反比例函数综合题关注反比例函数与一次函数的综合题
反比例函数是中考命题的主要考点,近几年中考试卷中出现了不少将反比例函数与其他函数、几何图形、方程(组)等综合编拟的解答题。其中,将反比例函数与其他函数综合命题是中考命题的新动向。
例1. 已知正比例函数
与反比例函数
的图象都过
,求此正比例函数的解析式及另一个交点的坐标。
分析:由A点坐标满足
可求得m值,再将A点坐标代入
可求得正比例函数解析式,联立方程组可求得另一交点坐标。
解:因
图象过
,即
,故
,即A(3,1)
将A(3,1)...
关注反比例函数与一次函数的综合题
反比例函数是中考命题的主要考点,近几年中考试卷中出现了不少将反比例函数与其他函数、几何图形、方程(组)等综合编拟的解答题。其中,将反比例函数与其他函数综合命题是中考命题的新动向。
例1. 已知正比例函数
与反比例函数
的图象都过
,求此正比例函数的解析式及另一个交点的坐标。
分析:由A点坐标满足
可求得m值,再将A点坐标代入
可求得正比例函数解析式,联立方程组可求得另一交点坐标。
解:因
图象过
,即
,故
,即A(3,1)
将A(3,1)代入
,得
所以正比例函数解析式为
联立方程组得
∴另一交点坐标为(
)
点评:解此类题时,一般是先构造方程或方程组再来解决问题。
例2. 如图1所示,一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB和双曲线。直线AB与双曲线的一个交点为C,CD垂直x轴于点D,
。求一次函数和反比例函数的解析式。
图1
分析:由已知三条线段之间的关系,可求得A、B、C三点的坐标,由此利用待定系数法求出函数解析式。
解:由已知
,得
设一次函数解析式为
点A、B在一次函数图象上
则一次函数解析式是
点C在一次函数图象上
当
时,y=1,即
设反比例函数解析式为
,点C在反比例函数图象上
则
,得
故反比例函数解析式是
点评:反比例函数和一次函数的综合题常涉及特殊线段、三角形面积等条件,这些几何图形的边长常常与某些点的坐标相关。这类题体现了在知识交汇处命题的特色。
例3. 如图2所示,反比例函数
的图象经过点
,过点A作AB垂直x轴于点B,△AOB的面积为
。
(1)求k和b的值;
(2)若一次函数
的图象经过点A,并且与x轴相交于点M,求AB:OM的值。
图2
分析:以面积为突破口,可求出A点纵坐标b和系数k,结合A点的双重特性(A点既在直线上,又在反比例函数图象上)求解相应问题。
解:(1)∵AB⊥BO,A点坐标为
(2)∵点A在直线
上
当y=0时,
所以M点的坐标为
点评:纵观近年来的中考试题,关于反比例函数的综合题大多是与一次函数相结合,做题时常利用交点的双重特性来构造方程(组)解决问题。
例4. 有一个Rt△ABC,∠A=90°,∠B=60°,
。将它放在直角坐标系中,使斜边BC在x轴上,直角顶点A在反比例函数
的图象上,求点C的坐标。
分析:通过画图可发现,点A的位置有2种情况(在第一象限的那支图象上或在第三象限的那支图象上),点B、C的位置也有2种情况(可能点B靠近原点,也可能点C靠近原点),解题时要注意利用反比例函数图象的对称性。
解:本题共有4种情况。
(1)如图3所示,过点A作AD⊥BC1于D
(2)如图4所示,过点A作AE⊥BC2于E,则仿(1)可求得
,
。
所以
根据双曲线的对称性,得点
的坐标为
所以点C的坐标分别为:
图4
点评:根据题意,进行分类,是解决本题的突破口。此题涉及与反比例函数相关的许多问题,能较好地展示学生的思维过程和思维个性,考查学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力,具有较好的选拔功能。
练一练:
如图5所示,反比例函数
与一次函数
的图象交于A、B两点。
(1)求A、B两点的坐标;(2)求△AOB的面积。
:
(1)
(2)
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