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命题逻辑中真值树的使用方法及其作用(王元汉)

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命题逻辑中真值树的使用方法及其作用(王元汉)湖北师范学院学报一九九年第一期命题逻辑中真值树的使用方法及其作用王元汉自从美国逻辑学家皮尔士一创立了真值表一以后,它已成为研究命题逻辑的必不可少的工具。但如果命题变项太多,真值表使用起来就十分麻烦。于是人们寻求了一些简化真值表的方法,其中主要有归谬赋值法和真值树一方法。归谬赋值法在国内已有不少逻辑教材介绍,人们较为熟悉。这种方法虽然较为简便,但它只能实施于蕴涵式,对真值表的许多其它作用还不能完全表示出来,诸如两个命题是否真值相等、一个命题集是否真值函项一致、一判定公式是否为矛盾式等,用归谬赋值法就无法检验。真值树方法刚兴起不久...
命题逻辑中真值树的使用方法及其作用(王元汉)
湖北师范学院学报一九九年第一期命题逻辑中真值树的使用方法及其作用王元汉自从美国逻辑学家皮尔士一创立了真值表一以后,它已成为研究命题逻辑的必不可少的工具。但如果命题变项太多,真值表使用起来就十分麻烦。于是人们寻求了一些简化真值表的方法,其中主要有归谬赋值法和真值树一方法。归谬赋值法在国内已有不少逻辑教材介绍,人们较为熟悉。这种方法虽然较为简便,但它只能实施于蕴涵式,对真值表的许多其它作用还不能完全表示出来,诸如两个命题是否真值相等、一个命题集是否真值函项一致、一判定公式是否为矛盾式等,用归谬赋值法就无法检验。真值树方法刚兴起不久,国内还较少介绍,许多人对之不太熟悉。这种方法不仅具有真值表的作用,而且在谓词逻辑中不能使用真值表而能使用真值树。所以,了解并掌握真值树的方法,对我们从事逻辑研究将会有很大的帮助。本文拟就真值树在命题逻辑中的使用方法及其作用作点粗浅介绍。宾值树的使用方法真值树方法就是将一命题公式分解成只含有命题原子变项或原子变项的否定,构成一个树状结构的方法。命题逻辑中只有‘”、“八”、“”、“,”、“一”五个联结词,除,’”位于原子变项之前外,其它由这五个联结词构成的各种命题都必须将之进行分解,消除这五个联结词。首先,我们构造一些由这五个联结词构成的较为简单的命题的真值树,这是构造复杂命题真值树的基础。、“八”的真值树“八”是一简单合取式。一合取式为真当且仅当该合取式的所有合取肢为真,因之,“八”的真值树可以构造成八斌合取式的真值树的构造方法就是先消去合取联结词即将合取式进行分解,然后将被分解的合取式的合取肢成纵行排列在合取式之下,这表示合取肢是在同一树枝上。它直观地说明,与同为真时,八才为真。“八”后面的符号“侧”表示该命题已被分解完毕。该方法称为合取消去,记作八,。、“”的真值树“”是一简单析取式。一析取式为真,只要该析取式的析取肢有一个为真,故“”的真值树可以构造成〔一之该树的构造方法是先消去析取联结词“”,然后将析取肢成横行排列在析取式下面的同一线仁,该式分解后产生了两个树枝一析取式有几个析取肢,该析取式的真值树就有几个树枝。它说明,只要和中有一个是真的,“”就是真的。这种方法称为析取消去规则,记作“”。、“”的真谊树“””是一简单蕴涵式。一蕴涵式为真当且仅当该蕴涵式的前件为假或者后件为真。这样,“一卜”的真值树就是了鲜门该树的构造方法是先消去联结词“、”,然后将的否定假和成横行排列在“,”下面的同一线上,产生两个树枝,说明只要是假的或者是真的,“”就是真的。该方法称作蕴涵消去规则,记作,’,”。、“一”的真值树“一”是一简革等值或称双向蕴涵式。因与是等值的,故当“一’为真时,必须是、同为真或、同为假。因此,“一”的真值树可以构造成《叫训了人一一飞该树的作法是在消去联结“一”之后,将和成一纵行排列,二者在同一枝上,表示二者同为真将和也成一纵行排列,二者也在同一枝上,表示、同为假。最后将排列成纵行的与、一与门成横行排列,产生两个树枝。这就表示出当和都为真或和都为假时,“一”为真。这种方法你为双向蕴涵或等值消去规则月〔〕,记作“一,。、“一”的真值树“二”是一双重否定命题。若气一”为真,则根据双重否定规则“”为真。