上单调递减，在上单调递增；③当时，在上单调递减；④当时，在和上单调递减，在上单调递增．点评：本题考查的是导数的几何意义，切线方程的求法；考查了导数在研究函数的单调性中的应用；一般在研究函数的单调性中，常见的方法有：图象法，通过图象得到函数的单调区间；通过研究函数的导函数的正负得到单调性．18．已知函数满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：①，②周期，③过点，④．（1）写出所满足的3个条件的序号（不需要说明理由），并求的解析式；（2）求函数的图象与直线相邻两个交点间的最短距离．答案：（1）②③④；；（2）．思路：（1）所满足的三个条件是：②③④，计算得到，，，解得，，得到解析式.（2）根据题意，故，或，，得到答案.解：（1）所满足的三个条件是：②③④，的周期，，，又过点，且，，，，，，，又，，又，，，．（2）由，得，，或，，，或，，所以函数的图象与直线相邻两个交点间的最短距离为．点评：本题考查了三角函数解析式，图像中的最短距离，意在考查学生的计算能力和应用能力.19．近年来，国资委，党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积（单位：亩） 1 2 3 4 5 管理时间（单位：月） 8 10 13 25 24并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 （1）求关于的线性回归方程．（计算结果保留两位小数）（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？参考公式：，，，其中．临界值表： （） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828答案：（1）；（2）有.思路：（1）根据公式依次求出，即可求出，进而求出，即得出线性回归方程；（2）根据公式计算出卡方值，和10.828比较即可得出结论.解：依题意：，，故，，则，关于的回归方程为：．（2）依题意，女性不愿意参与管理的人数为50人，计算得的观测值为故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．点评：本题考查线性回归方程的求法，考查计算卡方值进行独立性检验，属于基础题.20．如图四棱锥，底面是等腰梯形，，平分且，平面，平面与平面所成角为60°．（1）求证：．（2）求二面角的余弦值．答案：（1）证明见解析；（2）.思路：（1）根据平面，得,又，得平面，得证.（2）以为原点建立空间直角坐标系,求平面法向量，设，设平面法向量,根据平面与平面所成角为60°得到,可得平面和平面的法向量，利用向量公式可得结果.解：（1）证明：因为平面，所以．又因为，，所以平面，平面，所以．（2）证明：等腰梯形中，设．因为且平分，，，则，，所以，．，则中．以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．，，，，，平面法向量，设平面法向量为,，有，即，令，所以，，所以，平面法向量，,,平面法向量，，即，令，所以．，所以二面角的余弦值为．点评：本题考查利用线面垂直证明线线垂直,考查利用空间向量求二面角的夹角的余弦值,考查空间思维能力和转化能力,属于中档题.21．公元2020年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了尽快遏制住病毒的传播，我国科研人员，在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验.为了研究小白鼠连续接种疫苗后出现症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验.该试验的为：①对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；②连续接种三天为一个接种周期；③试验共进行3个周期.已知每只小白鼠接种后当天出现症状的概率均为，假设每次接种后当天是否出现症状与上次接种无关.（1）若某只小白鼠出现症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；（2）若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验.设一只小白鼠参加的接种周期为，求的分布列及数学期望.答案：（1）；（2）分布列见解析，.思路：（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出实验至多持续一个接种周期的概率；（2）设事件为“在一个接种周期内出现2次或3次症状”，分别求出，，，由此能求出的分布列和数学期望.解：（1）已知每只小白鼠接种后当天出现症状的概率均为，且每次试验间相互独立，所以，一只小白鼠第一天接种后当天出现症状的概率为在第二天接种后当天出现症状的概率为：能参加第三天试验但不能参加下一个接种同期的概率为：，∴一只小白鼠至多参加一个接种周期试验的概率为：；（2）设事件为“在一个接种周期内出现2次或3次症状”，则；随机变量可能的取值为1，2，3，则；所以的分布列为 1 2 3 随机变量的数学期望为：点评：本题考查（1）相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式（2）随机变量的分布列及数学期望，考查计算能力，属于中等题型.22．已知函数，．（1）求证：；（2）用表示，中的最大值，记，讨论函数零点的个数．答案：（1）证明见解析；（2）答案见解析.思路：(1）作差构造函数，用导数方法证明最小值大于等于0;(2）利用分类讨论思想和导数方法以及零点存在性定理可得．解：（1）设，其定义域为，．当时，；当时，．故在上是减函数，在上是增函数，所以是的极小值点，也是的最小值点，即，故成立．（2）函数的定义域为，，当时，；当时，；所以在上是减函数，在上是增函数，所以是的极小值点，也是的最小值点，即．（ⅰ）若，．当时，；当时，；当时，，所以此时，只有一个零点；（ⅱ）若，，当时，，则；当时，，，则．此时没有零点；（ⅲ）若，当时，根据（1）知，．而，所以，又，所以在上只有一个零点，从而一定存在，使得，即，即．当时，，所以，从而从而在上有一个零点，在上有一个零点1．此时，当时，有两个零点．综上，当时，有一个零点；当时，没有零点；当时，有两个零点．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的最值，零点，证明不等式，考查了分类讨论思想，属难题．PAGE第2页，总4=4页_283.unknown_411.unknown_539.unknown_603.unknown_667.unknown_699.unknown_715.unknown_731.unknown_739.unknown_747.unknown_751.unknown_755.unknown_757.unknown_759.unknown_760.unknown_758.unknown_756.unknown_753.unknown_754.unknown_752.unknown_749.unknown_750.unknown_748.unknown_743.unknown_745.unknown_746.unknown_744.unknown_741.unknown_742.unknown_740.unknown_735.unknown_737.unknown_738.unknown_736.unknown_733.unknown_734.unknown_732.unknown_723.unknown_727.unknown_729.unknown_730.unknown_728.unknown_725.unknown_726.unknown_724.unknown_719.unknown_721.unknown_722.unknown_720.unknown_717.unknown_718.unknown_716.unknown_707.unknown_711.unknown_713.unknown_714.unknown_712.unknown_709.unknown_710.unknown_708.unknown_703.unknown_705.unknown_706.unknown_704.unknown_701.unknown_702.unknown_700.unknown_683.unknown_691.unknown_695.unknown_697.unknown_698.unknown_696.unknown_693.unknown_694.unknown_692.unknown_687.unknown_689.unknown_690.unknown_688.unknown_685.unknown_686.unknown_684.unknown_675.unknown_679.unknown_681.unknown_682.unknown_680.unknown_677.unknown_678.unknown_676.unknown_671.unknown_673.unknown_674.unknown_672.unknown_669.unknown_670.unknown_668.unknown_635.unknown_651.unknown_659.unknown_663.unknown_665.unknown_666.unknown_664.unknown_661.unknown_662.unknown_660.unknown_655.unknown_657.unknown_658.unknown_656.unknown_653.unknown_654.unknown_652.unknown_643.unknown_647.unknown_649.unknown_650.unknown_648.unknown_645.unknown_646.unknown_644.unknown_639.unknown_641.unknown_642.unknown_640.unknown_637.unknown_638.unknown_636.unknown_619.unknown_627.unknown_631.unknown_633.unknown_634.unknown_632.unknown_629.unknown_630.unknown_628.unknown_623.unknown_625.unknown_626.unknown_624.unknown_621.unknown_622.unknown_620.unknown_611.unknown_615.unknown_617.unknown_618.unknown_616.unknown_613.unknown_614.unknown_612.unknown_607.unknown_609.unknown_610.unknown_608.unknown_605.unknown_606.unknown_604.unknown_571.unknown_587.unknown_595.unknown_599.unknown_601.unknown_602.unknown_600.unknown_597.unknown_598.unknown_596.unknown_591.unknown_593.unknown_594.unknown_592.unknown_589.unknown_590.unknown_588.unknown_579.unknown_583.unknown_585.unknown_586.unknown_584.unknown_581.unknown_582.unknown_580.unknown_575.unknown_577.unknown_578.unknown_576.unknown_573.unknown_574.unknown_572.unknown_555.unknown_563.unknown_567.unknown_569.unknown_570.unknown_568.unknown_565.unknown_566.unknown_564.unknown_559.unknown_561.unknown_562.unknown_560.unknown_557.unknown_558.unknown_556.unknown_547.unknown_551.unknown_553.unknown_554.unknown_552.unknown_549.unknown_550.unknown_548.unknown_543.unknown_545.unknown_546.unknown_544.unknown_541.unknown_542.unknown_540.unknown_475.unknown_507.unknown_523.unknown_531.unknown_535.unknown_537.unknown_538.unknown_536.unknown_533.unknown_534.unknown_532.unknown_527.unknown_529.unknown_530.unknown_528.unknown_525.unknown_526.unknown_524.unknown_515.unknown_519.unknown_521.unknown_522.unknown_520.unknown_517.unknown_518.unknown_516.unknown_511.unknown_513.unknown_514.unknown_512.unknown_509.unknown_510.unknown_508.unknown_491.unknown_499.unknown_503.unknown_505.unknown_506.unknown_504.unknown_501.unknown_502.unknown_500.unknown_495.unknown_497.unknown_498.unknown_496.unknown_493.unknown_494.unknown_492.unknown_483.unknown_487.unknown_489.unknown_490.unknown_488.unknown_485.unknown_486.unknown_484.unknown_479.unknown_481.unknown_482.unknown_480.unknown_477.unknown_478.unknown_476.unknown_443.unknown_459.unknown_467.unknown_471.unknown_473.unknown_474.unknown_472.unknown_469.unknown_470.unknown_468.unknown_463.unknown_465.unknown_466.unknown_464.unknown_461.unknown_462.unknown_460.unknown_451.unknown_455.unknown_457.unknown_458.unknown_456.unknown_453.unknown_454.unknown_452.unknown_447.unknown_449.unknown_450.unknown_448.unknown_445.unknown_446.unknown_444.unknown_427.unknown_435.unknown_439.unknown_441.unknown_442.unknown_440.unknown_437.unknown_438.unknown_436.unknown_431.unknown_433.unknown_434.unknown_432.unknown_429.unknown_430.unknown_428.unknown_419.unknown_423.unknown_425.unknown_426.unknown_424.unknown_421.unknown_422.unknown_420.unknown_415.unknown_417.unknown_418.unknown_416.unknown_413.unknown_414.unknown_412.unknown_347.unknown_379.unknown_395.unknown_403.unknown_407.unknown_409.unknown_410.unknown_408.unknown_405.unknown_406.unknown_404.unknown_399.unknown_401.unknown_402.unknown_400.unknown_397.unknown_398.unknown_396.unknown_387.unknown_391.unknown_393.unk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