第二十一章 回转壳
第二十一章 回转壳
§21-1 中面的几何性质
以回转面为中面的薄壳称为回转壳。
回转面:回转面是平面曲线绕其平面内某一轴回转而成,平面曲线上任一点回转而成的圆周,如圆周
,称为平行圆或纬线。平面曲线在回转时的任一位置,例如
,称为子午线或经线。子午线所在的平面如
,称为子午面。纬线和经线是回转面的主曲率线,所以我们取纬线和经线为坐标线,以任意一点
处的中面法线与回转轴而成的角为该点的
坐标,以该点处的子午面与某一基准子午面
所成的角为该点的
坐标。
这样,中面在
点
的法线,被邻近一点
处的法线所截的一段长度
,就是
,中面在
点
的法线被回转轴所截的一段长度
,就是
,因为这个法线和邻近一点
处的法线相交在
。当然,中面在
方向和
方向的曲率就是
,
(21-1)
在
点,
方向的微分弧长是
,
方向的微分弧长是
。因此,中面在
及
方向的拉密系数为
,
(21-2)
注意
、
、
、
、
、
都只是
的函数,不随
变化,可见科达齐条件(19-12)中的第一式
自然满足,而第二式
成为
,也就是
(21-3)
也可很据(21-2)中的第二式改写成为
(21-4)
高斯条件(19-11),
则成为
,积分以后得出
注意,在
处,
将取极值,
应当成为零,可见
,而上式成为与(21-3)式相同。利用(21-3)式或(21-4)式,可以使后面的某些运算得到简化。
§21-2 回转壳的无矩理论
在P245,无矩理论的平衡方程(19-30):
令
,
,
,
利用公式(21-3),得回转壳的无矩理论平衡方程如下:
(21-5)
、
、
分别为经线方向(
方向),纬线方向(
方向),法线方向(
方向)的荷载,都是
及
的已知函数;
及
分别为经线方向及纬线方向的拉压力,
为经线及纬线方向的平错力,都是
及
的未知函数。
由(21-5)中的第三式解出
,得
(21-6)
再代入前二式,得
(21-7)
引入两内力函数
及
,命
,
(21-8)
代入(21-7)利用(21-4)式
即得
(21-9)
(21-10)
将两式分别对
及
求导,然后相减,再除以
,得出仅含
的微分方程(消去
)
(20-11)
其中
(21-12)
于是按照无矩理论求解回转壳的内力,可以如下进行:
在薄壳的无矩理论弹性方程中,
,
,
,
利用(21-3)或(21-4),得回转壳无矩理论的弹性方程
(21-13)
从前两式中消去
,并利用(21-6)式消去
,保留(21-13)中的第三式,得
(21-14)
引入两位移函数
及
,命
,
(21-15)
则方程(21-14)成为
(21-16)
消去
,
两式相减后,再除以
,得出仅含
的微分方程
(21-17)
其中
(21-18)
引入微分算子
(21-19)
则微分方程(21-11)及(21-17)可以简写为如下的形式
(21-20)
(21-21)
具有完全相同的形式。
§21-3 轴对称问
的无矩计算
如果回转壳所受的约束和荷载都是绕回转轴对称的,则其内力及位移都将是绕回转轴对称的。轴对称荷载的表达式是
,
,
(a)
轴对称内力表达式是
,
,
(b)
则
,
。于是(21-10)式总能满足,方程(21-9)简化为
对
积分,得到
(c)
其中
是任意常数,而积分下限
可以根据计算的方便任意选择,通常都使其等于上边界的
坐标,如下图所示。
则据(c)和(21-8)中的第一式,得到经线方向的拉压力为
(d)
命
、
,经线方向的拉压力为
,如下图所示,由(d)得到
。
代回式(d)即得
(21-22)
由(21-6)
得
(21-23)
如果回转壳的顶部是闭合的,则
而(21-22) (21-23)简化为
(21-24)
(21-25)
在顶点,
,上两式成为不定式,因而不易求得
、
。但是,只要中面是平滑曲面,则在该处的经向和纬向将合而为一,因而有
,
于是得
,得到
(21-26)
公式(21-22)可以用另一形式的公式来代替。命荷载合力为
,则由轴对称方向的平衡条件有
其中的
是以沿
的正向时为正,以沿
的负向时为负。由此得
(21-27)
当
(21-28)
现在讨论位移。位移也是轴对称的,即
,
,则由(20-15)得
,
。再参阅(b)式(
,
,
),可见(21-16)中的第二式为恒等式,而第一式简化为
对
积分,代入(21-15)中的第一式,得经线方向位移
(21-29)
§21-4 容器回转壳的无矩计算
例1.轴对称问题的计算实例:受有均布内压力
的闭合容器回转壳,如下图
将
,
代入(21-24)
中,并利用(21-4)柯达齐条件,得到
(21-30)
并由(21-6)(
)式得到
(21-31)
如果回转壳有圆球壳部分,半径为
,则
,于是由上两式得
,
(21-32)
如果回转壳具有圆柱壳部分,其半径为
,则
,于是
,
(21-33)
由于这种薄壳没有边界,如果薄壳的斜率和曲率都没有突变之处,则无矩状态得以实现,内力解答就能符合实际情况。但在制造上有困难(P304页)。
1) 冲压,模锻塑性弯曲理论
(1) 回弹部分,回弹率
(2) 皱曲问题(余同希等人)
2) 磁成型技术(未接触式)
如图所示,圆盖为半椭球壳,其半轴为a及b,
则其经线方向和纬线方向的曲率半径分别为
代入(21-30)及(21-31)式得到
(a)
(b)
可见,
总为正,
在顶点:
,
,
在与圆柱壳连接处:
,
,
当
时,
是负的
与圆盖相连接的圆柱壳部分,
,
,可见,圆盖与圆柱壳二者在连接处
总相同,
总是不同的,故环向正应变或法向位移不可能相同;二者相互约束,必然出现局部弯曲应力。
例2.如图所示锥壳,求无矩内力
角成为常量,对锥壳上任意一点
,以
为它的坐标,由图可见,经线和纬线方向的曲率半径为
,
为避免对
积分,我们不用(21-24),而改用(21-28)(
)求
:
其中
为液体的容重,合力
为
的重量,注意
得
(d)
代入到(21-6)(
),注意
,
得到
求极值:
令
得到