故“一”的真值树为门刁了该树的作法是光消去“”联结词,然后将排列在一一之下,产生一个树枝。该方法称作双否消去,,规则,记作呜刃”。、八的真值树该式是一合取的否定式。一合取式是假的,只要合取肢中有一个为假。故一合取的否定式的真值树就相应地是一析取式的真值树门八侧门该方法称为合取否定消去,规则,记作‘八,。、门的真值树是一析取的否定式。一析取式是假的,当且仅当所有析取肢为假。这样,一析取的否定式的真值树就相应地是一合取式的真值树一训门门该方法叫做析取否定消去规则记作”。、门的真值树门”是一蕴涵否定式,一蕴涵式是假协,当且仅当该蕴涵式的前件为真而后件为假。所以,二的真值树是、刁,侧门该方法称作蕴涵否定消去七规则,记作门,”。、气一的真值树门喊》是一双向蕴涵否定式。该等值式为假,当且仅当真而假,或者假而真。故二圣的真值树可以构造成门一勺侧门月该方法可以称为等值蕴涵否定消去规则,记作“门咬”。以上是一些较简单的也是最基本的命题的真值树作法,也可以称之为真值树的规则。按照这九条规则,可以给任何一个复杂的命题公式作真值树。一棵真值树,如果在一枝上同时出现了一命题变项及其否定,我们就称之为封闭枝,否则称之为开枝如果一棵树上的所有枝都是封闭的,我们就称该树为完全真值树一,若有一枝没有封闭,则该树是一不完全真值树一,如下例例门、亿门,了门门一一亿卜六次么氛仪例、、、、门门八门,勺︸怂八七一例有两个树枝,门一门一为一枝,门一门一为一枝,这两个枝上都同时出现了一个命题变项及其否定即第行的与第行的门第行的与第行的气,故这两个枝都是封闭的,该树是一棵完全真值树。该树上、下面的符号“”表示该树枝是封闭的,“”下的数字表示与之封闭的相应行数。例五也有两个树枝,即一门一和一门一一门。但只有一枝是封闭的,故该树是一不完全真值树。在多个命题公式同时出现的时候,先分解哪一个命题并无定法。如例工,在分解了合取式、八勺后又产生了两个命题,即析取式“”和合取式“门八勺”。对这两个命题我们是先分解的合取式,再分解的析取式。当然我们也可以先分解析取式,再分解合取式。但要注意,若先分解析取式,就会产生多个树枝,再分解合取式时,就必须在已产生的所有树枝上对合取式进行分解。按照这个方法,例的真值树就是,八,侧二八门八八勺八、左占口左且二,白〕生一真值树的作用门一八一、真值树能显示出一复合命题为真时的各种命题变项的真值指派情况一复合命题的真假是由组成该复合命题的命题变项的真假决定的。真值树方法恰好是将一复合命题分解成其命题变项,通过真值树,‘我们能直观地看出该命题为真时的各命题变项的真值指派一情况。例如,通过构造命题八‘八的真值树,我们能看出该命题在其命题变项取什么值时为真。八八门八门门八八从树上可以看出,八,八为真,当且仅当假,或假,或真,或与都真。亦即,当取假值,或取假值,或取真值,或和都取真值时,其它命题变项不管取什么值,该命题都是真的。二、真值树能检验一命题是否为一矛盾式一命题公式是矛盾的,当且仅当无论该命题的命题变项取什么真值,该命题都是假的。很显然,一矛盾式的真值树是一完全真值树,因为一完全真值树的所有树枝都是封闭的,这样,对命题变项来说,就没有一个真值指派能使该命题为真。例如前面所举的例工,它是一完全真值树,故命题八勺八门不管其命题变项即、取什么真值,它都是假的,所以,它是一矛盾式。例亚是一不完全真值树,故命题冲马八八二不是一矛盾式。从树上可以看出,当命题变项取真值、取假值、取真值时,该命题为真。三、真值树能检验一命题是否为重言式一命题是重言式,当且仅当无论该命题的命题变项取什么真值,它都是真的。反过来说,若一命题是重言式,则该命题的否定式就是一矛盾式。因此,我们在检验一命题是否为重言式时,可以首先将该命题改变成其否定式,然后再对该命题的否定式构造真值树。如果构造出的真值树是一完全真值树,则说明该命题的否定式是一矛盾式,而该命题则是一重言式,如果构造出的真值树是不完全的,则该命题不是重言式。例用真值树检验,是否为重言式。按上述方法,先列出该命题的否定式,即,,,、,然后按规则,构造出的该否定式的真值树为、刁””””侧、,了刁,、门‘侧〕,、刁、门门、、门”了、又、一刁、一一命题,、,的真值树是一完全真值树,故它是一矛盾式,无论其命题变项取什么真值它都为假。