安徽省六安市舒城中学2021届高三下学期仿真模拟(二)理科数学试题解析

舒城中学2021届高三仿真试卷（二）理数时间：120分钟满分：150分注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数在复平面内对应的点分别为，，且为纯虚数，则实数（）A.6B.C.D.-6答案：A先利用复数的几何意义求出复数,再利用复数的乘法运算以及纯虚数的定义求解a即可.解：因为复数在复平面内对应的点分别为，，所以，故，因为为纯虚数，所以且解得，故选：A2.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.答案：D求出集合、，利用交集的定义可求得集合.解：，，因此，.故选：D.3.已知：，；：，，则真命题是（）A.B.C.D.答案：C举例说明全称命题为假命题，存在命题为真命题．由复合命题的真值判断．解：时，，所以为假命题，时，，所以为真命题，∴为真命题，故选：C.点评：方法点睛：本题考查由命题的真假求参数，考查复合命题的真假判断．掌握复合命题的真值表是解题关键．复合命题的真值表：真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真4.已知平面向量，，且，则（）A.B.C.D.答案：A计算出的值，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，计算出的值，由此可得出的值.解：由已知条件可得，，可得，因为，因此，.故选：A.5.已知抛物线，过点作抛物线的切线、，切点分别为、，则、两点到轴距离之和的最小值为（）A.3B.C.D.答案：B由题意得到切线、的方程，联立求得点坐标，结合已知，即可的，设直线为联立抛物线方程可求，即可求、两点到轴距离之和的最小值.解：设，由抛物线知：，∴切线、分别为：，，联立、的方程，可得：，而，∴，若设直线为，联立抛物线方程得：，∴，即，而，∴，故当时有最小值，故选：B点评：本题考查了抛物线，利用准线上的动点与抛物线的切线的关系求得切点横坐标的数量关系，由切点到横轴的距离为切点纵坐标之和，结合已知方程所得式求最值.6.设，，，则a，b，c的大小顺序为（）A.B.C.D.答案：A先通过变形，而，故可判断大小，再作差利用基本不等式有即可得解.解：由，，所以，所以，故选：A.点评：本题考查了对数函数的比较大小，对数函数的比较大小是高考中重点考查对象，考查了利用中间量以及作差法比较大小，考查了变形转化以及对数的运算能力，比较大小有以下几种方法：（1）利用函数单调性比较大小；（2）中间量法比较大小；（3）作差法、作商法比较大小.7.甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击10次，中靶环数情况如图所示．则甲、乙两人中靶环数的方差分别为（）A.7，7B.1.2，7C.2.3，1.1D.5.4，1.2答案：D由图写出甲乙的射击数据，求均值，再根据方差公式求甲、乙的方差即可.解：由图知：甲射击数据为，乙射击数据为，∴甲的均值为，乙的均值为，∴由知：甲的方差为，乙的方差为.故选：D.8.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八中校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（）A.B.C.D.答案：B设正四棱锥的底边为，侧面的等腰三角形的高为，内切球的半径为，建立它们之间的比值关系即可求解解：由于正四棱锥：底面是正方形，侧面为4个全等的等腰三角形，设正四棱锥的底边为，底面积为，所以，该正四棱锥的侧面积为，设该四棱锥的侧面的等腰三角形的高为，则有，所以，，设内切球的半径为，则如图，与相似，有，所以，，由于，化简得，，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为故选：B点评：关键点睛：解题关键在于利用三角形的相似关系，求出内切球的半径与底面正方形的边长关系，属于中档题9.函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法不正确的是（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.在区间上单调递增D.的图象关于点对称答案：C将函数转化为，再由平移变换得到，然后逐项判断.解：因为．其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．所以的最小正周期为，故A正确；当时，，所以的图象关于直线对称，故B正确；当时，，所以在间上不单调，故C错误；当时，，所以函数的图象关于点对称，故D正确．故选：C10.意大利数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即、、、、、、、、、、、、、，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用.已知斐波那契数列满足：，，，若，则（）A.B.C.D.答案：D利用化简得出，即可得出结果.解：由于，则，因此，.故选：D.11.