令
得到
§21-5 顶盖回转壳的无矩计算
1. 内力分析
考虑如图所示的顶盖球壳
每单位面积上所受的铅直荷载为常量
,则经线方向及法线方向的荷载分量分别为
,
(a)
代入到(21-24),命
得
(21-34)
代入(21-6)得
(21-35)
可见
总为负的(压力)。
由负变正
,当
时
,所以球壳内不发生拉力,必须使
。
如球壳不受法向约束和转动约束,无矩状态得以实现,而以上算出的无矩内力可以正确反映实际情况。
2. 位移分析
轴对称荷载的无矩理论,经线方向位移为
将式(a)及(21-34)中的
代入,得到
积分以后,得到
(b)
位移边界条件
(简支边界)求出
代入(b)即得
(21-36)
在轴对称情况下,(21-13)中的第二式简化为
将(21-34)至(21-36)三式代入,并命
即得法向位移
(21-37)
3. 应用
球壳作为屋顶时,为了避免支承墙受到水平推力,通常都在球壳的边缘上安置支承环,这样支承墙只受铅直力,大小等于支承环受墙顶所施的反力
。根据支承环的
部分在铅直方向的平衡条件,有
从而得到上述反力为
支承环
部分在水平方向的平衡条件为
于是得
由于球壳和支承环在互相连接处形变位移都不相同,在该处则会出现局部的弯曲内力。
§21-7 球壳的轴对称弯曲
讨论球壳的轴对称弯曲问题,因为该问题工程上比较常见。
在薄壳的平衡微分方程(19-22)中,命
,
,
在轴对称情况下有
,而且内力
、
、
、
、
都不随
变化。平衡方程化简为(第二,第四式成为恒等式):
(21-38)
为简化计算求解,这里用较复杂的几何方程(19-17)。在方程(19-17)中命
,
,
,并在轴对称情况下有
而且
和
不随
变化,则几何方程简化为
,
(a)
,
(b)
在薄壳的物理方程(19-19)中,第三及第六成为恒等式,只剩下
,
(c)
,
(b)
在(a)、(b)、(c)、(d)中消去形变
、
、
、
得出弹性方程为
(21-39)
拉以斯讷提出混合法:力+位移
1) 基本未知函数
和
(中面法线绕
坐标线的转角)
(21-40)
2) 把
、
用
表示
(21-41)
3) 把
、
用
表示
由平衡方程第一式解出得
(e)
代入(21-38)中的第二式,并同乘
,写成
假定球壳顶部无孔洞,将上式对
积分,从0到
,得到
即
于是
(21-42)
代入(e),即可将
用
来表示
(21-43)
为了导出
和
的微分方程,首先将(21-41)式代入(21-38)中的第三式,得出
(21-44)
其次,将弹性方程前两式相减,消去
得出
(f)
并将(21-39)中的第二式对
求导,得出
(g)
再从式(f)及(g)中消去
,得出
最后再将(21-42)及(21-43)式代入,并利用(21-40)即得
(21-45)
方程(21-44)和(21-45)就是混合法的基本微分方程。在边界条件下,由这两个微分方程求解出
和
,进一步可求出
和
以及把
和
。
§21-8 球壳轴对称弯曲问题的简化解答
分析球壳在自成平衡的轴对称边界力作用下的弯曲
由于
、
,所以(21-42)及(21-43)简化为
,
(a)
微分方程(21-45)简化为
(b)
微分方程(21-44)可写成相似的形式
(c)
将式(b)中的
代入式(c),或将式(c)中的
代入式(b),得出
或
的四阶常微分方程,可以在边界条件下求解
或
,然后在求出内力
、
、
、
。
这样得出的解答,只能表示成为无穷级数的形式,而且对于工程上常见的薄壳,级数收敛很慢,不便应用。但是,由这样的级数解答,可见
和
有如下的特征:
,
在离壳顶较远而离边界较近之处,通常
因而
,于是可以采用施塔耶尔芒在1924年和盖开勒在1926年分别提出的办法,略去
、
、
、
,则(b)(c)简化为
,
(d)
从二式中消去
得
引用无因此的常数
(21-46)
则上列微分方程变换为
(e)
显然
。
为了进一步简化解答,用
角来代替
角作为自变量,利用变换式
(21-47)
可将微分方程(e)变换为
把这一微分方程的解取为
其中
、
、
、
是任意常数,
为较大的数字而
是局部性的(它随这
的增大而消减),可见
,而上列解答简化为
(f)
由(d)中的第一式可以求得
(g)
在(21-41)中,注意
,即可有(g)求得
(h)
(i)
现在由边界条件求出
、
。边界条件是
,
将式(h)及式(f)代入,得到
,
也就是
,
求出
和
代入到(f)、(g)、(h)三式得到
(j)
(k)
(l)
按照式(a),可以由式(j)求得
及
(m)
(n)
另外,以上内力按照(20-20)
所示的特殊函数表示为
(21-48)
在实际计算中,首先算出
和
,而
和
须根据薄壳在它们的作用方向的位移条件来确定。薄壳在
作用方向的位移是边界条件处的转角,即
由式(k)可见其为
(21-49)
薄壳在
作用方向的位移,是边界半径的改变,即
将
及
带入得到代入,得到
由于
是较大的数字而
不会是很小的数字,
与
相比,可以略去不计。因此,上式可以简写为
(21-50)
§21-9 球壳的简化计算
设有一边界固定的球壳,受均布压力
,如下图所示
可见这一问题中,无矩内力为
, (a)
下面求相应的中面位移,在(21-29)中命
,
,
,得到
边界条件为
得出
,因此有
(b)
将(a)及(b)代入到(21-13)中的第一式,得中面法向位移为
(c)
故在无矩状态下:
中面在经线方向的位移:
中面在法向的位移:
边界处的转角:
(d)
边界半径的改变:
(e)
实际上,由于边界固定,边界处将发生弯矩
及水平反力
。
实际情况=无矩状态+边缘效应
:
:
求解
及
,得出
,
(f)
然后将(f)代入到表达式(21-48),得出边界约束引起的附加内力,即所谓边缘效应(内力=无矩内力+边缘效应)。
利用表20-1,极易由这些表达式求得球壳的内力。
习题:
21-1
解:对于球壳部分:
,
对于柱壳部分:
,
1).按照材料强度有
