果蝇视锥细胞聚集形态形成机理的研究

中国科学 C 辑 生命科学 2006, 36 (4): 367~371 367 SCIENCE IN CHINA Ser. C Life Sciences 果蝇视锥细胞聚集形态形成机理的研究* 孙其诚** (中国科学院过程工程研究所, 北京 100080) 摘要 果蝇视锥细胞聚集形态与液态泡沫一致, 视锥细胞 N-钙黏附分子间的黏附力可以类比 为泡沫的表面张力. 把果蝇视锥细胞排布近似为两维由等同气泡组成的约束边界液态泡沫, 采用 两维液态泡沫动力学模型模拟了 2~6个视锥细胞稳定聚集形态的形成过程, 提出了在视锥细胞面 积恒定的情况下周长达到极小值时(即表面能量极小)细胞即达到稳定聚集的假设, 在此假设基础 上确定的排布方式与文献[4]报道的实验观测完全一致, 并预报了一个更稳定的 6 细胞聚集形态; 计算表明, 果蝇视锥细胞稳定聚集时, 表面能与细胞个数成正比. 关键词 果蝇 视锥细胞 泡沫物理 稳定性条件 复杂系统 收稿日期: 2006-01-17; 接受日期: 2006-02-24 * 国家自然科学基金资助项目(批准号: 20336040, 20490201) ** E-mail: sunq@home.ipe.ac.cn 1 概况 昆虫的单眼具有简单且规则的结构, 每个单眼 包含大约 20 个视网膜细胞, 它们往往相互粘连而聚 集成团, 具有稳定的形态. Hayashi 等人[1]发现果蝇单 眼视网膜上 2~6 个视锥细胞聚集成束(其中 4 个视锥 细胞发生聚集的概率较大), 它们的底部被一簇感光 细胞(R, photoreceptor cell)支撑. 视锥细胞聚集形态 与液态泡沫一致, 比如, 三个细胞界面相交于一点且 相邻界面间成 120°[2,3]. 研究表明, E- 和 D-钙黏附分 子动态调控上皮细胞间连接, N-钙黏附分子则促使多 个视锥细胞形成一个整体, 并调整其形状使得细胞 表面最小, 这与液态泡沫的表面张力等价[4]. 这样就 把细胞形态及其控制机理与泡沫物理学原理有机地 联系起来, 泡沫物理学中成熟的理论则有可能直接 应用到视锥细胞今后的研究中. 目前, Carthew (2005) 正与法国 Grenoble University 和爱尔兰 Trinity College Dublin 的泡沫物理学家共同推进对视锥细胞 聚集形态的数学分析和物理解释. 细胞结构的变形取决于细胞膜的弹性模量和细 胞骨架的主动变形和被动变形的能力[5]. 目前已经有 较多的理论模型和本构方程, 比如, 描述细胞膜曲率 和形变自由能的理论、红细胞形变方程[6]、细胞黏附 力与生化反应的关系[7,8]. 对于细胞的生长过程和形 态结构, Thompson[9](1860~1948)开创性的把古典几 何学与力学和物理结合起来予以描述和理解, 比如, 他较早的观察到细胞聚集形态与气泡群的形态相 似. 368 中国科学 C 辑 生命科学 第 36 卷 SCIENCE IN CHINA Ser. C Life Sciences 本文在积累以前研究泡沫结构和流变特性的基 础上, 对视锥细胞排布形态及形成机理进行了研究. 分析认为果蝇小眼内视锥细胞大小基本一致, 上下 纵向排列如同锥状(图 1(b)), 横向截面类似泡沫(图 1(a)), 可以近似为两维空间结构; 包围这 4 个视锥细 胞的原色素细胞具有弹性, 对视锥细胞外边界的扩 张起约束作用. 因此, 本文把视锥细胞 N-钙黏附分 子的黏附力类比为泡沫的表面张力[1,4], 把果蝇视锥 细胞排布近似为有外界约束的由等同气泡组成的两 维液态泡沫, 采用文献[10,11]提出的两维液态泡沫模 型, 以视锥细胞周长达到极小值时细胞即达到稳定 聚集的假设为依据, 确定了 2~6 个视锥细胞稳定的聚 集形态, 并对细胞周长做了细致观测和量化. 图 1 果蝇小眼横切面示意图 (a) 中 4 个视锥细胞(ac 示 anterior, pc 示 posterior, plc 示 polar, eqc 示 equatorial)被两个原色素细胞(pp 示 primary pigment cell) 包围, 纵切面 示意图(b)中 4 个视锥细胞的底部被一簇感光细胞(R, photoreceptor cell) 支撑 2 N个等同细胞的最小边长 E (N ) 假设视锥细胞稳定排布时, 其表面能必然极小. 在两维时, 表面能是细胞周长与表面张力的乘积, 对 于特定系统表面张力为常数, 因而这一假设就变为 当视锥细胞稳定排布时, 细胞周长极小. 