已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共交点，且，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为A.B.C.2D.答案：A设椭圆方程为，双曲线方程为，焦距为由椭圆和双曲线的定义，不妨设在第一象限，求出为焦点），在中利用余弦定理，求出关系，进而得出椭圆与双曲线的离心率关系，利用三角换元，结合正弦函数的有界性，即可求解.解：设椭圆方程为，双曲线方程为，左右焦点分别为不妨设在第一象限，，得，在中，，即，设椭圆和双曲线的离心率分别为，设，取，，当时，取得最大值为.故选:A.点评：本题考查椭圆与双曲线的定义和性质，利用余弦定理和三角换元是解题的关键，属于较难题.12.在和中，，若“”是“和全等”的充分条件，则常数不可以是（）A.1B.2C.3D.4答案：C利用正弦定理，结合充分条件的定义逐一选项判断即可.解：在中，由正弦定理可知：，A：当时，，因为，所以，因此有唯一解，故当时，“”是“和全等”的充分条件；B：当时，，因为，所以，因此有唯一解，故当时，“”是“和全等”的充分条件；C：当时，，因为，所以，因此有二组解，故当时，“”不是“和全等”的充分条件；D：当时，，，故当时，“”是“和全等”的充分条件；故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为，则的最小值为________．答案：由题设知，根据目标式，结合基本不等式“1”代换求最小值即可(注意等号成立的条件).解：由题设知：，可得，∴，当且仅当时等号成立.故答案为：.14.以抛物线焦点为端点的一条射线交抛物线于点，交轴于点，若，，则________.答案：3设，根据，求出，再根据抛物线的定义得，将代入可求出结果.解：依题意可得，设，则，因为，，所以，所以，又，所以，所以，所以，解得，所以.故答案为：315.A，B，C，D四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是（个人不投自己的票），则仅A一人是最高得票者的概率为________．答案：根据的票数为分类讨论，再根据互斥事件的概率加法公式即可求出．解：若仅A一人是最高得票者，则的票数为．若的票数为，则；若的票数为，则三人中有两人投给，剩下的一人与不能投同一个人，；所以仅A一人是最高得票者的概率为．故答案为：．点评：本题解题关键是根据得票数进行分类讨论，当的票数为时，容易求出，当的票数为时，要考虑如何体现的票数最高，分析出四人投票情况，是解题的难点，不妨先考虑投给，则投给（），就投给或（或），即可容易解出．16.托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线，，，，则四边形的面积为_____．答案：9．在中设，利用余弦定理求得BD，再运用托勒密定理，求得，再结合圆的性质得到，然后利用三角形面积公式，由求解．解：在中，设，由余弦定理得：，所以，由托勒密定理可得，即，又，所以四边形的面积．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在数列中，，．（1）证明：数列是等比数列；（2）设，记数列的前项和为，求．答案：（1）证明见解析；（2）.（1）由得，再结合等比数列的定义即可证明；（2）先根据（1）求出，进而得，根据为偶数和奇数相邻两项的情况，结合裂项相消法求可求和.解：（1）证明：因为，所以，所以，又，所以．故数列是以12为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1）可得，即，则，点评：关键点睛：本题考查利用递推关系证明等比数列，裂项相消法求和，解答本题的关键是由条件得出，根据为偶数和奇数相邻两项的情况，利用裂项相消法求和，属于中档题.18.2020年12月16日至18日，中央经济工作会议在北京召开．会议指出，近期社会上对于房屋租赁市场的一些乱象讨论颇多，此次会议也明确提出，要降低租赁住房税费负担，整顿租赁市场秩序，规范市场行为，对租金水平进行合理调控．为了解居民对降低租赁住房税费的态度，某社区居委会随机抽取了500名社区居民参与问卷调查，并将问卷情况统计如下表：认为对租赁住房影响大认为对租赁住房影响不大年龄在40岁以上125150年龄在40岁以下75150（1）判断是否有99%的把握认为居民对降低租赁住房税费的态度与年龄有关?（2）从“认为对租赁住房影响大”的居民中，按照年龄进行分层抽样，共抽取8人，分析租赁住房需求，再从中随机抽取3人参与座谈，若这3人中年龄在40岁以下的有占人，求的分布列与数学期望．附：．临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828答案：（1）有；（2）分布列见解析，.（1）据列联表计算出，对比临界值表中数据即可.（2）由分层抽样的特征确定各年龄层抽取的人数，确定随机变量的所有可能取值，再求出对应的概率，列出随机变量的分布列，进一步求解数学期望.解：（1）由题意建立列联表如下：认为对租赁住房影响大认为对租赁住房影响不大合计年龄在40岁以上125150275年龄在40岁以下75150225合计200300500，所以有99%的把握认为居民对降低租赁住房税费的态度与年龄有关．