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第 6 章 电磁波的辐射
给定高频交变电流,在忽略电磁波对电流影响的近似下研究电磁辐射的规律
§6.1 电磁势的规范不变性
考虑真空中的传导电流和自由电荷分布与电磁场的相互作用规律。由于
0,
t
∂⎛ ⎞∇× + =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
AE (6.1)
所以
,
t
ϕ ,∂= ∇× = −∇ − ∂
AB A E (6.2)
标势ϕ 不再具备静电学中电势能的物理意义。对矢势和标势作规范变换不改变电磁场物理量的值
,
t
,ψψ ϕ ϕ ∂′ ′= +∇ = − ∂A A (6.3)
即变换前后的势函数描述同一电磁场。这称为电磁场的规范不变性,是电磁场的重要性质。
利用 0ε=D E , 0μ=B H 可得矢势和标势满足的 Maxwell 方程组
2
2
02 2 2
2
0
1 1 ,
,
c t c t
t
ϕ μ
ρϕ ε
∂ ∂⎛ ⎞∇ − −∇ ∇⋅ + = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∂∇ − ∇ ⋅ =∂
AA A
A
J
(6.4)
由于电磁场的规范不变性,我们可以选择适当的势函数简化方程组(6.4)式。例如,应用最广泛的两种规范
是库仑规范
0,∇ ⋅ =A (6.5)
和洛伦兹规范
2
1 0.
c t
ϕ∂∇ ⋅ + =∂A (6.6)
在库仑规范下,(6.4)式简化为
( )22 02 2 2
2
0
1 1 ,
,
c t c t
ϕ μ
ρϕ ε
∂ ∂∇ − = ∇ −∂ ∂
∇ =
AA J
(6.7)
此时,标势就是电荷的库仑势。在洛伦兹规范下,(6.4)式简化为
第 6 章 电磁波的辐射
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2
2
02 2
2
2
2 2
0
1 ,
1 ,
c t
c t
μ
ϕ ρϕ ε
∂∇ − = −∂
∂∇ − = −∂
AA J
(6.8)
这一非齐次波动方程也称为 d’Alembert 方程,标势和矢势的三个分量形式上完全相同。
【例】分别讨论洛伦兹规范和库仑规范下的平面电磁波的势函数。
解:在自由空间, ,0J = 0ρ = ,简谐平面波是电磁场的重要模式。
(1)洛伦兹规范下电磁场的矢势和标势的简谐平面波解为
(6.9) ( ) (0 0,
i t i te eω ϕ ϕ⋅ − ⋅ −= =k x k xA A ) ,ω
其中
2
0 ,
cϕ ω 0= ⋅k A (6.10)
由此可得
(6.11) , ki c= × = − ×B k A E e B,
.i
电场强度和磁感应强度都垂直于平面波矢。值得指出的是,电磁场只依赖于洛伦兹规范下矢势的横向分量,
我们甚至可以进步假设矢势的纵向分量为零,从而
,i ω= × =B k A E A (6.12)
(2)库仑规范下可直接令标势为零得到类似的结果。
§6.2 推迟势
洛伦兹规范下的达朗贝尔方程(6.8)的物理解为
0
0
1 ( , )( , ) ,
4
( , )( , ) ,
4
t r c dVt
r
t r c dVt
r
ρϕ πε
μ
π
′ ′−=
′ ′−=
∫∫∫
∫∫∫
xx
J xA x
(6.13)
称为推迟势,其中 r ′= −x x 为原点到场点的距离。推迟势公式反映了真空中光速 的有限性,具有明显
的物理意义。
c
除了证明(6.13)式是达朗贝尔方程(6.8)的解,还要根据电荷守恒的连续性方程论证它们满足洛伦兹规
范。记 t t r c′ = − ,利用 ,可得 ′∇ = −∇
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0
0
0
( , )
( , )
dV
dt
t
( , ) 1 ( , )
4
( , ) 1 ( , )
4
( , ) ,
4
t r c dV t r c dV
r r
t r c t r c dV
r r
V t r c dV
r r
μ
π
μ
π
μ
π
′ ′⎡∇ ⋅ − ⎤⎛ ⎞ ′ ′∇ ⋅ = +∇ ⋅ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
′ ′⎡−∇ ⋅ − + ⎤⎛ ⎞′ ′ ′ ′= −∇ ⋅ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
′ ′⎡ − ⎤⎛ ⎞′ ′= −∇ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎦⎣
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
J xA J x
J x x
J x
J
′ ′ ′∇ ⋅
′ ′ ′∇ ⋅
J x
J x
( , )t′ ′ ′∇ ⋅J x
其中 表示梯度运算不作用到 t t r c′ = − 中的空间变量。结合
0
1 1 ( , ) ,
4
t dV
t r t
ϕ ρ
πε
′ ′∂ ∂ ′= ′∂ ∂∫∫∫ x
最后可得
0
2
( , )( , )t
t
tρ1 ( , )
4
0.