它等价于由 N 个等同气泡组成的约束边界液态泡沫的极小边长 问题, 是物理学家和数学家共同非常关注的重要命 题: 是否存在一种特定的排布使得 N 个气泡边长最 小 , 亦即是否存在一个 E(N ) 使得这种排布最稳 定 [12~14]. 假 设 e(N) 为 N 个 等 同 气 泡 的 边 长 , ( ) 2 N i s i e N l L = = −∑ , 其中 i 是细胞编号; li 是第 i 个气泡 的边长, Ls 是气泡间共用边界的长度, 因为在统计所 有气泡边长时 Ls 被计算了 2 次, 所以要减去 1 次, 则 E(N ) ≡ min( e(N) ). 这是一个看似容易, 却极难予以 严格数学的问题. 直到最近, N≤3 时存在 E(N ) 才得到数学证明(Morgan 证明了 N≤2 的情况 [15]; Wichiramala 证明了 N=3 的情况[16]), 而当 N >3 时, 目前还没有得出精确的结果, Cox 等人[17]应用基于 有限元的计算表面张力控制下材料形状的高精度专 业软件 Surface Evolver[18] 计算给出了 E(N ) 的近似 表达式. 作为特例, Hales 证明了当 N→∞时, 正六边 形蜂窝结构的边长最小[19], E(N)=3NL, 其中 L 是正 六边形的单边长. 这一结果间接了对于任何的 N, E(N )/NL≥3. 这些数学家们讨论的是最小值问 题, 而对于具体的视锥细胞, 复杂的外界作用, 初始 条件和内在结构特征都会造成较多可能的表面能极 小值的聚集方式(亦即亚稳态), 当细胞通过不同路径 聚集时, 会到达不同的亚稳态, 不一定恰恰达到最小 表面能态(亦即基态). 在计算量允许的条件下(比如 本文中仅模拟 2~6 个视锥细胞, 实验观测到的发生聚 集的视锥细胞数目也是 2~6 个), 模拟工作可以尽可 能列举这些亚稳态和可能的基态, 预报现有实验中 没有观测到而可能存在的聚集方式. 3 泡沫动力学模型 液态泡沫是气泡的密集堆积在少量的表面活性 剂溶液中. 泡沫的力学特性和气泡形状主要取决于 液体的含量. 对于两维泡沫, 当含量小于 2%时, 气 泡相互排挤形成多面形, 而增加液体则会使得气泡 接近圆形, 当液体含量大于极限值 16%时, 气泡为圆 形并相互离散. 在力学特性上随着液体含量的增加, 泡沫的屈服应力急剧下降, 有可能导致内部气泡间 的对流等诸多有趣的现象, 但是这些微量流体的处 理, 不管是在实验研究还是在数值模拟上都极其困 第 4 期 孙其诚: 果蝇视锥细胞聚集形态形成机理的研究 369 www.scichina.com 难[20]. 文献[10]提出的基于液态泡沫结构特征的两维 格子气流体动力学模型就很好的解决了这一问题 , 它能够模拟液体含量从 0 到极限值 16%全范围内液 态泡沫的结构, 并应用于液态泡沫绕流圆盘过程中 拓扑变化和能量释放等问题. 这个模型的主要概念 是将液-气界面离散成一些节点(图 2), 它们受表面张 力、流体力和内部气体压力而运动(图 3). 假定节 点为单位质量, 则其速度和位置按照公式(1)和(2)更 新, 1 ,t t g lv v f f fγ+ = + + +∑K K KK K (1) 1 1 1 ( ) 2t t t t r r v v+ += + +K K K K . (2) 随着节点的移动, 气泡逐渐调整其位置和形状(而大 小保持不变), 进而整个泡沫演变到稳定形态. 图 2 液态泡沫中每 3 个气泡围成一个柏拉图边界(Plateau border). 气-液分 界线用可移动边界点连接构成, 内部的微量液体用格子气 FHP-III 来 描述 图 3 作用在边界节点 i 上的力分别是表面张力 γ K f , 内部气体的压力 g K f 和 流体力 l K f 当两个气-液界面距离非常近时, l K f 将被该相邻气泡内部的 压力所代替, 以避免它们重叠 4 视锥细胞聚集形态的模拟 采用泡沫动力学模型对两维约束边界 2~6 个等 同细胞组成的聚集形态进行模拟, 对 e(N)/L的发展予 以跟踪, 并假设当 e(N)/L 趋于某一极小值, 则认为系 统达到稳定态, 停止计算. 在这里 L 定义为与单个 细胞面积相等的正六边形的单边长(正六边形面积为 33/2/2 L2). 以 3 个气泡为例(图 4). (1) 生成 3个不重叠的圆形细胞(图 3(a) 黑色线), 在外面套上一较大的自由边界来类比包围着 3 视锥 细胞的原色素细胞(图 3(a), 灰色线), 细胞和外部边 界离散成若干节点, 并按照公式(1)和(2)运动; 此时 e(N)/L =(2π)1/237/4. (2) 边界缓慢收缩, 推动细胞向中心聚集. (3) 细胞有保持圆形的趋势, 由于外界边界的束 缚而不断调节形状和位置, 面积保持不变; 随着细胞 聚集, 细胞间共用边界增长, e(N)/L 逐渐减小直至一 个极小数值(如图 4(b)所示的 e(N)/L≈14.17)停止计算, 认为达到亚稳态或基态的排布方式. (4) 重复(1)~(3), 改变 3 个细胞的初始位置, 尽 可能得到不同的排布方式. 