这也就说明了无论其命题变项取什么真值,命题。、、都是真的,所以,被检验的命题是重言式。例砰用真值树检验一,八,、、是否为重言式。按照例的方法,该命题的否定式的真值树是门”八,,,侧、八、侧门训今侧净训门、门‘八八门”门,门门,,从趴欲叭爪队八’一该树只有一枝是封闭的,其它三个枝都没有封闭,它是一不完全真值树,故命题,八‘,不是重言式。从树上可以看出,当假、假、真,或假、真,或假、真、真时,命题八,,是假的。四、真值树能检验两个命题是否真值相等有些命题虽然其表达形式不一样,但它们可能有相同的真值函项,即它们真值相等。人们在检验两个命题是否真值相等时,通常使用的方法是真值表或优范式,但若命题变项太多,这两种方法使用起来都十分不便。如果使用真值树来检验则简便得多。在用真值树检验的过程中,我们事先假定被检验的两个命题是等值的,并用等值符“一”将两个命题联结起来,从而构成一个等值式,然后用真值树来检验这个等值式是否成立。由两个命题构成的等值式成立,当且仅当该等值式是一重言式。这样,当我们用真值树检验两个命题是杏等值时,实际上就是在用真值树检验由这两个命题构成的等值式是否为一重言式。在构造真值树时,我们再假设该等值式为假,即将该等值式改变成其否定式,然后对其否定式构造真值树,如果构造出的真值树是一完全真值树,则说明“假设该等值式为假”不成立,这就从反面证明了该等值式为真是成立的,因此被检验的两个命题具有相等的真值若构造出的真值树是不完全的,则说明“假设该等值式为假”是成立的,那么,被检验的两个命题真值不等。例用真值树检验八,与今今是否真值相等。按上述方法,构造出的真值树为、门八、八、侧,、侧门八”训门”,侧,,侧巧峭共争〕咬一门门。门、门‘,、了二八了门一了、,今白口月性一﹄口呻才内找︸又一,门八八训门门,一,、一一该树的所有枝都是封闭的,该真值树是完全的,这说明,所有命题变项的任何真值指派都使得卜八一””为假,这也就是说,所有命题变项的任何真值指派都使得“八,一,,,为真,故“八”一,‘”是一重言式,这说明命题“八””与“”一,”真值相等。例用真值树检验“丫”与“”是否真值相等。按例的方法,构造出的真值树是一侧亿门训门亿侧门亿门门勺】一一刁门门喊争门峨一门,门,门门叭爪氏入乐、丫侧一一该树有一枝没有封闭,它是一不完全真值树。这说明命题变项存在有真值指派使得公式“,一”为真亦即使公式,’一”为假,从树上可以看出,这个真值指派是假、假、真。所以,命题“”与“”真值不等。五、真值树能检验一个有限的命题集是否真值函项一致一个由有限多个命题组成的集合是真值函项一致的,当且仅当对该命题集中的所有命题变项存在有真值指派能使其命题集中的所有命题同时为真。如果不存这样一个真值指派,则该命题集真值函项是不一致的,而是矛盾的。我们可以通过给一个命题集构造真值树来检验该命题集是否真值函项一致。一个有限的命题集是真值函项一致的,当且仅当该命题集构成的真值树是不完全的即至少有一枝没有封闭一个有限的命题集是真值函项不一致的,当且仅当由该命题集构成的真树是完全的即所有枝都是封闭的。例孤用真值树检验命题集笼”八,,一是否真值函项一致。在构造一个命题集的真值树时,先成纵行列出所有的命题,然后再使用上述九条规则分解每一个命题,构造其真值树。、八门了,侧、,上,自今曰、、、岭钾门训,二,门,一门、识峨‘今咬今,,、一上面的真值树尽管只是由两个命题构成的,命题“冲八,”没有分解,但所构造出的真值树却是完全的。树七所有枝都已封闭,这已能说明该命题集不一致,因为命题“,”与“峭卜”相矛盾,无论另一个命题“‘八,”取什么真值,该命题集都是矛盾的。在此,我们是先构造的命题和命题的真值树,当然我们构造真值树时,也可以先从命题着手、,八勺亿、门侧、心,门丫、,八,侧,、,,,、门,,、,几叫卜》、门门,,门,了呼争一一、、,八、,,一一该真值树比前一个复杂一些,但它同样是一完全真值树。例租用真值树检验命题集门八八,八是否真值函项一致。该命题集的真值树是、门八八侧、八了、门八亿、亿八弓、八、八、门八、八、丫一该树有一枝没有封闭,故它是一不完全真值树,这说明该命题集真值函项一致,即该命题的命题变项存在着真值指派使该命题集中的所有命题同时为真。