1
第三章 人寿保险
摘自:张运刚《寿险精算理论与实验》西南财经大学出版社,2010.1
按保险金给付及时程度来划分,可将人寿保险划分为:死亡所在年末给付保
险金的人寿保险、死亡所在1/ m年( 1m > )末给付保险金的人寿保险、死亡所在
时刻给付保险金的人寿保险。
本章将按此结构展开。
本章的主要内容是求人寿保险的趸缴纯保费或精算现值。
第一节 死亡所在年末给付保险金的人寿保险
一、等额寿险
(一)终身寿险
设 xA
示 x岁加入、死亡年末给付保险金 1 的终身寿险的趸缴纯保费,亦称
为人寿保险的精算现值,那么运用团体法(即依据生命表,假设活过 x 岁的 xl 人
都参加了这样的保险)可以得到在 x岁时的保费收入现值为 .x xl A ,保险金支出现
值为 2 31 2x x xvd v d v d+ ++ + +⋯,依据收支平衡原则,可以得到
xA =
2 3
1 2x x x
x
vd v d v d
l
+ ++ + +⋯
=
2 3
1| 2|x x xvq v q v q + + +⋯ (3.1.1)
设 xZ 表示保险人给付的保险金现值,显然 xZ 是一随机变量。即
1K
xZ v
+
= ( 0,12,K = ⋯)
于是
( )x xP Z v q= =
2
2
1|( )x xP Z v q = =
3
2 |( )x xP Z v q = =
……
1|( )kx k xP Z v q−= =
……
显然
∴ ( )xE Z = 1 |
0
k
k x
k
v q
+∞
+
=
∑ = 2 31| 2| 1|kx x x k xvq v q v q v q− + + + + +⋯ ⋯ (3.1.2)
这表明趸缴纯保费就是保险人给付保险金现值的数学期望。
为简化计算起见,需引入如下替换函数或转换函数:
1x
x xC v d
+
= (3.1.3)
1 2x x x xM C C C+ += + + +⋯ (3.1.4)
1 2x x x xR M M M+ += + + +⋯ (3.1.5)
x
x xD v l= (3.1.6)
1 2x x x xN D D D+ += + + +⋯ (3.1.7)
1 2x x x xS N N N+ += + + +⋯ (3.1.8)
通过对于常用的生命表、常用的预定利率作出替换函数表,从而简化计算。
参见第十一章的寿险精算实验可以大大简化计算。(3.1.1)可以变形为
xA =
1
1
|
0 0
k
k x k
k x
k k x
v d
v q
l
++∞ +∞
+ +
= =
=∑ ∑ =
1
0
x k
x k
x
k x
v d
v l
+ ++∞
+
=
∑
=
0
x k
k x
C
D
+∞
+
=
∑ = x
x
M
D
(3.1.9)
下面计算随机变量的方差。
2 2 4 2( 1)
1( ) kx x x xkE Z v q v q v q+ = + + + +⋯ ⋯= 2( 1)
0
k
xk
k
v q
+∞
+
=
∑ 2 xA ≜ (3.1.10)
这里 2 xA 表示 x岁参加、在利息力翻倍条件下,死亡年末给付保险金 1 的终身
寿险的趸缴纯保费。关于利息力翻倍问题,详见附录 1。于是
3
2var( ) ( ( ))x x xZ E Z E Z= −
2 2( ) ( ( ))x xE Z E Z= − 2 2( )x xA A= − (3.1.11)
(二)定期寿险
设 1
:x n
A 表示 x岁加入、死亡年末给付保险金 1 的 n年定期寿险的趸缴纯保费,
设 1
:x n
Z 表示保险金给付的现值,则
1
1
:
, 0,1, , 1
0, , 1,
K
x n
v K n
Z
K n n
+ = −
=
= +
⋯
⋯
且
1 1
: :
( )
x n x n
A E Z=
1
1
0
n
k
xk
k
v q
−
+
=
=∑
1
0
n
x k
k x
C
D
−
+
=
=∑ x x n
x
M M
D
+−
= (3.1.12)
特别地,称 1
:1x xc A=
x
x
C
D
= xvq= 为自然保费。
2 1 1 2
: :
(( ) )
x n x n
A E Z=
1
2( 1)
0
n
k
xk
k
v q
−
+
=
=∑ (3.1.13)
1 2 1 1 2
: : :
var( ) ( )
x n x n x n
Z A A= − (3.1.14)
(三)两全保险
所谓生死两全保险指的是被保险人在保险期内死亡,或者期满生存时均给付
保险金的人寿保险。实际上,它是由生存保险与死亡保险合并而成,故又称生死
合险。设
:x n
A 表示 x岁加入,保险金为 1 的n年期两全保险的趸缴纯保费,且
:x n
Z
表示两全保险的保险金给付现值, 1
:x n
Z 表示保额为 1 的n年期纯生存保险的保险
金给付现值。于是
1
:
0, 0,1, 2, 1
,
x n n
K n
Z
v K n
= , −
=
≥
⋯
1
:
, 0,1, 2, 1
,
K
x n n
v K n
Z
v K n
+
= , −
=
≥
⋯
:x n
Z = 1 1
: :x n x n
Z Z +
4
1
:x n
A = 1
:
( )
x n
E Z = n
n xv p = x n
x
D
D
+
(3.1.15)
: :
( )
x n x n
A E Z= 1 1
: :x n x n
A A = + (3.1.16)
x x n x n
x
M M D
D
+ +− +
= (3.1.17)
1
2 2( 1) 2
:
0
( )
n
k n
x n xkx n
k
E Z v q v p
−
+
=
= +∑ 2 :x nA= (3.1.18)
=
2 1 2 1
x n x n
A A + : : (3.1.19)
∴ 2 2
: : :
var( ) ( )
x n x n x n
Z A A= − (3.1.20)
(四)延期人寿保险
延期人寿保险主要有:延期终身人寿保险、延期定期人寿保险和延期两全人
寿保险。但是死亡发生在保险期内才给付保险金,而在延付期内即使死亡也不给
付保险金。
1.延期终身寿险
|( )x r xr A E Z = = 1k xk
k r
v q
+∞
+
=
∑ = x r
x
M
D
+
(3.1.22)
= .