2).按照无矩理论的条件有
(或者
)
_1258098676.unknown
_1258103445.unknown
_1258108728.unknown
_1258114301.unknown
_1258119790.unknown
_1258120965.unknown
_1258136073.unknown
_1258178954.unknown
_1258179629.unknown
_1258180063.unknown
_1258180477.unknown
_1258179641.unknown
_1258179519.unknown
_1258136203.unknown
_1258136215.unknown
_1258136381.unknown
_1258136410.unknown
_1258136562.unknown
_1258136347.unknown
_1258136140.unknown
_1258136081.unknown
_1258123838.unknown
_1258124502.unknown
_1258124516.unknown
_1258123943.unknown
_1258124187.unknown
_1258124233.unknown
_1258123987.unknown
_1258123861.unknown
_1258121369.unknown
_1258122340.unknown
_1258121487.unknown
_1258122306.unknown
_1258121033.unknown
_1258121185.unknown
_1258121011.unknown
_1258120623.unknown
_1258120702.unknown
_1258120777.unknown
_1258120678.unknown
_1258120017.unknown
_1258120411.unknown
_1258119865.unknown
_1258117940.unknown
_1258119582.unknown
_1258119733.unknown
_1258119765.unknown
_1258119701.unknown
_1258118142.unknown
_1258118298.unknown
_1258118074.unknown
_1258115225.unknown
_1258117939.unknown
_1258117897.unknown
_1258117908.unknown
_1258114927.unknown
_1258115150.unknown
_1258114450.unknown
_1258109898.unknown
_1258114037.unknown
_1258114119.unknown
_1258114132.unknown
_1258114086.unknown
_1258113896.unknown
_1258113930.unknown
_1258113655.unknown
_1258113835.unknown
_1258113855.unknown
_1258113697.unknown
_1258109972.unknown
_1258108803.unknown
_1258108919.unknown
_1258108946.unknown
_1258108864.unknown
_1258108739.unknown
_1258108774.unknown
_1258108732.unknown
_1258106502.unknown
_1258107416.unknown
_1258108379.unknown
_1258108525.unknown
_1258108714.unknown
_1258108462.unknown
_1258108181.unknown
_1258108283.unknown
_1258107435.unknown
_1258107160.unknown
_1258107291.unknown
_1258107302.unknown
_1258107280.unknown
_1258106635.unknown
_1258106648.unknown
_1258106513.unknown
_1258104807.unknown
_1258105612.unknown
_1258106455.unknown
_1258106472.unknown
_1258106345.unknown
_1258105273.unknown
_1258105585.unknown
_1258105257.unknown
_1258103726.unknown
_1258104146.unknown
_1258104760.unknown
_1258104064.unknown
_1258103612.unknown
_1258103624.unknown
_1258103540.unknown
_1258101655.unknown
_1258102376.unknown
_1258102871.unknown
_1258103006.unknown
_1258103222.unknown
_1258103342.unknown
_1258103167.unknown
_1258102902.unknown
_1258102429.unknown
_1258102705.unknown
_1258102850.unknown
_1258102865.unknown
_1258102620.unknown
_1258102681.unknown
_1258102687.unknown
_1258102599.unknown
_1258102399.unknown