从树上可以看出,这个真值指派是真、假、真。六、真值树能检验一个推理是否有效命题逻辑中的任何一个推理都能转换成一个以前提的合取为前件、结论为后件的蕴肠式。一个有效的推理,由其构成的蕴涵式必须是一重言式,而该蕴涵式的否定式当然就是一矛盾式了。所以,在用真值树检验一个推理是否有效时,我们可以将其推理转换成蕴涵式,然后对该蕴涵式的否定式构造真值树。如果构造出的真值树是完全的,则说明该蕴涵式是重言式,其推理有效如果构造出的真值树是不完全的,则该蕴涵式不是重言式,其推理无效。例工用真值树方法检验下列推理是否有效。门八门”门峨争门八按上述方法,首先将该推理转换成蕴涵式为二八,八,,、、八‘八,然后对该蕴涵式的否定式构造真值树、二二八门八”一。八、八侧刁八门八”刁,门八侧八侧八门侧门,门侧,勺门。刁”八八八八八”门了,‘,挤,、、、曰八‘住尸匕呀了心门一,一,女一门二、、沙乃门门玉王、门门门八、︸,‘工‘,上,胜一一这个真值树是不完全的。从树上可以看出,当真、假、假、假时,二八八‘门,一”门八‘叭是真的,亦即妇八门八‘门八八是假的,故该蕴涵式不是重言式,我们所检验的推理无效。例用真值树检验下列推理是否有效刁一‘八门按例的方法,构造其真值树为门〕卜”八八门”、门刀门八八门侧门嚼订八门训门、二月产门门侧一门门门,门一卜八八八八,、,上白。孟一匕内行‘、门门,,、、︵︸越上,一该真值树是完全的。因此,二勺丫门八八二‘是一矛盾式,这说明铸一八八净是重言式,故我们检验的推理有效。本文在写作中,曾参阅,五生‘,。免费查重:http://free.paperyy.com3亿免费文献下载:http://www.ixueshu.com超值论文自动降重:http://www.paperyy.com/reduce_repetition免费模版下载:http://ppt.ixueshu.com-------------------------------------------------------------------------------阅读此文的还阅读了:1.科学使用调味品的研究2.谈谈农村中学教学仪器的管理和使库3.缩节胺在农作物上的应用4.水刺托网的使用和国产化5.让学生快速掌握使用显微镜的方法6.教材的作用、选用与使用7.如何撰写肥料发明专利申请文件第十二讲肥料生产方法与使用方法申请文件的撰写8.翻转双向犁的使用与调整方法9.使用注射用醋酸奥曲肽微球的护理体会10.小巧实用的健身球11.判断文件夹的内容大小12.如何清洗羽绒服13.多媒体让语文教学有峰可攀14.试论路况管理系统的开发使用与作用15.光电式传感器代用霍尔式传感器16.浅谈我国食品添加剂17.高中生物课堂的效益教学18.降低螺杆钻具使用费用的有效方法19.浅析大学英语中的修辞手法20.功夫茶趣话21.试论如何让学生学好高一英语中被动语态语法知识22.浅谈使用L波段雷达探测系统的几点经验23.养殖场常用消毒剂使用方法及注意事项24.农户选购和使用猪浓缩饲料的正确方法25.湖南省新复配农药及其应用技术(九)26.延长电刀柄使用寿命的小方法27.不间断电源UPS的选购和使用维护28.高中生如何建立英语错题集29.名词前加冠词的特殊用法30.还可以这样编写和使用31.润版液的作用与使用32.防止爆炸钩埋饵的方法33.离心泵的使用及延长使用寿命的方法34.废弃输液器改制成一次性灌肠器的方法及使用35.中国民族史研究中对西方文化形态史观的借鉴36.中国民族史研究中对西方文化形态史观的借鉴37.SPORTDiscus运动科学全文数据库应用探析38.葡萄优果剂和葡萄膨大剂新技术简介39.命题逻辑中真值树的使用方法及其作用40.谈汽车喇叭的作用与使用41.给剪贴板打上记忆补丁42.节拍器在钢琴学习中的作用43.葡萄优果剂与膨大剂的使用44.SC-69-02型水分测定天平的正确使用45.计算机使用安全的解决的探索46.用于浆纸厂的合成润滑剂47.对于农机设备的使用和保养方法的探讨48.飞钩钓鲢49.模拟式万用表使用要领50.论排球比赛中的"自由人"
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