股价的几何布朗运动证明

　　　　　　　　　　 收稿日期 :2004211201 作者简介 :谢惠扬 (19632) ,女 ,江苏无锡人 ,北京林业大学教授 ,硕士研究生 ,主要从事基础数学的研究. 第 20 卷第 1 期 2 0 0 5 年 2 月 长 沙 电 力 学 院 学 报 ( 自 然 科 学 版 ) J OU RNAL O FC HA N GS HA UN IV ERS I T YO F EL EC TR I C POWER ( NATURAL SCIENCE) Vol . 20 No. 1 Feb. 2 0 0 5 股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬1 , 陈怀军2 , 毕秋香2 (1. 北京林业大学 基础学院 ,北京 　100083 ;2. 安徽师范大学 数学系 ;安徽 芜湖 　241000) 摘 　要 :通过由一般的离散过程逼近连续随机过程的方法 ,给予证券价格按有漂移率的几何布朗运动变化的一 个严格的证明 ,并指出了股票价格过程的一般模型. 关 　键 　词 :股票价格 ;布朗运动 ; Ito 方程 中图分类号 :O 211. 62 　　　文献标识码 :A 　　　文章编号 :100627140 (2005) 0120086203 A Proof of Geometric Bro wn Motion Displayed by Stock Prices XIE Hui2yang1 , CHEN Huai2jun2 , BI Qiu2xiang3 (1. Beijing Forestry University ,Beijing 100083 ,China ;2. Mathematic Department of Anhui Normal University ,Wuhu 241000 ,China) Abstract :In this paper ,the authors give a strict proof of geometric Brown motion displayed by stock prices using the methods of approximation from discrete process to continuous stochastic process. The general model for stock prices is also expressed. Key words :stock prices ; Brown motion ; Ito equation 　　在现代金融投资理论中 ,通常假设股票的价格 服从几何布朗运动 ,著名的 Black2Scholes 期权定价 公式 ,也是以此假设为基础 ,即假设股票在 t 时刻的 价格 S t 满足下列随机微分方程[1 ] d S t = μS td t +σS tdw t , (1) 其中 　μ为该股票的预期收益率 ,σ为股票收益率的 标准差 , wt 是标准布朗运动. 在一般文献中 ,没有更多解释证券价格为何按 几何布朗运动变化 ,而只是根据一种直观判断 ,认为 该模型较好地描述了风险资产的价格变化规律. 现假设理性投资者要求来自证券的期望收益率 与证券价格无关 ,且交易连续不断地进行 ,在这些理 想市场前提下 ,本文对这一问题进行微观的研究 ,给 予证券价格按有漂移率的几何布朗运动变化的一个 严格的证明. 1 　布朗运动 (Brown motion) 可由随机 游动逼近 　　布朗运动是 [0 , T ] 上的随机过程 ( w t , t ≥0) , 它有如下特征 : ① w0 = 0 , ② Ew t = 0 ,对任意 t ≥0 , ③ w t 有独立增量 ,即当 0 ≤ r < s < t ≤ T时 , wt - ws 与 ws - wr 独立 ,且 w t - ws ～ N (0 , t - s) . 布朗运动是一连续随机过程 ,它可看成一粒子 在直线上运动 ,在时刻 t 的位置记为 w t ,而随机游动 是一离散分布 ,下面证明布朗运动可由随机游动逼 近. 从任意时间 t 出发 , 对充分小的间隔Δt , 记 Δw t = w t +Δt - w t ,Δw t 仍是随机变量 , 根据已知条 件 ③,则有Δw t ～ N (0 ,Δt) ,即可近似地记为Δw t ～ ε Δt ,其中ε～ N (0 ,1) ,在相当多的文献中都有 这样的记法[2 ] . 