中 阁 种 荃 辑
第 卷 第 期 望科 年 月
岩石节理粗糙系数 的分形估计
谢和平
中国矿业大学数力系 , 徐州 侧 中国科学院力学研究所非线性连续介质力学开放实脸实 , 北京 仪拭即
, ,
摘 要
根据传统的 曲线 , 我们建立 了节理剖面 的理论分形模型来模拟节理剖面
的粗糙性 由这个模型 , 节理的分形维数 可 以直接 由两个统计参数 和 这
里 和 分别为节理粗糙度的平均基长和平均高度 来估计 , 即
一 ’ 入
这个分形维数很强地相关于岩石节理粗糙系数 值
一
,
一
这样本文所提 出的分形
为岩石 力学中 值 的定量估计提供 了一 个新 的方
法
关键词 岩石节理
、
分形维数
、
值
、
分形估计
引 言
岩石节理很强地影响岩体变形 节理的特征主要包括它的方 向
、
范围
、
粗糙性和节理壁强
度等 其中粗糙性影响岩体的摩擦角
、
膨胀和峰剪应力 对于节理面粗糙性对变形 和破坏的
影响 , 目前 已有相 当多的研究 这些研究的 目的主要在于去估计或计算节理岩体的膨胀特性
和剪切强度 和 汇’提出了预测岩石节理峰剪强度 的一个经验公式
「 口 加 必。
这里 。 为有效法 向应力 , 必 是岩体的基本摩擦角 , 是节理壁压缩强度 在 式 中 ,
是唯一的未知量 , 需要人们去估计 定义了从 。一 的 种 值的典型 曲线 参
见后面图 , 并已被国际岩石力学学会接受为节理粗糙 度 的
示方法 后来 和
根据统计学发展了一个经验统计关系来估计这个 值
实际上 , 是一个儿何参数 , 用来表 征节理 面 的粗糙性 而 由 发展 的分
卯加的旧 收稿
国家 自然科学基金
、 国家科委重大基础理论课题 “ 非线性科学 ”项 目和煤炭科学基金资助项 目
第 期 谢和平等 岩石节理粗糙系数 的分形估计
形几何中的分形维数也可以用来描述这种粗糙性 将分形 维数与 的 自然结合来描述节
理粗糙程度最近 已有一些研究 等 , , 和 一 以及 £ 等
人网 使用分形几何的码尺方法 直接测量了节理剖面的分形维数 特别地 玩 等人 建立 了
值与分形维数相关的经验关系 然而这些研究大多数得 出非常小 的分形维数值 这个
问题可能是 由分形维数的量测方法所导致 在分形几何中 , 分形 曲线的长度定义为
五 占 五。占 一
必 是码尺 占的函数 占越小 , 所量测的粗糙性越丰富 , 曲线的长度越长 这也意 味着仅当在
分形维数量测中使用的 占足够地小时 , 一个真值 才能获得 图 给出了对于传统 岛所
量测的分形维数 氏 与它的生成步 。 一 以句
或它的码尺 句的相关性 从图 可以看出存在一
个临界码尺 鲡 或临界生成步数 刀皿
, 仅 当码 尺
占蕊‘ 或 、 被用来量测分形物体时
, 所量测
出的分形 维 数才趋 于 它 的真值 例如 图 , 仅 当
, 氏 才趋向于传统 岛分形维数的真
值 事实上 由于不同阶的码尺被使用 , 对同一
分形物体人们量测 出不 同阶大小 的分形 维数值
例如 , 对 断层 系 统 , 和 「‘
得到其分形 维数范 围是 一 而 和
份川 得到其分形维数范 围是 一
原因就是他们各 自选用不 同的量测码尺范围 一
般地说 , 量测 的码尺越小 , 分形体的细节就能更多
地被量测到 , 这样更精确的分形维数值才能被获得
所以节理剖面 的分形维数量测是一个很艰难的工
作
△令攀
占。 占。 占
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辱,
图
” 一 占
传统 岛 和量测的分形维数
氏 山 与生成步数 的关系曲线
本文建立了一个理论的分形模型来量测节理剖面的分形维数 , 便得节理 的分形维数量测
变得容易和简单 , 并且这个理论分形模型能导出一个节理粗糙系数 的分形估计
节理粗糙性的分形模型
给出分形定义为 “ 分形就是一个集合 , 这个集合的 下 维
