同济大学_高等数学下_03年期末考试试卷

高等数学 B（下）期终考试试卷 2003 年 6 月 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 一.填空题（每小题 5 分，共 40 分） 1. 曲面 3=+− xyze z 在点 )0,1,2( 处的切平面方程是 . （答： 042 =−+ yx ） 2. 设有向闭曲线 L从点 )0,1(A 沿直线到点 )1,0(B ，再沿圆弧 122 =+ yx 逆时针 到点 )0,1(−C ，然后沿直线回到点 A，则 =+−∫ L xdyydx 2 1 . （答： 42 1 π+ ） 3. 设Σ 为柱面 122 =+ yx 夹在平面 0=z 与 az = )0( >a 部分的外侧，则 ∫∫ =++ Σ dxdyzdzdxydydzx . （A） πa （B） πa2 （C） πa3 （D） πa4 （答：（B）） 4. 设Σ 为平面 132 =+− zyx 在第四卦限部分的右侧，则 ∫∫ =++ Σ dxdyzdzdxydydzx 222 . （A） ( )∫∫ +− Σ dSzyx 222 32 ； （B） ( )∫∫ +− Σ dSzyx 222 32 14 1 ； （C） ( )∫∫ −+− Σ dSzyx 222 32 ； （D） ( )∫∫ −+− Σ dSzyx 222 32 14 1 （答：（D）） 5. 设 0>a 是常数，级数∑∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +− 1 2 31ln)1( n n n a 的收敛性为 . （A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）与a有关 （答：（A）） 6. 设级数∑∞ =0n n n xa 的收敛半径 3=R ，则 必然是级数∑∞ = − 0 )1( n n n xa 的收敛域 的子集. （A） }1,0,1,2{ −− （B） }2,1,0,1{− （C） }4,3,2,1{ （D） }5,4,3,2{ （答：（B）） 7. 常系数线性微分方程 0136 =′+′′+′′′ yyy 的通解是 =y . （答； ( )xCxCeCy x 2sin2cos 3231 ++= − ） 8. 设 )(xf 是 偶 函 数 且 周 期 为 π2 ， 它 在 ],0[ π 的 表 达 式 为 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≤< ≤≤ = ππ π x xx xf 2 ,1 2 0, )( ， )(xf 的 傅 里 叶 级 数 为 ∑∞ = + 1 0 cos 2 n n xna a ， 则 =2a . （答： 2 1 π− ） 二.（8 分）设函数 )(uf 有连续的导数且 1)1( =′f . )( yxfz += ，其中 )(xyy = 由 方程 0=− ye xy 确定. 求 0=xdx dz . 答：当 0=x 时，由方程 0=− ye xy 确定 1=y ，且 1 1 0 2 0 =−= == xx xy y dx dy ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++′= dx dyyxf dx dz 1)( 0=xdx dz 2)11)(1( =+′= f 三.（10 分）求二重积分 ∫∫ −+ D dxdyyx |1| 22 ，其中平面区域D： 1|| ≤x ， 1|| ≤y . 答： ∫∫ −+= 1 |1|4 22 D dxdyyxI ( ) ( )∫∫∫∫ ″′ −++−−= 11 1414 2222 DD dxdyyxdxdyyx ( )∫∫ −= 10 220 14 ρρρϕ π dd ( )∫∫ − −++ 11 2210 2 14 x dyyxdx 2 π= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+ 3 4 2 π 3 4−= π . 四.（8 分）设Ω 是顶点在球面 2222 )( aazyx =−++ 上的半顶角为 6 π 的内接正圆锥体，如图所示.若Ω 的 密度为常数µ ，求它对位于原点的单位质点的引力（引 力常数为G ）. 三重积分的应用，答： 0=xF ， 0=yF ， ∫∫∫= Ω µ 3r zdVGFz ∫∫∫= θππ θθθϕµ cos2 30 236020 cossin a drr r rddG πµGa ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= 2 313 . 五.（10 分）设一质量为m（kg）的物体沿着螺旋线轨道Γ ： ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = θ θ θ z y x sin cos ，θ ： 02 →π ， 向下滑动. 在滑动期间，它受到与运动方向（即Γ 的切线方向）相反的摩擦力的作用， 摩擦力的大小为重力的一半. （1）写出摩擦力函数 F G 的表达式；（2）试求物体从点 ),0,1( π2A 滑动到点 )0,0,1(B 摩擦力所做的功. 第二类曲线积分，答： （1） 摩擦力 ( )1,cos,sin 22 θθ−= mgFG 或 ( )1,, 22 xymgF −=G ， （2） ∫= Γ rdFW GG ∫ ++−= Γ θθ dzdydxmg cossin 22 ( )∫ ++= 02 22 1cossin22 π θθθ dmg mgπ2−= . 六 .（ 12 分）设函数 )(uf 有二阶连续的导数，令 22 yxu −= ，则复合函数 )( 22 yxfz −= 满足 ( ) )( 22222222 yxzyxyzxz −++=∂∂+∂∂ ， （1）证明 )(uf 满足微分方程 uff 4 1 4 1 =−′′ ；（2）求函数 )(uf .. 偏导数与微分方程， 答：（1） )(4)(2 222222 2 yxfxyxf x z −′′+−′=∂ ∂ , )(4)(2 222222 2 yxfxyxf y z −′′+−′−=∂ ∂ , 由 ( )( )22222222 yxzyxyzxz −++=∂∂+∂∂ ，得 uff 4141 =−′′ . （2）由特征方程 0 4 12 =−r ，解得 2 1±=r 解得 uf −=* ueCeCuf uu −+= −2221)( . 七.（12 分）确定幂级数∑∞ = − 1 12 n nxn 的收敛域并求该幂级数的和函数 )(xs . 1)1(lim || || lim 2 2 1 =+= ∞→+∞→ n n a a n n n n 收敛半径 1=R 在 1±=x 处级数发散，故收敛域为 )1,1(− 因 ∫x dxxs0 )( ∑ ∞ = = 1n nnx ， 故 x dxxs x∫0 )( ∑∞ = −= 1 1 n nnx ， dx x dxxsx x ∫ ∫ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 )( x xx n n −== ∑ ∞ = 11 求导得 2 0 )1( 1)( xx dxxs x −= ∫ ， 20 )1()( xxdxxs x −=∫ 再求导得 =)(xs 32 )1( 1 )1( x x x x − += ′ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − 此为上海同济大学高等数学历年期末考试试卷，由heqinghaiyan制作成PDF版本，更利于打印、查看、编辑。 如果需要其他试卷，请联系QQ961232841