因Δw t 是对称随机变量 ,可考虑如下形式的简 单随机游动 ,即考虑一粒子分别向左或向右移动一 个距离Δx ,即 : P(Δw t =Δx) = P(Δw t = - Δx) = 12 , 　　则 EΔw t = 0 , DΔwt = (Δx) 2 对任意的 s > 0 , t > 0 ,取 k = [ s/Εt ] ,于是 w t + s - wt = ∑ k i = 1 ( w t + iΔt - w t + ( i - 1)Δt) , (2) 　　故 E( w t + s - w t) = ∑ k i =1 E( w t + iΔt - w t + ( i - 1)Δt) = 0 ,又因 w t + iΔt - wt + ( i - 1)Δt , i = 1 , ⋯, k 独立同分布 , 故 E( w t + s - w t) 2 = ∑ k i = 1 E( w t + iΔt - w t + ( i - 1)Δt) 2 = k (Δx) 2 . 由中心极限定理 lim Δt →0 P( w t + s - w tΔx · k ≤ x s ) =∫ x s - ∞ 1 2π exp ( - t 2 2 ) d t = ∫x - ∞ 1 2πs exp ( - t 2 2 s) d t , (3) 现取Δx = Δt ,而 k = [ s/Δt ] ,因此 (3) 式为 lim Δt →0 P( w t + s - w t ≤ x) =∫x - ∞ 1 2πs exp ( - t 2 2 s) d t , 即 wt + s - w t 服从 N (0 , s) ,此即布朗运动. 于是 ( w t , t ≥0) 可用如下的随机游动近似 : ① w0 = 0 , ②当时间区间Δt 充分小时 ,令Δw t ～ε Δt , 其中ε为取值 ±1 的随机变量 ,且 P(Δw t = Δt ) = P(Δw t = - Δt ) = 12 . 2 　股票价格过程 1) 　简单离散模型. 对于风险证券股票 ,假设理性投资者要求来自 证券的期望收益率μ与证券价格无关 ,在弱式有效 市场假设下 ,首先考虑离散化的模型 ,设在 n 时刻 , 其价格为 S n ,则其收益率可认为由期望收益率加一 随机项组成 ,不失一般性 ,且该随机项可以用简单随 机游动表达 ,即可以写成 S n - S n- 1 S n - 1 = μ +ηn ,1 ≤ n ≤N , (4) 其中 　S0 > 0 ,μ > 0 ,ηn 是一随机游动 ,满足条件 P(η0 = δ) = p , P(ηn = - δ) = 1 - p , 1 ≤ n ≤N , 0 < δ < 1 +μ, 0 < p < 1 , 这样 S1 取 2 个值 , SN 取 2N 个值. 2) 　由离散时间模型逼近连续时间模型. 现考虑时间区间 (0 , T) ,对充分短的时间Δt ,取 N = [ T/Δt ] ,股票价格可写为 S iΔt - S ( i - 1)Δt S ( i - 1)Δt = 1 +Δμ +ηiΔt , 1 ≤ i ≤N , (5) 其中 　S0 > 0 ,Δμ > 0 为短期收益率 ,ηiΔt 为随机 项 ,即 S iΔt = S ( i - 1)Δt (1 +Δμ +ηiΔt) , 　1 ≤ i ≤N . 　　由式 (4) 可设ηiΔt 为随机游动 ,满足条件 : P(ηiΔt =Δδ) = 12 , P(ηiΔt = - Δδ) = 1 2 , 1 ≤ i ≤N ,0 <Δδ < 1 +Δμ. 若假设理性投资者要求来自证券的期望收益率μ与 证券价格无关 , 则可取Δμ = μΔt ,Δδ = σ Δt , σ > 0 , 因此 ηiΔt 可写成 :ηiΔt = σ Δtεi , 其中 P(εi = 1) = 12 , P(εi = - 1) = 1 2 ,且 EηiΔt = 0 , DηiΔt =σ2Δt ,这样σ2 即为股票收益的方差 ;因此股 票价格过程为 : S iΔt = S0 ∏ i k = 1 (1 +μΔt +σ Δtεk) , 1 ≤ i ≤N . 