数严格大于它的拓扑维数 ” 为了描述分形中自相似性这一基本特性 , 于 年
又提出了另一分形定义 “ 分形就是那些局部相似于它的整体的那些东西 ” 对于工程师 , 我们
可以给出一个粗略的但更易理解的分形定义 分形就是那些 比经典几何中更不规则和更粗糙
的物体 一个分形物体被放大以后 , 越来越小的粗糙性将会看到
首先考察图 所示的传统 曲线的构造 我们起始于 的单位线段 , 这个起始线
段也称为 曲线的零阶生成 或起始元 图 所示 的 二 曲线就是 曲线的生成
元 , 也称为第一阶生成 使第一阶生成中的每一直线段再类似于生成元变形 , 就得到 曲
线的第二阶生成 类似地无穷进行下去 , 最后的曲线 的 就称为传统 曲线 , 其分形
维数为 这种具有无限生成步的分形称为 “ 数学分形 ”
中 国 科 学 辑 第 卷
岩石节理是相 当粗糙的 , 是一种 自然分形 根据物理的观点 , 节理经历了从微观到宏观的
一个断裂过程 我们的研究 ’一 ’ 已经表明这个断裂过程表征出分形结构 节理在微观水平
上的粗糙性可能由岩石的沿晶和穿晶断裂所造成 , ’ 这种粗糙尺规是晶粒尺寸 而节理宏
观粗糙尺规可能是米或千米的量级 图 给出了宏观尺度下 的随机节理位形 , 可 以看 出它
统计地相似于 图 所示 的传统 曲线 , 差别仅只是前者具有从晶粒尺寸到千米范围 内有
限生成 , 而后者是具有数学上的无限生成 根据这一事实 , 我们假设节理剖面具有 曲线
的相似结构 二 为模拟 自然 中的随机节理 , 我们推广 了传统 曲线 的生成元如图 所示
这里生成元角度 可 以从 对应 二 变化到 对应 二 在这个理论模型中
, 一 一 , ,
这里 为生成元的折线数 , 。为相似 比 由分形几何 , 习, 可以决定其分形维数为
刀 一 一 ‘ ,
式中 和 分别为高阶粗糙性的统计高度和长度 从方程 可 以看 出 节理剖面 的分形 维
数可从 对应 变化到 对应
图 随机的节理剖面位形
图 传统 曲线的构造
图 用来模拟节理粗糙性的 广 义 力 曲线 的
生成元
方程 已 由计算机生成 的分形布 朗运动 曲线 图 验证 应 当指 出的是 , 对于 自然节
理 , 方程 中的 和 应 当由节理高阶粗糙性的平均高度 和平均基长 所代替 和
定义为
二 尽一
似 二 ”
其中 为高阶粗糙段数 目 其量测方法如图 所示
第 期 谢和平等 岩石节理粗糙系数 的分形估计
具有分数维数 的布朗活动
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︵划哥倾华︶蛔划
时间 任意单位
图 计算机生成的布朗运动
表 计算机生成的分形布朗曲线的 和 量测
以及分形维数估计
理理论分形维数数 预测分形维数数
加加
刃刃 丘 胶 匆匆 困困
图 方程 中 和 中 的量测
表 列出了图 所示计算机生成的分形布朗曲线的 和 量测值以及相应的分形维数
由方程 决定的分形维数能很好地与其理论值一致 这可 以说 , 本节所建立 的理论分形模
型能用来模拟像岩石节理这样的 自然分形曲线
分形 近似
众所周知 , 进行节理剪切模拟需要先对节理粗糙性进行定量估计 目前 , 人们普遍接受
和 给出的经验公式来计算 值 这个经验公式为
【 材刀圣艺 为十 , 一 ’
,
二 ,
式中 是被量测的粗糙区间数 目 , 是量测样本 区间长度 , 和 十 , 是第 和 个粗糙
高度 】介绍了他在节理强度模拟方面的研究 在他模拟中的节理剖面几何
如图 所示 , 由方程 计算的 值也列在图 中 使用前节建立的分形模型 , 直接 由方程
我们计算了图 所示的 种位形的分形维数 , 其结果见表 再由计算机回归 , 我们获得
了分形维数和 值之间的相关关系如图 所示 值相关于分形维数经验公式可 归纳
为
一 乃 ,
这意味着分形维数 确实是节理粗糙系数的一个量测 越大 , 值也越大 这就使得 由