dV t r c dV
c rt r
μϕ
π
′ ′∂ ⎡ − ⎤⎛ ⎞′ ′′∇ ⎛ ⎞∂′ ′ ′ ′∇ ⋅ + = −∇ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ′⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
=
∫∫∫ J xA
ω
⋅ + ∂
xJ x
即由达朗贝尔方程得到的势函数的确满足洛伦兹规范条件。
随后三节都是采用洛伦兹规范下的这一推迟势研究“小尺寸”的电流电荷系统的远场辐射问题。
§6.3 电偶极辐射
假设电流密度和电荷密度随时间变化的关系为
(6.14) ( , ) ( ) , ( , ) ( ) ,i t i tJ x t J x e x t x eω ρ ρ′ ′ ′ ′= =
则由(6.13)可得矢势函数
( ) ( )
0
0
( ) 1 ( )( , ) , ( , ) ,
4 4
i t r c i t r ce dV e dVt t
r r
ω ωμ ρϕπ πε
− −′ ′ ′ ′= =∫∫∫ ∫∫∫J x xA x x (6.15)
若记 ( , ) ( ) i tt e ω=A x A x , ( , ) ( ) i tt e ωϕ ϕ=x x ,则
0
0
( ) 1 ( )( ) , ( ) ,
4 4
ikr ikre dV e dV
r r
μ ρϕπ πε
− −′ ′ ′ ′= =∫∫∫ ∫∫∫J x xA x x (6.16)
因子 表示场点ikre− x对源点 x′的相位滞后。由于电荷守恒给出连续性方程 iωρ = ∇ ⋅J ,所以在一定频率
的交变电流的情形下,由矢势可以完全确定电磁场,并且
2,
i
c
.ω= ∇× = − ∇×B A E B (6.17)
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§6.4 磁偶极和电四极辐射
考虑以固定频率ω随时间变化的简单电荷电流系统,电磁场的全部物理性质可由矢势公式计算确定。
问题涉及三个尺度: ,l λ和 r ′= −x x ,在许多感兴趣的问题中,电荷分布在一个“小区域”内,可以
对(6.16)式作级数展开来建立电磁辐射的物理图像。由于 Rr R ′≈ − ⋅e x ,常常将(6.16)展开为级数形式
(0( ) ( ) 1 ,
4
ikR
R
e ik dV
R
μ
π
− )′ ′= − ⋅ +∫∫∫A x J x e x " ′ (6.18)
【电偶极辐射】
保留第一项得
(1) 0( ) ( ) ,
4 4
ikR ikRe e ddV 0
R R dt
μ μ
π π
− −
′ ′= →∫∫∫ pA x J x (6.19)
其中 为系统的电偶极矩。利用p ( ) ( ) ( )a a a∇× = ∇ × + ∇×A A A , RR = e ,可得 ∇
0 ,
4
ikR
R
i k ce ,RcR ik
μ
π
−= ∇× = − × = ∇× = ×B A e p E B B e� (6.20)
还可利用 0 , ,i te i iω ,ω ω= = =p p p p p� �� p� 进一步将偶极辐射场表示为
( )3 2
0 0
,
4 4
ikR ikR
R
e e
c R c Rπε πε
− −
= × = ×B p e E p e�� �� ,R R×e (6.21)
若以电偶极矩的方向为球坐标系统的极轴,以电荷系统的中心为坐标原点,则电偶极远场辐射如图 5-3 所
示,磁通线和电场线为球面上的经纬线,辐射场为 TEM 波。
远场辐射的功率和角分布都可以根据平均能流密度计算得到
( )* 21 Re ,2 2 2Rc cB E2 Rεμ= × = =S E H e e (6.22)
代入(6.21)式的场强公式,可得
2
2
2 3 2 sin32 Rc R
θπ ε=
p
S
��
e (6.23)
总的辐射功率为
4 2
2 0
3 ,12
pP R d
c
ω
πε= Ω =∫∫ S
Gw (6.24)
不依赖于球面的半径(能量守恒),与交变电流的频率四次方成正比。
分析级数展开的二阶项
(2) 0( ) ( ) ,
4
ikR
R
ke dV
i R
μ
π
−
′ ′ ′= ∫∫∫A x J x e x⋅ (6.25)
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改写为便于分析的形式
0( ) ( ) ,
4
ikR
R
ke dV
i R
μ
π
−
′ ′= ⋅ ∫∫∫A x e x J x ′ (6.26)
其中 是并矢形式的 3 阶张量,可以分解为对称与反对称两个部分 ′x J