根据以上方法, 得到了 2~6 个细胞稳定分布的 形态, 如图 5 所示, 与实验观测到的排布方式一致[1]. 分析表明当 N∈[2,3] 时, 能量极小的细胞排布 形态有且可能只有一种, 与文献[15,16]证明的最小 边长对应的排布方式一致, 称为基态排布. 当 N∈ [4,5] 时, 我们也各得到一种稳定排布方式, 但是无 法证明它们的表面能最小, 暂称为亚稳定态排布. 但 是 N=6 时, 改变 6 个细胞不同初始位置会得到有 3 种不同的排布形态, 它们都发展到能量亚稳定态, 其 中 N=6 (图 5(g))的能量更小, 其排布方式与文献[17] 计算得到的近似最小周长时对应的聚集方式一致 . N=6 (图 5(e))和 N=6 (图 5(f))仅比 N=6 (图 5(g))的能 量分别大 5%和 8%左右, 在没有足够强的外界刺激时 (如应力), 它们不会自发地发展到 N=6 (图 5(g))的更 小能量态. 如第 2 小节中所说, 复杂的外界作用, 初 始条件和内在结构特征决定了细胞聚集的不同路径, 必然导致不同的亚稳态, 这是生物复杂系统的一个 典型特征 (关于 Energy landscape 理论, 参见文献 [21]). 在特定生物条件下, 某种亚稳态出现的几率会 大些, 而另外亚稳态则出现的几率较小, 比如 N=6 (图 5(g))的排布方式在文献[1]中没有予以报道, 在与 370 中国科学 C 辑 生命科学 第 36 卷 SCIENCE IN CHINA Ser. C Life Sciences 图 4 3 个细胞趋于稳定聚集形态的过程, e(N)/L 逐渐趋于极小值 14.17 (a) 细胞和约速边界的互动协调过程; (b) 细胞排布趋稳过程中 e(N)/L 趋于极小值 图 5 N 个全同果蝇视网膜锥细胞的聚集形态(模拟结果如黑色实线所示) N=2~5 及 N=6 (e, f)的实验照片来自文献[4]. N=6 (g)的照片由 Hayashi1)提供 1) Hayashi T. 个人通信, 2005 年 9 月 第 4 期 孙其诚: 果蝇视锥细胞聚集形态形成机理的研究 371 www.scichina.com Hayashi1)的个人通讯中, 得知在最新的实验中确实发 现了 N=6(图 5(g))的排布方式, 只是出现的概率较低. 我们还计算了稳态时的 e(N)/L , 发现 e(N)/L随着 N 线性变化(见图 6, 实线), 并与文献[17]得出的近似 结果符合很好: e(N)/L=3.16+3.65N, N∈[2,6] (3) 该公式不能外推, 当 N =1 时, e(N)/L=(2π)1/233/4 ≈ 5.71; 当 N→∞时, e(N)/L=3N [19]. 图 6 N 个细胞边长极小值 e(N)/L 与 N 呈线性关系 具体聚集方式见图 5 5 结论 视锥细胞处于稳定聚集的条件是周长达到极小 值(亦即表面能量极小); 外界条件和初始条件以及内 部结构特征会影响细胞稳定聚集的具体方式, 如 6 细 胞聚集时会有 3 种不同的方式, 特别是预报的一种更 稳定的聚集方式被最近的实验结果证实; 果蝇视锥 细胞稳定聚集形态可以很好采用两维约束边界由等 同气泡组成的液态泡沫来近似, 这说明泡沫物理学 的一些规律可以应用于细胞尺度结构的研究; 文献 [10]提出的两维液态泡沫动力学模型对果蝇视锥细胞 聚集形态的模拟有效, 这将为下一步研究视锥细胞 聚集态的基于内在生化反应的力学特性等关键问题 提供了可能和有利工具. 致谢 作者在都柏林三一学院(Trinity College Dublin) 物理系工作期间, 英国皇家学会院士 D. Weaire 教授 和 S. Hutzler博士对本工作给予了指导. 感谢 Nature Publishing Group, 美国西北大学 R. W. Carthew教授 和 T. Hayashi博士提供实验照片. 参 考 文 献 1 Hayashi T, Carthew R W. Surface mechanics mediate patter for- mation in the developing retina. Nature, 2004, 431: 647—652 2 Plateau J A F. 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