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分形维数 一 ,
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图
,
由 用于模拟节理剪
切强度的节理剖面几何
值与其分形维数的相关曲线
表 由 创哟 模拟剪切强度所使用的 种节理剖面的分形维数
」 分形维数
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典典型 范围 曲线线
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图 典型 范围曲线
节理剖面的分形维数来预测 值成为可能
的分形估计
图 给出了 提出的典型 范围曲
线 我们使用这些曲线来检验由方程 定义的
近似 和 直接在这些曲线的高阶粗糙
性上量测 , 而分形维数由方程 计算 从所得结
果 表 可 以看 出所有 的分形 维数都大 于 此
等 由码尺方法直接量测 的分形 维数值 但是
范围 一 的分形维数 , 几乎
与 和 心 由分形量测的网
格覆盖法所得分形维数 一致
根 据方 程 所决定 的分形 维 数 , 我们 由
方程 对 种典型 范围曲线进行了
预测 , 其结果见表 图 给出 了预测 的
值和典型 范围的中心值与分形维数的关 系
曲线 , 可以看出 , 其结果是令人满意的
为进一步检验方程 给出 近似的可
第 期 谢和平等 岩石节理粗糙系数 的分形估计
表 对典型 种 范围的分形 估计
典典型 范围围 分形维数数 预测 值值
任任一 料 加入巧巧 , 〕〕
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行性 , 我们收集了由 , ” 和 等
使用的 种典型节理剖面 图 它们的
和 及分形 维数由前节给 出的方法获
得 由方程 预测的 值见表 从表
可以计算出预测 值相对其
值的最大误 差是 , 最小误差是
图 给出了预测 值与标准 值之
间的 比较 曲线 从图 和 图 可 以 看
到 本文给出的分形 近似完全可 以用
于对岩石节理剖面的 估计
中心
预测
分形维数 一
图 典型 中心值和预测 值与分形维数
之 间的关系 曲线
玛国曰
补
一 、一 声产一 , 产一、 尹 、一一 、 一
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二
一
护、、内 一、
匕
预测
才
分形维数 一图 标准 值的节理位形
取 自 等 圳 取 自 ,刃
图 预测 值和标准 值与分形维数的关系曲线
表 对 和 等使用的 种标准 值节理曲线的分形 估计
标标准 值值 分形维数 预测 值值
仪又 叨
一 ,
创刃
,
书刃
印印
中 国 科 学 辑 第 卷
结 语
岩体中的不连续面 如节理 的表面粗糙性在峰剪强度研究 中是一个重要 的 因素 , 这个表
面粗糙性能 由本文提出 的理论分析模型 —广义 曲线来模拟
, 由这个理论分 形 模 型 获
得的分形维数随节理粗糙性增加而增加 , 表 面越粗糙
, 其分形 维数就越大 分形 维数能定量
地刻画节理的粗糙程度
根据本文建立的理论分形模型 , 我们得到 了 值与分形 维数之 间的经验公式 , 并且 已
成功地应用于对一些节理剖面的 值的估计
在本文的分形分析 中 , 当给定一个节理剖面 , 仅需要测定 两个 统计参数 和 节理 高
阶粗糙性的平均基长和平均高度 就可 以计算其分形 维数和估计 值 这使得岩石节理
的分形分析 比已报道的其他分形量测方法 卜“ 更加简单和容易 研究结果也表明本文提出的
分形分析方法提供了岩石节理 值定量估计的一个新方法
参 考 文 献
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