三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法) (1)

和差化积和积化和差公式 正弦、余弦的和差化积   【注意右式前的负号】　 证明过程  sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β， 设 α+β=θ，α-β=φ 那么 ， 把α，β的值代入，即得 sin θ+sin φ=2sin cos 正切和差化积 tanα±tanβ=                       cotα±cotβ= tanα+cotβ=                       　 tanα-cotβ= 证明：左边=tanα±tanβ= = = =右边 在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次 记忆口诀（正弦余弦） 正加正，正在前，余加余，余并肩 　 正减正，余在前，余减余，负正弦 生动的口诀： 帅+帅=帅哥 帅-帅=哥帅 咕+咕=咕咕 哥-哥=负嫂嫂 积化和差公式 （注意：此时差的余弦在和的余弦前面） 或写作： （注意：此时公式前有负号） 证明    积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。 即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明： 其他的3个式子也是相同的证明方法。 结果除以2 这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。 也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如： cos(α-β)-cos(α+β) =1/2[(cosα·cosβ+sinα·sinβ)-(cosα·cosβ-sinα·sinβ)] =2sinα·sinβ 故最后需要除以2。 使用同名三角函数的和差 无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。