( ) (1 1 ,
2 2
′ ′ ′ ′= + + −x J x J Jx x J Jx )′ (6.27)
利用恒等式
( ) ( ) ( ) ( )R R R R′ ′ ′ ′ ′⋅ − = ⋅ − ⋅ = − × ×e x J Jx e x J e J x e x J (6.28)
可得磁偶极辐射公式
( )(2) 0 1( ) ,
4 2 4
ikR ikR
a R
ke i kedV
i R R
μ μ
π π
− −
′ ′ ′= ⋅ − =∫∫∫A x e x J Jx e m0 R × (6.29)
其中
1 ( ) ,
2
dV′ ′= ×∫∫∫m x J x ′ (6.30)
正是电流系统的磁偶极矩(参见 P87 第三章第 3 节磁多极矩)。
利用电流元与带电粒子运动的关系
( ) ,i
ddV q
dt
′′ ′ = ∑ xJ x
可得
( ) ( )1 1
2 2
1
2
R i R
R i
d ddV q
dt dt
d q
dt
′ ′
R
⎡ ⎤⎛ ⎞′ ′ ′ ′⋅ + = ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ′⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞′ ′= ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑∫∫∫
∑
x xe x J Jx e x e
e x x
x
所以(6.25)式中的对称项给出电四极辐射
( )(2) 0 01 1( ) ,
4 2 4 6
ikR ikR
s R
ke kedV D
i R i R
μ μ
π π
− − ⎛ ⎞′ ′ ′= ⋅ + = ⎜⎝ ⎠∫∫∫A x e x J Jx e
G�
R ⋅ ⎟
) ,V
(6.31)
其中系统的电四极矩(参见 P64 第二章第 6 节)定义为
3 3 (iD q dρ′ ′ ′ ′ ′= ⇔∑ ′∫∫∫x x x x xG (6.32)
【例】一电流线圈半径为 ,激发电流振幅为a 0I ,角频率为ω,求磁偶极辐射功率。
【例】求图 5-8 所示的电四极系统的以频率ω振荡时的辐射功率和角分布。
【例】(半波)天线辐射问题
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§6.5 衍射原理
图 5-12 是典型的电磁波衍射过程的示意图,严格的理论研究应该将其处理为一个边值问题,计算复杂
而繁琐。
实际应用中的衍射理论近似地假设小孔和屏幕右侧的电磁场为已知边界条件,从而可以更简单地确定
屏幕右侧空间各点的电磁场分布。
真实的电磁场包含互相耦合的两个矢量场。而在光的衍射理论中,更进一步假设光场为标量场,同样
可以得到衍射光场的主要特征。
6.5.1 基尔科夫公式
从 Maxwell 方程组已经推导出电磁场任意直角坐标系分量 满足(参见第五章第 1 节 P113)
Helmholtz 方程
( )u x
2 2 0,u k u∇ + = (6.33)
它的 Green 函数定义为在相同的边界条件下微分方程
( )2 2 ( , ) 4 ( ),k G πδ′ ′∇ + = − −x x x x (6.34)
的解。利用 Green 公式(参见第二章第 5 节 P60)
{ } [ ] [ ]{ }2 2( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )G u G u dV G u G u d′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′⎡ ⎤ ⎡ ⎤∇ − ∇ = ∇ − ∇⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫∫∫ ∫∫x x x x x x x x x x x x S ,′⋅w 和
( ) ( ){ }2 2 2 2( , ) ( ) ( , ) ( ) 4 ( ),k G u G k u dV uπ⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′ ′ ′ ′ ′ ′∇ + − ∇ + = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫∫∫ x x x x x x x
可得 Helmholtz 方程的积分形式
[ ] [ ]{1( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ,
4
u G u G uπ } d′ ′ ′ ′ ′ ′= − ∇ − ∇ ⋅∫∫x x x x x x xw ′S