_1258102412.unknown
_1258102388.unknown
_1258101984.unknown
_1258102154.unknown
_1258102183.unknown
_1258102193.unknown
_1258102173.unknown
_1258102008.unknown
_1258102036.unknown
_1258102004.unknown
_1258101867.unknown
_1258101936.unknown
_1258101938.unknown
_1258101868.unknown
_1258101806.unknown
_1258101866.unknown
_1258101786.unknown
_1258100715.unknown
_1258101453.unknown
_1258101582.unknown
_1258101639.unknown
_1258101647.unknown
_1258101594.unknown
_1258101481.unknown
_1258101564.unknown
_1258101472.unknown
_1258101058.unknown
_1258101185.unknown
_1258101219.unknown
_1258101096.unknown
_1258100960.unknown
_1258100978.unknown
_1258100777.unknown
_1258099417.unknown
_1258100070.unknown
_1258100514.unknown
_1258100627.unknown
_1258100254.unknown
_1258099851.unknown
_1258099983.unknown
_1258099548.unknown
_1258099829.unknown
_1258098918.unknown
_1258099167.unknown
_1258099406.unknown
_1258099086.unknown
_1258098732.unknown
_1258098907.unknown
_1258098687.unknown
_1257944925.unknown
_1257949197.unknown
_1258097374.unknown
_1258098009.unknown
_1258098373.unknown
_1258098580.unknown
_1258098652.unknown
_1258098383.unknown
_1258098280.unknown
_1258098292.unknown
_1258098017.unknown
_1258097759.unknown
_1258097937.unknown
_1258097947.unknown
_1258097772.unknown
_1258097571.unknown
_1258097709.unknown
_1258097553.unknown
_1258095604.unknown
_1258096436.unknown
_1258096479.unknown
_1258096489.unknown
_1258095998.unknown
_1258096364.unknown
_1258096407.unknown
_1258096276.unknown
_1258095894.unknown
_1258094960.unknown
_1258095595.unknown
_1258095214.unknown
_1258095357.unknown
_1257949382.unknown
_1257949396.unknown
_1257949371.unknown
_1257947915.unknown
_1257948739.unknown
_1257948910.unknown
_1257948996.unknown
_1257949186.unknown
_1257948982.unknown
_1257948852.unknown
_1257948901.unknown
_1257948766.unknown
_1257948421.unknown
_1257948448.unknown
_1257948461.unknown
_1257948440.unknown
_1257948132.unknown
_1257948294.unknown
_1257947977.unknown
_1257945181.unknown
_1257947487.unknown
_1257947801.unknown
_1257947900.unknown
_1257947878.unknown
_1257947690.unknown
_1257947355.unknown
_1257947478.unknown
_1257947302.unknown
_1257947193.unknown
_1257945104.unknown
_1257945124.unknown
_1257945169.unknown
_1257945114.unknown
_1257945075.unknown
_1257945085.unknown
_1257945062.unknown
_1257681445.unknown
_1257943788.unknown
_1257944269.unknown
_1257944595.unknown
_1257944785.unknown
_1257944837.unknown
_1257944614.unknown
_1257944407.unknown
_1257944547.unknown
_1257944283.unknown
