-256-
中国科技信息2006年第17期 CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION Sep.2006基础及前沿研究
MATLAB是当今最优秀的科技应用
软件之一,它以强大的科学计算与可视
化功能、简单易用、开放式可扩展环
境,特别是所附带的30多种面向不同领
域的工具箱支持,使得它在许多科学领
域中成为计算机辅助
和
、算法
研究和应用开发的基本工具和首选平台。
力学中常遇到静不定问题,尤
其是力个数与独立平衡方程数目相差大,
即多次静不定问题,用传统的方法运算
量很大,不易求解,而用MATLAB可方
便求解。本文结合作者的教学心得,以
常见拉压静不定问题为例,谈谈
MATLAB在解决该类问题中的应用。
实例分析一
由N根杆组成的桁架结构如图1所
示,受力P的作用,各杆截面面积分别
为Ai,材料弹性模量为E,求各杆的轴
MATLAB在解决
工程力学静不定问题中的应用
刘炜 湖南铁路科技职业技术学院机电工程系 412000
力Ni及节点C的位移。
先列出具有普遍意义的方程,设各
杆均受拉力,A点因各杆变形而引起的x
方向位移△x,y方向位移△y,由几何
关系,得变形方程:
△Li= =△xcosai+△ysinai
I=1,2⋯,n
即 △xcosai-△ysinai=0,
其中,Ki= 为杆i的刚度系数。
再添加两个力平衡方程:
共有n+2个方程,其中包含n个未知
力和两个待求位移△x和△y,方程组可
求解。因为这又是一个线性方程组,可
写成D*X = B的
形式,所以可用
MATLAB的矩阵除法X=D\B解出。
实例分析二
试求图2中各杆的轴力。已知杆1和杆
2的材料与横截面均相同,其抗拉刚度为
E1A1,杆3的抗拉刚度为EA,夹角为a,
悬挂重物的重力为G。
这是一个比较简单的一次静不定问
题,用传统列静力平衡方程和补充方程
的方法,求解步骤为:
图1
图2
图3
-257-
1)列平衡方程。在重力G的作用
下,三杆皆两端铰接且皆伸长,故可设三
杆均受拉伸,节点A的受力图如图4所示。
列平衡方程则有
FN1sina-FN2sina=0
FN3+FN1cosa+FN2cosa-G=0
2)变形的几何关系。由图看到,由
于结构左右对称,杆1、2的抗拉刚度相
同,所以节点A只能垂直下移。设变形
后各杆汇交于A’点,则AA’=△l3;
由A点作A’B垂线AE,则有EA’=
△l1。在小变形条件下,△l1=△l2=△
l3cosa
3)物理关系。由虎克定律,应有
△l1= ,△l3=
4)补充方程。将物理关系代入几何方
程,得到解该超静不定问题的补充方程
即为 FN1=FN2=
5)求解各杆轴力。联立求解补充方
程和两个平衡方程,可得
FN1=FN2=
FN3=
实例分析三
设3根杆组成的支架如图5所示,挂一
重物P=3000N。设L=3m,各杆的截面面
积分别为A1=150×10-6m2,A2=200×
10-6m2,A3=300×10-6,材料的弹性模
量E=200×109N/m2,求各杆受力的大
小及A点位移。
此时应由5个方程组成,如下所示。
N1cosa1+N3cosa3=P;
-N1sina1-N2-N3sina3=0;
N1/k1-△xcosa1-△ysina1=0;
N2/k2-△y=0;
N3/k3-△xcosa3-△ysina3=0;
设X=[N1;N2;N3;△x;△y],
把上述5个线性方程组列成D*X=B的矩阵
形式,从而可由MATLAB的X=A\B来
求解。
MATLAB程序实现
作者简介
刘炜(1 9 7 2 -),男,本科学历,中南
大学机电工程工程硕士(在读)。现在湖
南铁路科技职业技术学院机电工程系工作。
p=3000;
E=200e9;
L=3;
A1=150e-6;
A2=200e-6;
A3=300e-6;
a1=pi/3;
a2=pi/2;
a3=3*pi/4;
L1=L/sin(a1);
L2=L/sin(a2);
L3=L/sin(a3);
K1=E*A1/L1;
K2=E*A2/L2;
K3=E*A3/L3;
D=[cos(a1),0,cos(a3),0,0;-sin(a1),-1,-
sin(a3),0,0;1/K1,0,0,-cos(a1),-sin(a1);0,1/
K2,0,0,-1;0,0,1/K3,-cos(a3),-sin(a3)];
B=[p;0;0;0;0];
format long,X=D\B
执行此程序,用format long显示
结果为:
X =
1.0e+003 *
1.78654851481544
0.55952934366876
-2.97936011737454
图4
图5