普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题(文科)解析

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）1参考公式：锥体的体积公式VSh,其中S为锥体的底面面积，h为锥体的高。31一组数据x,x,,x的方差s2(xx)2(xx)2(xx)2,其中x表示这组数12nn12n据的平均数。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合M2,3,4，N0,2,3,5，则MNA.0,2B.2,3C.3,4D.3,5:B2、已知复数z满足34iz25，则zA.34iB.3+4iC.34iD.34i答案:D2525(3i4)25i(34)提示:z=3i4故选,D.34i(3i4)(3i4)253、已知向量a1,2,b3,1，则baA.2,1B.2,1C.2,0D.4,3答案:Bx2y84、若变量x,y满足约束条件0x4，则z2xy的最大值等于0y3A.7B.8C.10D.11答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10.选C.5、下列函数为奇函数的是1A.2xB.x2sinxC.2cosx1D.x22x2x答案:A111提示:设f(x)x2则,fx(的定义域为)R且,f(x)x2x2fx(),2x2x2xf(x)为奇函数故选,A.6、为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为A.50B.40C.25D.207、在ABC中，角A,B,C所对应的变分别为a,b,c，则“ab”是“sinAsinB”的A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件x2y2x2ky28、若实数k满足0k5，则曲线1与曲线1的165k165A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等9、若空间中四条两两不相同的直线l,l,l,l满足ll,l//l,ll，则下列结论一定正1234122334确的是A.llB.l//lC.l与l既不平行也不垂直D.l与l位置关系不确定1414141410、对任意复数w,w，定义wwww，其中w是w的共轭复数.对任意复数12121222z,z,z，有如下四个命题：123①zzzzzzz②zzzzzzz12313231231213③zzzzzz④zzzz1231231221则真命题的个数是A.1B.2C.3D.4答案:B提示:①(zz)*z=(zz)z=(zz)(zz)=(z*z)+(z*z),故①是真命题;12312313231323②z*(zz)z(zz)z(zz)(zz)(zz)(z*z)+(z*z),②对;12312312312131213③左边=(z*z)z=zzz,右边z*(zz)z(zz)z(zz),左边右边,③错;123123123123123④左边=z*zzz,右边=z*zzz,左边右边,故④不是真命题.12122121综上,只有①②是真命题,故选B.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（1113题）11.曲线y5ex3在点(0,2)处的切线方程为12.从字母a,b,c,d,e中任取两个不同的字母，则取到字母a的概率为13．等比数列a的各项均为正数，且aa4，则oglaogloglaoglaoglaan152122232425＝答案:5提示:设Slogalogalogalogaloga,2122232425则Slogalogalogalogaloga,25242322212S5log(aa)5log410,2152S5.（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）：14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C与C的方程分别为2cos2sin12与cos1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C与C的交点的直角坐标为12答案:(1,2)提示:由2cos2sin得（2cos）2=sin,故C的直角坐标方程为:y2x2,1C的直角坐标方程为:x1,C,C交点的直角坐标为(1,2).21215.（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB2AE,ACCDF的周长与DE交于点F，则＝DAEF的周长CFAEB三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）532已知函数f(x)Asin(x),xR,f().3122（1）求A的值；（2）若f()f()3,(0,),，求f().265533232解:(1)f()Asin()Asin,A23.12123422(2)由(1)得:f(x)3sin(x),3f()f()3sin()3sin()333(sincoscossin)3(sin()coscos()sin)33336cossin333cos311cos,f()3sin()3sin()3cos31.36632317．（本小题满分13分）某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）191283293305314323401合计20（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以这十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（1）求这20名工人年龄的方差；解:(1)这20名工人年龄的众数为30,极差为401921.(2)茎叶图如下:192888999300000111122240(1928329330531432340)3年龄的平均数为:30,201故这20名工人年龄的方差为:(11)23(2)23(1)2502412322102201(121123412100)2012522012.618.（本小题满分13分）如图2，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB1,BCPC2,作如图3折叠，折痕EF∥DC，其中点E,F分别在线段PD,PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.（1）证明：CF⊥平面MDF;（2）求三棱锥MCDE的体积BABAMDDCCEFPP解:(1)证明:PD平面ABCD,PDPCD,平面PCD平面ABCD,平面PCD平面ABCDCD,MD平面ABCD,MDCD,MD平面PCD,CF平面PCD,CFMD,又CFMF,MD,MF平面MDF,MDMFM,CF平面MDF.11(2)CF平面MDF,CFDF,又易知PCD600,CDF300,从而CF=CD=,221DECFDE33313EF∥DC,,即=2,DE,PE,SCDDE,DPCP3244CDE283336MDME2DE2PE2DE2()2()2,44211362VSMD.MCDE3CDE3821619.(本小题满分14分)设各项为正数的数列a的前n和为S,且S满足S2(n2n3)S3(n2n)0,nN*nnnnn(1)求a的值;1(2)求数列a的通项公式;n1111(3)证明:对一切正整数n,有a(a1)a(a1)a(a1)31122nn解:(1)令n1得:S2(1)S320,即S2S60,(S3)(S2)0,111111S0,S2,即a2.111(2)由S2(n2n3)S3(n2n)0,得:(S3)S(n2n)0,nnnna0(nN),S0,从而S30,Sn2n,nnnn当n2时,aSSn2n(n1)2(n1)2n,nnn1又a221,a2n(nN).1nkk313(3)当kN时,k2k2(k)(k),221644111111113a(a1)2k(2k1)4k(k)4(k)(k)kk24411111411411(k)(k1)k(k1)4444111a(a1)a(a1)a(a1)1122nn1111111()()11111141223n(n1)444444111111().1141(n1)34n334420.(本小题满分14分)x2y25已知椭圆C:1(a0,b0)的一个焦点为5,0,离心率为a2b23(1)求椭圆C的方程;(2)若动点P(x,y)为椭圆C外一点,且点P到椭圆的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程0021.(本小题满分14分)1已知函数f(x)x3x2ax1(aR).3(1)求函数f(x)的单调区间;111(2)当a0时,试讨论是否存在x0,,1,使得f(x)f()02202解:(1)f'(x)x22xa,方程x22xa0的判别式:44a,当a1时,0,f'(x)0,此时f(x)在(,)上为增函数.当a1时,方程x22xa0的两根为11a,当x(,11a)时,f'(x)0,此时f(x)为增函数,当x(11a,11a)时,f'(x)0,此时f(x)为减函数,当x(11a,)时,f'(x)0,此时f(x)为增函数,综上,a1时,f(x)在(,)上为增函数,当a1时,f(x)的单调递增区间为(,11a),(11a,),f(x)的单调递减区间为(11a,11a).111111(2)f(x)f()x3x2ax1()3()2a()102300032221111x3()3x2()2a(x)302020211x1111(x)(x20)(x)(x)a(x)3020240202021x2x11(x)(00xa)0236120211(x)(4x214x712a)120200111若存在x(0,)(,1),使得f(x)f(),0220211必须4x214x712a0在(0,)(,1)上有解.0022a0,14216(712a)4(2148a)0,1422148a72148a72148a方程的两根为:,x0,x只能是,840047+2148a257依题意,01,即72148a11,492148a121,即a,412127+2148a155又由=,得a,故欲使满足题意的x存在,则a,4240425557111当a(,)(,)时,存在唯一的x(0,)(,1)满足f(x)f().124412022022575111当a(,][,0)时,不存在x(0,)(,1)使f(x)f().1212402202