_1257944134.unknown
_1257944173.unknown
_1257944182.unknown
_1257944151.unknown
_1257943852.unknown
_1257943990.unknown
_1257943795.unknown
_1257943289.unknown
_1257943455.unknown
_1257943551.unknown
_1257943780.unknown
_1257943331.unknown
_1257943348.unknown
_1257943378.unknown
_1257943317.unknown
_1257943207.unknown
_1257943250.unknown
_1257943277.unknown
_1257943215.unknown
_1257943172.unknown
_1257943193.unknown
_1257943024.unknown
_1257614659.unknown
_1257615112.unknown
_1257615837.unknown
_1257615908.unknown
_1257681443.unknown
_1257681444.unknown
_1257681422.unknown
_1257615863.unknown
_1257615524.unknown
_1257615659.unknown
_1257615121.unknown
_1257615029.unknown
_1257615088.unknown
_1257615100.unknown
_1257615076.unknown
_1257614763.unknown
_1257614796.unknown
_1257614673.unknown
_1257523385.unknown
_1257596177.unknown
_1257613684.unknown
_1257614099.unknown
_1257614593.unknown
_1257614641.unknown
_1257614430.unknown
_1257613878.unknown
_1257614080.unknown
_1257613717.unknown
_1257613783.unknown
_1257599622.unknown
_1257601873.unknown
_1257608178.unknown
_1257608308.unknown
_1257611172.unknown
_1257612250.unknown
_1257612462.unknown
_1257613591.unknown
_1257612461.unknown
_1257612146.unknown
_1257608874.unknown
_1257610704.unknown
_1257608198.unknown
_1257603347.unknown
_1257603877.unknown
_1257604271.unknown
_1257603300.unknown
_1257601228.unknown
_1257601831.unknown
_1257601110.unknown
_1257598844.unknown
_1257599154.unknown
_1257599188.unknown
_1257598968.unknown
_1257596293.unknown
_1257597092.unknown
_1257596251.unknown
_1257581249.unknown
_1257594381.unknown
_1257595396.unknown
_1257596096.unknown
_1257596140.unknown
_1257595690.unknown
_1257594806.unknown
_1257595202.unknown
_1257594705.unknown
_1257583182.unknown
_1257594149.unknown
_1257594258.unknown
_1257581625.unknown
_1257582084.unknown
_1257582995.unknown
_1257581289.unknown
_1257578086.unknown
_1257579839.unknown
_1257580611.unknown
_1257580791.unknown
_1257581036.unknown
_1257580007.unknown
_1257578911.unknown
_1257578943.unknown
_1257578215.unknown
_1257577773.unknown
_1257577781.unknown
_1257578076.unknown
_1257532387.unknown
_1257576164.unknown
_1257523410.unknown
_1257517799.unknown
_1257518848.unknown
_1257519093.unknown
_1257522775.unknown
_1257522975.unknown
_1257519115.unknown
_1257518931.unknown
_1257518262.unknown
_1257518517.unknown
_1257518162.unknown
_1257517373.unknown
_1257517489.unknown
_1257517725.unknown
_1257517444.unknown
_1257517325.unknown
_1257516865.unknown
_1257516884.unknown