（2）由题意可知，分层抽样抽取的8人中，年龄在40岁以上的有5人，年龄在40岁以下的有3人，则随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．，，，，所以随机变量的分布列为0123．19.如图，四边形ABCD是边长为的菱形，DD1⊥平面ABCD，BB1⊥平面ABCD，且BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点．（1）证明：平面BDEF∥平面CB1D1；（2）若∠ADC＝120°，求直线DB1与平面BDEF所成角的正弦值．答案：（1）证明见解析；（2）.（1）连接，交于点，连接，则为的中点，可证明平面，平面，从而证明结论.（2）取的中点，连接，可得,以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系,应用向量法求线面角.解：（1）证明：连接，交于点，连接，则为的中点，∵是的中点，平面,平面,所以平面又是的中点平面,平面,所以平面又平面,,所以平面平面．（2）取的中点，连接，在菱形中，为正三角形，则由平面，故以所在直线分别为轴，建立如图示的空间直角坐标系则∴设平面BDEF的法向量为，即，令则设直线与平面所成角为，则故直线与平面所成角的正弦值为点评：方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面内.2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.3、求：求出所需平面的法向量4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两个平面的法向量的夹角的余弦值5、取：根据题意，或二面角的范围，得出答案.20.已知椭圆：()的左､右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：的面积为定值.答案：（1）；（2）证明见解析.（1）由抛物线的定义和离心率得出椭圆的方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系求出点坐标，代入椭圆方程，再由弦长公式，点线距公式结合三角形的面积公式化简计算可得定值．解：（1）因为的周长为，所以，即.又离心率，解得，，.∴椭圆的方程为.（2）设，，，将代入消去并整理得，则，，，∵四边形为平行四边形，∴，得，将点坐标代入椭圆方程得，点到直线的距离为，，∴平行四边形的面积为故平行四边形的面积为定值为.点评：关键点点睛：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点线距公式和弦长公式，解决本题的关键点是借助于平面向量的坐标表示，利用点在曲线上得出方程，代入平行四边形的面积公式，消去参数得出定值，考查学生计算能力，属于中档题．21.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若存在正实数t，使得当时，有能成立，求的值．答案：（1）；（2）1.（1）直接求出斜率，写出切线方程；（2）利用导数研究函数的单调性，分类讨论，求出a的值.解：解：（1）时，．．∴切线方程为：．整理得：．（2）．令，得．令．（ⅰ）当时，为上的减函数，．∴时，，递增．又此时，故时，，递减．时，，递增．∴时，，递增．由．故时，．时，．此时，存在使时，，满足条件．（ⅱ）当时，，，递增．此时，．故存在使得．当时，递增．∴时，，递减．即时，，不存在，使时，．（ⅲ）当时，，令，得．∴时，递减，递减．即时，，不存在，使时，．（ⅳ）当时，在递减．递减．故时，，不存在，使时，．综上所述：．点评：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系中，方程（）表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴所在的直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中.已知曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若曲线与相交于、、三点，求线段的长.答案：（1）（）；（2）.（1）化简得到直线方程为，再利用极坐标公式计算得到答案.（2）联立方程计算得到，，计算得到答案.解：（1）由消得，即，是过原点且倾斜角为的直线，∴的极坐标方程为（）.（2）由得，∴，由得∴，∴.点评：本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.[选修4-5：不等式选讲]23.设函数f(x)＝|2x－a|，g(x)＝x＋2(1)当a＝1时，求不等式f(x)＋f(－x)≤g(x)的解集；(2)求证：中至少有一个不小于.答案：(1)；(2)证明见解析.解：(1)当a＝1时，|2x－1|＋|2x＋1|≤x＋2，化简可得或或解得0≤x<或≤x≤综上，不等式的解集为).(2)假设都小于，则，前两式相加得－