[物理]大学物理学知识总结

[物理]大学物理学知识总结 大学物理学知识总结 第一篇 力学基础 质点运动学 一、描述物体运动的三个必要条件 ,1,参考系,坐标系,,由于自然界物体的运动是绝对的,只能在相对的意义上讨论运动,因此,需要引入参考系,为定量描述物体的运动又必须在参考系上建立坐标系。 ,2,物理模型,真实的物理世界是非常复杂的,在具体处理时必须分析各种因素对所涉及问的影响,忽略次要因素,突出主要因素,提出理想化模型,质点和刚体是我们在物理学中遇到的最初的两个模型,以后我们还会遇到许多其他理想化模型。 质点适用的范围, lr1.物体自身的线度远远小于物体运动的空间范围 2.物体作平动 如果一个物体在运动时,上述两个条件一个也不满足,我们可以把这个物体看成是由许多个都能满足第一个条件的质点所组成,这就是所谓质点系的模型。 如果在所讨论的问题中,物体的形状及其在空间的方位取向是不能忽略的,而物体的细小形变是可以忽略不计的,则须引入刚体模型,刚体是各质元之间无相对位移的质点系。 ,3,初始条件,指开始计时时刻物体的位置和速度,,或角位置、角速度,即运 动物体的初始状态。在建立了物体的运动方程之后,若要想预知未来某个时刻物体的位置及其运动速度,还必须知道在某个已知时刻物体的运动状态,即初台条件。 二、描述质点运动和运动变化的物理量 r,1,位置矢量,由坐标原点引向质点所在处的有向线段,通常用示,简称位矢或矢径。 在直角坐标系中 r,xi，yi，zk 在自然坐标系中 r,r(s) 在平面极坐标系中 r,rr0 ,2,位移,由超始位置指向终止位置的有向线段,就是位矢的增量,即 ,r,r,r21 位移是矢量,只与始、末位置有关,与质点运动的轨迹及质点在其间往返的次数无关。 ,s路程是质点在空间运动所经历的轨迹的长度,恒为正,用符号表示。路程的大小与质点运动的轨迹开关有关,与质点在其往返的次数有关,故在一般情况下, ,r,,s ,t,0但是在时,有 dr,ds vv,3,速度与速率, 平均速度 ,rv, ,t 平均速率 ,sv, ,t 平均速度的大小,平均速率, ,r,sv,, ,t,t t质点在时刻的瞬时速度 drv, dt t质点在时刻的速度 dsv, dt 则 drdsv,,,v dtdt 在直角坐标系中 dxdydzv,i，j，k,vi，vj，vkxyzdtdtdt dxdydzvvv,,,,,式中 ,分别称为速度在x轴,y轴,z轴的分量。 xyzdtdtdt 在自然坐标系中 v,v,0 ,0 式中是轨道切线方向的单位矢。 vr位矢和速度是描述质点机械运动的状态参量。 ,4,加速度, 2dvdra,,2dtdt 加速度是描述质点速度变化率的物理量。 在直角坐标系中 222dvdvdvdxdydzyxza,i，j，k,i，j，k,ai，aj，akxyz222dtdtdtdtdtdt 222dvdvdvdxdydzyxz式中 , ,,分别称为加速度在aaa,,,,,,xyz222dtdtdtdtdtdtx轴、y轴,z轴的分量。 在自然坐标中 2dvv,a,，n,a，a00xn,dt 2dvv,a,,a,n式中,是加速度a是轨道切线方向和法线方向的分量式。 ,0n0,dt 3、运动学中的两类问题,以直线运动为例, ,1,已知运动方程求质点的速度、加速度,这类问题主要是利用求导数的方法, 如已知质点的运动方程为 x,x(t) 则质点的位移、速度、加速度分别为 2dxdvdx,x,x,x;v,;a,,212dtdtdt ,2,已知质点加速度函数 a,a(x,v,t) 以及初始条件,建立质点的运动方程,这类问题主要用积分方法。 设初始条件为,t=0时,v,v,x,x 00 dv若a,则因a, ,,a(t)dt vt所以 dv,a(t)dt,,0v0 即 t v,v，a(t)dt0,0 dv,a(v)若,则因, a,a(v)dt vtdv所以, ,dt,,0v0()av vdv求出t,再解出,即可求出运动方程。 ,v,v(t),v0a(v) dva,v,a(x)若,是因,有 a,a(x)dx Vx vdv,a(x)dx,,Vx00 4、曲线运动中的两类典型 抛体运动 yx若以抛出点为原点,水平前进方向为轴正向,向上方为轴正向,则 ,1,运动方程为 t,xvcosθ,0,1,2y,vsin,t,gt0,,2 ,2,速度方程为 ,,vcosv,x0,sin,v,v,gty0, v,0,3,在最高点时,故达最高点的时间为 y sin,v0 ,tHg 所以射高为 2vsin2,0,H 2g 飞得总时间 T,2tH 水平射程 2vsin2,0R, g ,4,轨道方程为 g2,yxtanx,,22(vcos,)0 圆周运动 ,1,描述圆周运动的两种方法, 线量 角量 dr,ds,d,0 dsd,v,v,,,,,00dtdt 2222dddvvdsv,,a,，n,，n,,,,,000022dtdtdtRdtR 线量与角量的关系, ,dr,Rd v,R, 2a,R,,a,R,,n ,,2,匀角加速,即=常数,圆周运动,可与匀加速直线运动类比,故有 ,,,，,t0 12tt,,,，,，,002 22,,,,2,(,,,)00 a,x,3,匀变速率,即常数,的曲线运动:以轨道为一维坐标轴,以弧长为坐标,亦可与匀加速直线运动类比而有 v,v，at0x 12ssvtat,，，,002 22v,v,2a(s,s)0,0 ,4,匀速率圆周运动,即a,0, , 在直角坐标系中的运动方程为: ,x,Rcost, ,sin,v,Rty, 轨道方程为, 22R,x，y 5、刚体定轴转动的描述 ,1,定轴转动的角量描述,刚体在定轴转动时,定义垂直于转轴的平面为转动平面,这时刚体上各质点均在各自的转动平面内作圆心在轴上的圆周运动。 在刚体中任选一转动平面,以轴与转动平面的交点为坐标原点,过原点任引一条 r,i射线为极轴,则从原点引向考察质点的位矢与极轴的夹角即为角位置,于是 ,,一样可引入角速度,角加速度,即对质点圆周运动的描述在刚体的定轴转动中依然成立。 ,2,刚体定轴转动的运动学特点, 角量描述共性——即所有质点都有相同的角位移、角速度、角加速度, 线量描述个性——即各质点的线位移、线速度、线加速度与质点到轴的距离成正比。 作定轴转动的刚体同样存在两类问题,即已知刚体定轴转动的运动方程求角速度、角加速度,已知刚体定轴转动的角加速度的函数及初始条件,求运动方程。 6、相对运动的概念 ,1,只讨论两个参考系的相对运动是平动而没有转动的情况。 ,设相对于观察者静止的参考系为S,相对于S系作平动的参考系为S,则运动 ,S物体A相对于S系和系的位矢、速度、加速度变换关系分别为, r,r，r,,ASASSS v,v，r,,ASASSS a,a，a,,ASASSS ,S,2,上述变换关系只在低速,即,运动条件下成立,如果系相对于Sv,,c 系有转动,则速度变换关系亦成立,而加速度变换关系不成立。 质点动力学 牛顿运动定律 第一定律,惯性定律,,任何物体都保持静止的或沿一直线作匀速运动的状态,直到作用在它上面的力迫使它改变这种状态为止。 原来静止的物体具有保持静止的性质,原来运动的物体具有保持运动的性质,因此我们称物体具有保持运动状态不变的性质称为惯性。 一切物体都具有惯性,惯性是物体的物理属性,质量是惯性大小的量度。 惯性大小只与质量有关,与速度和接触面的粗糙程度无关。 质量越大,克服惯性做功越大,质量越小,克服惯性做功越小。 第二定律,运动的变化与所加的动力成正比,并且发生在这力所沿的直线方向上 即, ,,dp,,F,p,mvdt, 当物体低速运动,速度远低于光速时,物体的质量为不依赖于速度的常量,所以有 ,,dp,,F,p,mvdt, 这也叫动量定理。 在相对论中F=ma是不成立的,因为质量随速度改变,而F=d(mv)/dt依然使用。 在直角坐标系中有 , F,maF,maF,mayyxxzz, , 在平面曲线运动有 , F,maF,mattnn, 第三定律,对于每一个作用总有一个相等的反作用与之相反,或者说,两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等的,而且指向相反的方向,即 ,,F,,F1221 适用范围, ,1,只适用于低速运动的物体,与光速比速度较低,。 ,2,只适用于宏观物体,牛顿第二定律不适用于微观原子。 3,参照系应为惯性系。 , 常见的几种性质力 万有引力 存在与宇宙万物之间的力,它使行星围绕太阳旋转,万有引力大小,F=G×m1m2/r^2,其中G为万有引力常量。 重力 地球有一种奇异的力量,它能把空中的物体向下拉,这种力叫做“重力”。重力的大小叫重量。如果同样的物体到了北极或南极,它的重量也将发生改变。重力是地球与物体间万有引力的一个分力,方向指向地心,另一个分立则为物体随地球一起旋转时的向心力。 弹力 物体发生弹性形变时产生的力。 摩擦力 相互接触的两个物体,当他们要发生相对运动时,摩擦面就产生阻碍运动的力。摩擦力一定要阻碍物体的相对运动,并产生热。 摩擦力分为静摩擦力、活动摩擦力和湿摩擦力。 非惯性系与惯性力 质量为m的物体,在平动加速度为a的参照系中受的惯性力为 0 ,,F,,ma00 在转动角速度为,的参照系中,惯性离心力为 ,2ˆF,mr,r0 功 和 能 功的定义 质点在力F的作用下有微小的位移dr,或写为ds,,则力作的功定义为力和 位移的标积,即 ,,,dA,F,dr,Fdrcos,,Fdscos, 对质点在力作用下的有限运动,力作的功为 ,b,A,F,dr,a 在直角坐标系中,此功可写为 bbbA,Fdx，Fdy，Fdzxyz,,,aaa 恒力的功, WFrFr,,,,,cos, 保守力的功, F,dr,0,L 功率, dw pFvFv,,,cos, dt 动能定理,惯性系中, 质点动能定理,合外力对质点作的功等于质点动能的增量。 1122A,mv,mv022 质点系动能定理,系统外力的功与内力的功之和等于系统总动能的增量。 A，A,E,EKK外内0 机械能,E=E+E kp 势能,保守力功等于势能增量的负值, A,,,E,,(E,E)pP2p1保 E,0p0ExyzFr(,,)d,,p,E,0Axyz(,,)p0 物体在空间某点位置的势能, 万有引力势能, Mmr,,EG,,,为零势能参考位置 p0r 重力势能, E,mgh , h=0处为势能零点 p 弹簧弹性势能, 12,Ekx 以弹簧的自然长度为势能零点 p2 功能原理, A，A,,E，,E,,Ekp外力非保守内力 即,外力的功与非保守内力的功之和等于系统机械能的增量。 机械能守恒定律 外力的功与非保守内力的功之和等于零时,系统的机械能保持不变。即 当A，A,0时，E，E,常量KP外非保内 冲量和动量 ,t2t,t12F称为在时间内,力对质点的冲量。 I,Fdt,t1 vmPmv,质量与速度乘积称动量 质点的动量定理 物体在运动过程中所受合外力的冲量,等于该物体动量的增量 t2IFdtmvmv,,,21,t1 t 2I,Fdt,mv,mvxx2x1x,t1 t2I,Fdt,mv,mvyy2y1y,t1 t2I,Fdt,mv,mvzz2z1z,t1 质点的动量定理的分量式, nnnt2exFdtmvmvPP,,,,,,,,000iiiit1 质点系的动量定理,iii质点系的动量定理分量式, IPP,,,xxox , IPP,,,yyoy ,IPP,,zzoz,dt动量定理微分形式,在时间内, dPFdtdPF, =或dt 动量守恒定理 当系统所受合外力为零时,系统的总动量将保持不变,称为动量守恒定律 nnn 则恒矢量mvmv==FF=0,,,,,00外iiiii,1i ii ,若则　恒量 0,FmvC,,，，,xiix1, i,,若则恒量 FmvC,,0,，，,,yiiy2i,动量守恒定律分量式, ,若则恒量 FmvC,,0,，，,ziiz3,i, L,r，p,mr，v质点的角动量, 力矩, M,r，F 质点的角动量定理, t2Mdt,L,L21,t1 质点的角动量守恒定律, , L,mr，v,0M,0 质点系的角动量,L,L ,i 力矩, M,r，F 质点系的角动量定理, , dL,M合外dt 质点系的角动守恒定律, M,0若,则恒矢量 L,合外 刚体力学基础 刚体,在受外力作用时形状和体积不发生改变的物体。 (1) 刚体是固体物件的理想化模型。 (2) 刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点叫做刚体的一个质元。 (3) 刚体这个质点系的特点是,在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。 自由度,完全确定一个物体的空间位置,所需要的独立坐标数目。 1、质点的自由度 (,,)xyz在空间自由运动的质点,它的位置用三个独立坐标确定。 当质点的运动受到约束时,自由度会减少。 2、质点系的自由度 N个自由质点组成的指点系,每个质点的坐标各自独立,其自由度为3N。 3、刚体的转动自由度 刚体是一种特殊的指点系,运动过程中各质元之间的相对位置总是保持不变。 确定刚体质心的空间位置需要3个坐标变量x,y,x,有3个平动自由度,t=3,, ,,,确定刚体转轴的方向,需要2个坐标变量,确定刚体绕转轴转过的角度,需 ,要1个坐标变量,一共具有3个转动自由度,r=3,。 最终,刚体位置的确定共需要6个自由度,i=t+r=6。 刚体的运动形式, 1、平动, 如果刚体在运动中,连结体内任意两点的直线在空间的指向总保持平行,这样的运动就叫平动。 刚体平动时,刚体内各质元的运动轨迹都一样,而且在同一时刻的速度和加速度都相等。因此,在描述刚体的平动时,可以用一点的运动来代表,通常就用刚体的质心的运动来代表整个刚体的平动。最多有3个自由度。 2、转动, 定轴转动,刚体的各质元均做圆周运动,而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上的运动,称定轴转动。这条固定的直线叫转轴。定轴转动最多有1个转动自由度。 定点转动,刚体绕某一固定点,但转轴方向不固定的运动。确定转轴的方向,需要2个坐标量,确定刚体绕转轴转过的角度,需要1个坐标量,一共具有3个转动自由度。 3、平动和转动的结合, 刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动的结合。如车轮的进动。最多有6个自由度。 刚体定轴转动的运动学描述 刚体绕某一固定轴转动时,各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动,且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度相同。刚体上各质元的线速度、加速度一般是不同的,但由于各质元的相对位置保持不变,所以描述各质元运动的角量,如角位移、角速度和角加速度都是一样的。因此描述刚体的运动时,用角量最为方便。根据这一特点,常取垂直于转轴的平面为参考系,这个平面称转动平面。 ,角位置, d,角位移矢量,,方向与转动方向成右手螺旋。 角速度矢量, d,,,dt ,rad/s, 方向与转动方向成右手螺旋法则。 vr,，,线速度, r,,，v2r角速度, 角加速度矢量, d,,,2dt ,rad/s, 加速转动,角加速度与角速度方向相同,减速转动,角加速度与角速度方向相反 dddvr,,,，，，,，，，arrv,,,切向dddttt法向 arr,，,||,,,,,2,v2avr,，,,||,,n,,r 刚体的定轴转动 刚体定轴转动角动量 ,,,,,,,,,,mmmm,,,,,12in 将刚体看成许多质点元构成,质量分别为, vvvv,,,,,,,,,,,rrrr,,,,,,,,,,,12in12in距转轴的距离分别为,各自速率分别为。 第i个质点对转轴的角动量 Lrprmv,，,，,()iiiiii 整个刚体的总角动量 LLrmvmrr,,，,,,，，()(),,,,iiiiiii ，，,,,,()()()ABCACBABC22,,,mrmr(),,,,iiii 2Jmr,,,ii定义, ——刚体对于某转轴的转动惯量。 