2016工程力学（高教版）教案：4.4 物体的重心

2016工程力学（高教版）教案：4.4 物体的重心 第四节 物体的重心 物体的重力是地球对物体的引力，如果把物体看成是由许多微小部分组成的，则每个微小的部分都受到地球的引力，这些引力汇交于地球的中心，形成一个空间汇交力系，但由于我们所研究的物体尺寸与地球的直径相比要小得多，因此可以近似地看成是空间平行力系，该力系的合力即为物体的重量。由实践可知，无论物体如何放置，重力合力的作用线总是过一个确定点，这个点就是物体的重心。 重心的位置对于物体的平衡和运动，都有很大关系。在工程上，设计挡土墙、重力坝等建筑我时，重心位置直接关系到建筑我的抗倾稳定性及其内部受力的分布。机械的转动部分如偏心轮应使其重心离转动轴有一定距离，以便利用其偏心产生的效果;而一般的高速转动物体又必须使其重心尽可能不偏离转动轴，以免产生不良影响。所以如何确定物体的重心位置，在实践中有着重要的意义。 一、重心坐标公式 图4,12 如图4,12所示，设一物体放置于坐标系Oxyz中,将物体分成许多微小的部分，其所受的重力各为ΔP，作用点即微小部分的重心为C，其对应坐标分别为x、y、z，所有ΔP的合力Pii iiii就是整个物体所受的重力，其大小即整个物体的重量为P,ΣΔp，其作用点即为物体的重心C。设重心C的坐标为x、y、z，由合力矩定理，有 ccc m(P),Σm(ΔP) , ―Py,,ΣΔPy xxc m(P),Σm(ΔP) , Px,ΣΔPx yyc 根据物体重心的性质，将物体与坐标系固连在一起绕x轴转过90º，各力ΔP及P分别绕其i ，如图中虚线所示，再应用合力矩定理，有 作用点也转过90º m(P),Σm(ΔP) , Pz,ΣΔPz xxc 由上述三式可得物体的重心坐标公式为 P,,PP,,,,yxzxyz,,,,, (4,8) cccPPP 若物体是均质的，其单位体积的重量为γ，各微小部分体积为ΔV，整个物体的体积为V,i ΣΔV，则ΔP,γΔV，P,γV代入上式，得 ii V,,VV,,,,yxzxyz,,,,, (4,9) cccVVV 1 由式(4,9)可知，均质物体的重心与物体的重量无关，只取决于物体的几何形状和尺寸。这个由物体的几何形状和尺寸决定的物体的几何中心，称为物体的形心。它是几何概念。只有均质物体的重心和形心才重合于同一点。 若物体是均质薄壳(或曲面)，其重心(或形心)坐标公式为 A,,AA,,,,yxzxyz (4,10) ,,,,,cccAAA 若物体是或均质细杆(或曲线)，其重心(或形心)坐标公式为 L,,LL,,,,yxzxyz (4,11) ,,,,,cccLLL 二、物体重心与形心的计算 根据物体的具体形状的特征，可用不同的方法确定其重心及形心的位置。 (一) 对称法 由重心公式不难证明，具有对称轴、对称面或对称中心的均质物体，其形心必定在其对称轴、对称面或对称中心上。因此，有一根对称轴的的平面图形，其形心在对称轴上;具有两根或两根以上对称轴的平面图形，其形心在对称轴的交点上;有对称中心的物体，其形以在对称中心上。如图(4,13)所示。 图4,13abc (二)组合法 有些平面图形是由几个简单图形组成的，称为组合图形，可先把图形分成几个简单图形，每个简单图形的形心可查(4,1)求得，再应用形心坐标公式计算出组合图形的形心这种方法称组合法。 例4,7 图4,14为一倒T形截面，求该截面的形心。 400 400 100 2 0 600 0 图4,14 2 解 因图形有一对称轴，故取该轴为轴，如图所示。则图形形心必在轴上，即x,0。将c图形分成两部分A、A，各分图形面积及坐标y如下 12i2A,200×400,80 000 (mm) 1 Y,400/2+100,300 (mm) 12A,600×100,60 000 (mm) 2 Y,100/2,50 (mm) 1 则 Ay，Ay80000，300，60000，501122 y,,,192.9(mm)cA，A80000，6000012 例4,8 图4,15所示为振动器中偏心块，已知R,100mm，r,17mm，d,13mm。求偏心块形心。 图4,15 解 将偏心块看成是由三部分组成的，即半径为R的半圆A、半径为(r+d)的半圆A 、1 2及半径为r的圆A，但因为该圆是被挖去的部分，所以A应取负值。取坐标如图，轴为对称轴，33 故x,0。各部分的面积及形心坐标为 c 14R,2A,R,y,11,23 14(r，b)2,A,(r，b),y,,22,23 2, A,,r,y,033 ,,4，1004(17，13)，，22，100，，(17，13),,,,,Ay，Ay，Ay2323，，112233y,,,40(mm)c,,A，A，A222123,，100，(17，13),，1722 思考题 4,1 已知一个力F的值及该力与x轴、y轴的夹角α、β，能否算出该力在z轴的投影, 4,2 有一力F和x轴，若力在轴上的投影和力对轴的矩是下列情况:(a)F,0 ，m(F)xx?0;(b)F?0 ，m(F),0;(c)F?0 ，m(F)?0;(d)F,0 ，m(F),0。试判断每一种xxxxxx 情况力F的作用线与x轴的关系如何。 4,3 空间任意力系的平衡方程除了包括三个投影方程和三个力矩方程外，是否还有其它形式, 4,4 物体的重心是否一定在物体的内部, 3 4,5 当物体质量分布不均匀时，重心和几何中心还重合吗,为什么, 4,6 计算一物体重心的位置时，如果选取的坐标轴不同，重心的坐标是否改变,重心在物体内的位置是否改变, 4