离心率材料（2）探究圆锥曲线中离心率的问题

离心率材料（2） 探究圆锥曲线中离心率的问 离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现，下面给同学们介绍常用的四种解法。 一、直接求出a、b、c之二，求解e 已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式 来求解。 已知a、b易求时，可利用 求椭圆离心率；用 （其中k为渐近线的斜率）求双曲线离心率。 例1. 过双曲线C： 的左顶点A作斜率为1的直线 ，若 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ） A. B. C. D. ：这里的 ，故关键是求出 ，即可利用定义求解。 解：易知A（-1，0），则直线 的方程为 。直线与两条渐近线 和 的交点分别为B 、C ，又|AB|=|BC|，可解得 ，则 故有 ，从而选A。 例2. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 分析：本题已知 EMBED Equation.3 ，不能直接求出a、c，可用整体代入套用公式。 解：由 （其中k为渐近线的斜率）。这里 ，则 ，从而选A。 二、第二定义法 由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。 例3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 ，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F，则 轴，知|MF|是通径的一半，则有 。由圆锥曲线统一定义，得离心率 ，从而选B。 三、 构造a、c的齐次式，解出e 根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值，这也是常用的一种方法。 例4. 已知 、 是双曲线 的两焦点，以线段F1F2为边作正 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 解：如图，设 的中点为P，则点P的横坐标为 ，由 ，由焦半径公式 ，即 ，得 ，有 ，解得 （舍去），故选D。 【练一练】 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ D ） A. B. C. D. 解：由 【分析】 1.（2009全国卷Ⅰ）设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A） （B）2 （C） （D） 解：渐进线的斜率与抛物线切线的斜率相等。设切点，则切线的斜率为.由题意有又， 解得: . 由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即， 2.（2009浙江理）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 ( ) A． B． C． D． 答案：C 【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，， 因此． 3.（2009浙江文）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 【解析】对于椭圆，因为，则 4.(2009山东卷理)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). A. B. 5 C. D. 【解析】:双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=, 所以,,故选D 5.（2009安徽卷理）下列曲线中离心率为的是 （A） （B） （C） （D） [解析]由得，选B 6.（2009江西卷文）设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A． B． C． D．3 【解析】由有,则,故选B. 7.（2009江西卷理）过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【解析】因为，再由有从而可得，故选B 8.（2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率 (A) A． B. C. D. 9. （2008福建理11）双曲线 （a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（B） A.(1,3) B. C.(3,+ ) D. 利用第二定义及焦半径判断 10.（2008湖南理8）若双曲线 （a＞0,b＞0）上横坐标为 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+ ) C.(1,5) D. (5,+ ) 解析：利用第二定义 11.（2008江西理7）已知 、 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C） A． B． C． D． 解析：满足 的点 总在椭圆内部，所以c