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理科数学学习报告4 直线参数方程在空间中的推广与应用 班级: 姓名: 评定: 【材料1】 在实际问题中,一部分参数方程中的参数有非常明确的实际含义,如几何或物理方面的意义。利用向量方法,可写出过点A ()00,x y 且方向向量为(),m n 的直线的参数方程,过程如下 设点B(x,y),由()||,AB m n 有 ()()00,,x x y y t m n --=,则可构造直线AB 参数方程00 x x tm y y tn =+??=+?。 若将(),m n 单位化变为()cos ,sin αα,0απ≤<。则有00 cos sin x x t y y t αα=+??=+?,这是直线参数方程的形式,其中,t α有非常明确的几何意义,t 代(),x y 到()00,x y 距离,α代表直线与x 轴的夹角。 一个问题是如果将(),m n 单位化得到(sin β,cos β),直线参数方程变为???+=+=β βcos sin 00t y y t x x ,显然,角β不 是直线的倾斜角,参数t 的几何含义是否也不在表示动点(x,y)到定点()00,x y 的距离了呢? 作为直线参数方程的应用,利用直线参数方程的方法解决下面问题。 过点(-5,2)作方向向量为(1,-2)的直线l ,求直线l 被直线x-y-5=0,x-y-2=0所截得的线段长。 数学问题常可利用类比的方法寻求或求解,作为“问题1”在空间中的拓展,在空间中可构造如下问题寻求解决。 如图所示,点E ,F 分别是棱长为4的正方体AC 1中棱AA 1,D 1C 1上靠近点A ,C 1的四等分点,求直线EF 被平面D 1B 1A 和D 1B 1C 所截得的线段长。 作为这个立体几何问题,采取立体几何固有方法可求解,但利用问题1中解析化方法,即结合直线 参数方程、参数几何意义,以及另外两条直线的普通方程求解,也可算作是另辟蹊径了。当然解析化方 法是离不开坐标系的建立的,为了便于交流与讨论,现分别以直线AB,AD,AA1为x,y,z轴建立空间直 角坐标系。如下图 方程问题?那些图形利用参数方程表示对问题2的求解更有帮助 呢? 程得到简化,如直线有方向向量,平面有法向量。试根据问题2-1的思考推导所需图形的方程 利用2-2构造的方程求解问题2中所求线段的长。 问题3 作为直线参数方程在空间中的拓展形式,有很多应用,是编制相关问题并求解。 总之,对报告4的思考应能加深对向量,参数方程,几何问题解析化方法,类比的研究方法等概念和方法的理解。