LJ,,——定轴转动的刚体的角动量,等于刚体对该转轴的转动惯量与角速度的乘积,方向沿转轴,与角速度矢量同向。 刚体定轴转动定律,力矩的瞬时作用规律, Fi 当质点受合外力时,该力对转轴的力矩, dLiMrF,，,iiidt 整个刚体受到的合外力矩, dLdddL,i,,,,,,MMLJJ,,,,iiddddtttt MJ,,——刚体定轴转动定律,定轴转动的刚体所受的合外力矩,等于刚体对 该转轴的转动惯量与角加速度的乘积。 MC,,,,,00,, 力矩平衡时, 即,固定轴转动的刚体,当它相对该转轴所受的合外力矩为零时,它将保持匀角速转动状态。——这反映了任何转动物体都有转动惯性。 刚体定轴转动的角动量定理,力矩的时间累积作用, 由刚体定轴转动定律, dLM,MtLdd,dt,即 tL22MtLLLdd,,,21,,tL11 t2Mtd,t1左边, ——力矩作用于刚体的时间累积效应,称为冲量矩。 ,,,LLL21右边, ——刚体角动量的增量。 刚体定轴转动的角动量定理,刚体在转动中所受合外力矩的冲量矩,等于刚体角动量的增量。,角动量也称为动量矩, 角动量守恒定律 当刚体所受合力矩为零时,则其定轴转动的角动量保持不变。 MLJC,,,0:, 角动量守恒定律与动量守恒定律、能量守恒定律一样都是自然界的规律。 力矩的空间累积作用 ,2W,Md,,1, 力矩作功 ,,1 12E,J,k,2, 转动动能 2 ,21122Md,,J,,J,,3, 转动的动能定理 0,1,22 定轴转动刚体的机械能守恒 只有保守力的力矩作功时,刚体的转动动能与转动势能之和为常量 12I,，mgh,常量c2 式中h是刚体的质心到零势面的距离。 c 转动惯量的定义 ——刚体绕轴转动惯性的量度 1、分立质点系组成的刚体, 2Jmr,,,ii 转动惯量等于刚体中每个质点的质量与该质点到转轴的距离平方之积的总和。 2、连续刚体, 2,rV,d——体密度分布,,,22JrmrS,,dd——面密度分布,,,,,2rld——线密度分布,,,, 转动惯量的物理意义及性质, ? 转动惯量与质量类似,它是刚体转动惯性大小的量度, ? 转动惯量不仅与刚体质量有关,而且与刚体转轴的位置及刚体的质量分布有关, ? 转动惯量具有相对性,同一刚体,对于不同的转轴,转动惯量不同。 ? 转动惯量具有迭加性,n个刚体组成的刚体系统,绕同一转轴的转动惯量等于各刚体对该转轴的转动惯量之和, n JJ,,ii,1 ? 平行轴定理,刚体对任一转轴的转动惯量,等于刚体对通过质心并与该轴平 行的转轴的转动惯量、加上刚体质量与两轴间距的二次方的乘积, 2JJmd,，C 一些常见刚体的转动惯量 质点的运动规律和刚体的定轴转动规律的对比 质点平动 刚体转动 力F 力矩M ,,M,J,质量 牛二定律: 转动惯量J 转动定律: mF,ma 加速度 角加速度 a, 牛二定律微分形转动定律微分形,,,速度 角速度 v,,dPdL式: 式: F,M,dtdt 角动量,,动量定理: 角动量定理: , L,r，PP动量 ,,,,,tt刚体:L,J,11 冲量:I,F,dt,,P冲量矩:M,dt,,L,,tt11 ,动量守恒,,角动量守恒M,0当时,不变 当时,不变 PLF,0定律 定律 1122E,mvE,J,动能 转动动能 kk22 ,,W,F,drW,M,d,外力做功 力矩做功 ,, 1122WEmvmv,,,,11k02222W,,E,J,,J,动能定理 动能定理 k022 狭义相对论基础 狭义相对论两条基本原理,相对性原理,光速不变原理 相对性原理 物理体系的状态据以变化的定律,同描述这些状态变化时所参照的坐标系究竟是用两个在互相匀速移动着的坐标系中的哪一个并无关系。 光速不变性原理 任何光线在“静止的”坐标系中都是以确定的速度c运动着,不管这道光线是由静止的还是运动的物体发射出来的。” 狭义相对论的时空观 同时性的相对性,长度的相对性,时间的相对性。 长度收缩, 2vL=L公式

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