d′ = −S e n
(6.35)
如果选取 ,e 为指向积分区域内部的法线方向的单位矢量,并以无边界自由空间的Green函
数作为方程
nd S′
(6.34)的近似解,即
( , )
ikreG
r
′ ≈x x ,
则由(6.35)式得到基尔科夫公式(Kirchhoff formula)
1 1( ) ( ) ( ) ,
4
ikr
n
eu u ik
r r rπ
⎡ ⎤⎛ ⎞ u dS′ ′≈ ⋅ ∇ + −⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫∫
rx e x xw ′ ′⎥ (6.36)
或者
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1 ( ) 1( ) ( ) ,
4
ikr
ne uu ik
r n r rπ
′ ⋅⎡∂ ⎤⎛ ⎞ u dS′ ′≈ + −⎜ ⎟⎢ ′∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫∫
e rxx w ⎥x (6.37)
Kirchhoff公式给出了衍射屏右侧区域中任意场点 的场量 的值与边界上的场量及其法向梯度的关系。
在许多光衍射问题中,可以直接给定边界上的 和
x ( )u x
( )u x ( )u n′∂ ∂x ,Kirchhoff 公式成为惠更斯-菲涅尔衍射
原理的数学表示。
6.5.2 小孔衍射
在小孔衍射问题中,Kirchhoff 公式中的积分边界分成如图 5-13 的三个部分,并对它们的场量和法向
梯度作如下近似:
(1) 在小孔面上,不考虑衍射屏的影响, 和( )u x ( )u n′∂ ∂x 以入射波代替;
(2) 在贴近衍射屏的右侧, 和( ) 0u =x ( ) 0u n′∂ ∂ =x ;
(3) 在无穷远边界上
1( ) ( )n u ik ur r
⎡ ⎤⎛ ⎞′ ′ ′⋅ ∇ + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
re x x =0
从而可以将 Kirchhoff 公式简化为
0S
1 1( ) ( ) ( )
4
ikr
n
eu u ik
r r rπ
⎡ ⎤⎛ ⎞ u dS′ ′≈ ⋅ ∇ + −⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫∫
rx e x x ,′ ′⎥
0
0
i
(6.38)
在如图 5-14 所示的 Fraunhofer 衍射装置中,入射波设为波矢为 的平面波,在小孔面上满足 0k
00 0( ) , ( ) ,
iu e u i e′ ′⋅ ⋅′ ′ ′= ∇ =k x k xx x k (6.39)
观察远场区域以小孔中心 O 为圆心半径为 R的球面上x 点的衍射波,则
,r R k
k r
,
′⋅≈ − k x r k≈ (6.40)
Kirchhoff公式(6.38)进一步简化为
( )
( )
0
0
0
0
( )
0
S
( )
0
S
( )
4
cos cos ,
4
ikR
i
n
ikR
i
ieu e d
R
ike e d
R
π
θ θπ
′− ⋅
′− ⋅
′≈ ⋅ + S
S ′≈ +
∫∫
∫∫
k k x
k k x
x e k k
(6.41)
其中 0cos cosθ θ+ 称为倾斜因子,与积分无关时得到光的衍射公式
0
0
( )
S
( ) iu e ′− ⋅ dS ′∝ ∫∫ k k xk (6.42)
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【例】 波长为λ的单色平面电磁波垂直入射到矩形小孔上,试确定其 Fraunhofer 图样。
解:单色平面电磁波垂直入射到矩形小孔的Fraunhofer衍射问题中, 以小孔中心为坐标原点o建立直角坐
标系, 垂直于衍射屏指向右侧的衍射区,z x轴和 轴分别平行于矩形的侧边,所以k x ,衍射公
式
y 0 0′ =⋅
(6.42)给出
0
0
( )
S
sin( )sin( )( ) .yi x
x y
k bk au e dS
k a k b
′− ⋅ ′∝ ∝ ⋅∫∫ k k xk
【例】推导圆孔 Fraunhofer 衍射公式
2
12 ( sin ) .
sinP
J kRI
kR
θ
θ
⎡ ⎤∝ ⎢ ⎥⎣ ⎦
第 6 章 电磁波的辐射
第6章 电磁波的辐射
§6.1 电磁势的规范不变性
§6.2 推迟势
§6.3 电偶极辐射
§6.4 磁偶极和电四极辐射
§6.5 衍射原理
6.5.1 基尔科夫公式
6.5.2 小孔衍射