两边取对数 ,得 logS iΔt = logS0 + ∑ i k =1 log (1 +μΔt +σ Δtεk) , 1 ≤ i ≤N . (6) 用 Taylor 级数展开 log (1 +μΔt +εkσ Δt ) = 78第 20 卷第 1 期 谢惠扬等 :股票价格服从几何布朗运动的证明 μΔt +εkσ Δt - 12 (μΔt +εkσ Δt ) 2 + Δt 的高阶项 = μΔt +εkσ Δt - 12 (μ 2Δt2 + 2μεkσ Δt +ε2kσ2Δt) +Δt 的高阶项 = (μ - 1 2σ 2)Δt +εkσ Δt +Δt 的高阶项 因此 logS iΔt = logS0 + i (μ - 12σ 2)Δt + σ Δτt ∑ i k =1 εk +Δt 的高阶项. (7) 　　对任意 0 < t < T ,当Δt →0时 ,可取 iΔt → t , 则上式右边第 2 项趋于 (μ - 12σ 2) t ,由中心极限定 理 ,第 3项 Δt ∑ i k =1 εk 依分布收敛于N (0 , t) 即 w t ,上 式中的Δt 高阶项趋于零 ,因此有 S t = S0exp ( (μ - 12σ 2) t +σw t) . (8) 利用 Ito 公式 ,即得 S t 满足下列随机微分方程 d S t = μS td t +σS tdw t . 3 　股票价格过程的一般模型 对于股票价格行为 ,人们通常假设其服从上述 几何布朗运动模型 ,即股票价格都是连续变动的 ,但 现实市场股价变动并非如此 ,一些重大的信息到达 会使股票价格发生不连续的变动 , 即跳跃. 为此 Merton (1976) [3 ] 建立了股票价格遵循跳跃扩散过程 的模型 ,在股票价格几何布朗运动之上加了各种跳 跃 ,Aase (1988) [4 ] 建立了 Ito过程和随机点过程的混 合模型 ,Scott (1997) 建立了具有随机波动率和利率 的跳跃扩散模型等. 一般地 ,有下列两类随机模型来 描述股票价格的变化. 1) 　Merton 跳跃扩散模型. d S t S t = (μ - λk) d t +σdw t + d q , (9) 其中 　μ为股票的预期收益 ,λ为跳跃发生的频率 , k 为平均跳跃幅度占股票价格上升幅度的比率 ,则 λk 表示由跳跃带来的平均增长率 ,d q表示参数为的 泊松点过程 ,dw t 与 d q 相互独立. 2) 　一般的混合过程. 混合过程由 ITO 过程和泊松点过程两部分组 成. 即 d S t S t = μ( t ,ω) d t +σ( t ,ω) dw t + ∫Rr ( t , y) q (d t ,d y) , 其中 　μ,σ, r均为可测过程 , q (d t ,d y) 为随机点测度. 参考文献 : [1 ] 约翰 ,赫尔. 期权、期货和衍生证券. 张陶伟译[M] . 北京 :华夏出 版社 ,1997. [2 ] 程仕宏. 高等概率论[M] . 北京 :高等教育出版社 ,2000. [3 ] Merton R C. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous[J ] . Journal of Economics ,1976 , (3) :1252144. [4 ] Aase K K. Contingent claims valuation when the security price is a combination of a ITO processes and a random point processes[J ] . Stochastic processes and Applications ,1988 , (28) :1852220. (上接第 70 页) 4. 3 　科技项目网上查询 已申报的科技项目可以上网查询 ,方便了申请 单位对已上报的数据进行校核. 如图 4 所示. 图 4 　数据校核 5 　小结 本系统是采用 Delphi 6. 0 和 SQL Server 2000 数 据库以及 ASP 技术开发的一个网上项目申报系统 , 因为系统采用了将B/ S模式与 C/ S模式相结合的方 法 ,因此集合了两种模式的优点 ,具有很好的实用价 值 ,能极大地提高科研管理效率 ,为科研管理的信息 化奠定良好的基础. 参考文献 : [1 ] Michael Otey , Paul Conte. SQL Server 2000 开发指南[M] . 北京 : 清华大学出版社 ,2002. [2 ] 李维. Delphi 5. x ADO/ MTS/ COM + 高级程序篇[M] . 北京 : 机械工业出版社 ,2000. [3 ] Paul Kimmel . Delphi 6 应用开发指南 [M] . 北京 :清华大学出版 社 ,2002. [4 ] 梁建吾 ,陈语林. ASP 程序设计 [M] . 北京 :中国水利水电出版 社 ,2001. 88 长 沙 电 力 学 院 学 报 ( 自 然 科 学 版 ) 　　　　　　　　　　　　　2005 年 2 月