欧拉公式极其应用

null欧拉公式 及其应用欧拉公式 及其应用一.欧拉简介 著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法国度过．他17岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史上最高产的作家．在世发 论文700多篇，去世后还留下 100多篇待发表．其论著几乎 涉及所有数学分支．他首先使 用f(x)表示函数，首先用∑表 示连加，首先用i表示虚数单位． 在立体几何中多面体研究中，首先发现并欧拉公式．一.欧拉简介二.引入性问题1：（1）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表规律：V+F-E=2 464 8612 6812201230(4)二.引入性问题1：引入性问题2：（2）数出下列多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表5857812图形编号顶点数V面数F棱数E（5)（6）161328（7）引入性问题2：三.什么叫做简单多面体表面经过连续变形能变成一个球面的多面体V+F-E=2简单多面体欧拉公式三.什么叫做简单多面体四.探索性问题：四.探索性问题：讨论1:如何证明欧拉公式压缩成 平面图形讨论1:如何证明欧拉公式讨论2：思考1：多面体的面数是F，顶点数是V，棱数是E，则平面图形中的多边形个数、顶点数、边数分别为思考2：设多面体的F个面分别是n1,n2, ···,nF边形，各个面的内角总和是多少？(n1-2) ·1800+ (n2-2) ·1800+···+ (nF-2) ·1800=(n1+n2+···+nF-2F）· 1800思考3： n1+n2+···+nF和多面体的棱数E有什么关系n1+n2+···+nF =2E压缩成 平面图形讨论2：讨论3:∴多边形内角和=（E－F）·3600思考4：设平面图形中最大多边形（即多边形ABCDE）是m边形，则它和它内部的全体多边形的内角总和是多少？2（m-2) ·1800+(V-m) ·3600=(V-2) ·3600∴（E-F）·3600= (V-2) ·3600V+F-E=2欧拉公式压缩成 平面图形讨论3:五.示范性问题1:欧拉公式的应用例1 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家．C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种．计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？解：设C60分子中形状为 五边形和六边形的面各 有x个和 y个．五.示范性问题1:欧拉公式的应用示范性问题2:例1 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家．C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种．计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y个．由以上两个方程可解出 x=12,y=20答：C60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和20个．示范性问题2:六.形成性问题1:例2、有没有棱数是7 的简单多面体？解：假设有一个简单多面体的棱数E=7．根据欧拉公式得 V+F=E+2=9因为多面体的顶点数V≥4，面数F≥4，所以只有两种情形：V=4，F=5 或 V=5，F=4．但是，有4 个顶点的多面体只有4个面，而四面体也只有四个顶点．所以假设不成立，没有棱数是7 的简单多面体六.形成性问题1:形成性问题2:1、（1）一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点 数V和面数F有F=2V－4的关系．（2）若简单多面体的各面都是四边形，则它的顶点数V和面数F又有怎样的关系？2、 简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都有三条棱，求这个多面体的面数和棱数．F=V- 2F=12 E=30形成性问题2:七.总结性问题猜想证明应用空间问题平面化作业 P.69 阅读材料V+F-E=2欧拉公式七.总结性问题null