r
r x x rv p A + =
1
x x r
A A− : (3.1.23)
其中, |r xZ = 1
0, 0 1
,
K
K r
v K r+
≤ ≤ −
≥
。
2 2
|var( ) ( )r x x xr rZ A A = − (3.1.24)
2.延期定期寿险
1 1
: :
( )
r rx n x n
A E Z
=
1
1
r n
k
xk
k r
v q
+ −
+
=
= ∑ x r x r n
x
M M
D
+ + +−
= (3.1.25)
1r
r x x r n
v p A
+
= ⋅ : =
1 1
:x r n x r
A A
+
− : (3.1.26)
其中, 1 1
:
0, 0 1
, 1
0,
K
r x n
K r
Z v r K r n
K r n
+
≤ ≤ −
= ≤ ≤ + −
≥ +
。
1 2 1 1 2
: : :
var( ) ( )
r r rx n x n x n
Z A A
= − 。 (3.1.27)
5
3.延期两全保险
: :
( )
r rx n x n
A E Z
=
x r x r n x r n
x
M M D
D
+ + + + +− +
= (3.1.28)
=
1
: :
r
r xx r n x r x r n
A A v p A
+ +
− = ⋅: (3.1.29)
其中, 1
:
0, 0 1
, 1
,
K
r x n
r n
K r
Z v r K r n
v K r n
+
+
≤ ≤ −
= ≤ ≤ + −
≥ +
2 2
: : :
var( ) ( ) ( )
r r rx n x n x n
Z A A
= − (3.1.30)
例 3.1.1 已知 30 岁的人投保了保额为 100000 元的 20 年期两全保险,求其
趸缴纯保费,并计算它所包含的定期寿险与纯生存保险的趸缴纯保费?以 CL1
(2000-2003)2.5%为基础。
解:在主体字母头上加上波浪符号“∼”,只是意味着保险金额不为 1,其它
意义不变,余此类推,今后未作特别说明时,均指此含义。所求的趸缴纯保费为
30 50 50
30:20 30:20
30
100000 100000 M M DA A
D
− +
= =
ɶ ≈61476.95(元)
1 1 30 50
30:20 30:20
30
100000 100000 M MA A
D
−
= =
ɶ ≈2606.43(元)
1 1 50
30:20 30:20
30
100000 100000 DA A
D
= =
ɶ ≈58870.52(元)。
例 3.1.3 证明并解释: 1x x x xA vq vp A += + (3.1.31)
证明:右边= 1 1
1
x x x
x x x
C D M
D D D
+ +
+
+ ⋅ = x
x
M
D
= xA =左边。
(3.1.31)可解释为: x岁的人投保死亡年末给付保险金 1 的终身寿险所应
缴纳的趸缴纯保费 xA 起两个方面的作用:一是保障第 1 年死亡时于年末给付保险
金 1 的需要,平均开支 1
:1xA 或 xvq ;二是保障活过第 1 年死于后续年度于所在年末
给付保险金 1 的需要,平均开支 1| xA 或 1x xvp A + 。
二、非等额寿险
6
为了简便起见,主要考虑保险金按等差数列变化,等比数列情形可通过修改
预定利率方式转化为等额寿险,需要运用后面的精算实验中的 Excel 程序完成。
(一)递增寿险
1.递增终身寿险
令 ( )xIA 表示 x岁的人参加的,在第 1 年死亡时所在年末给付保险金 1,在第
2 年死亡时所在年末给付保险金 2,……,这样的终身寿险的趸交纯保费。
( ) (( ) )x xIA E IZ= = 1
0
( 1) k xk
k
k v q
+∞
+
=
+∑ (3.1.32)
0
( 1) x k
k x
Ck
D
+∞
+
=
= +∑ =
1
0
( 1)( )x k x k
k
x
k M M
D
+∞
+ + +
=
+ −∑
1x x
x
M M
D
++ +
=
⋯ x
x
R
D
= (3.1.33)
其中, ( )xIZ = 1( 1) KK v ++ ( 0,1,2, )K = ⋯ 。
2.递增定期寿险
1
:
( )
x n
IA = 1
:
(( ) )
x n
E IZ
=
1
1
0
( 1)
n
k
xk
k
k v q
−
+
=
+∑ = x x n x n
x
R R nM
D
+ +− −
(3.1.34)
其中, 1
:
( )
x n
IZ =
1( 1) , 0,1, , 1
0,
KK v K n
K n
+ + = −
≥
⋯ 。
3.递增两全保险
1 1
: : :
( ) ( )
x n x n x n
IA IA nA = + =
:
(( ) )
x n
E IZ
=
1x x n x n
x
R R nM
D
+ + +− −
(3.1.35)
其中,
1
:
( 1) , 0,1, , 1( )
,
K
x n n
K v K n
IZ
nv K n
+ + = −
=
≥
⋯ 。
4.递增水平终身寿险
7
( )xnI A = 1:( ) xnx nIA n A + = x x n
x
R R
D
+−
(3.1.36)
(( ) )xnE I Z=
其中,
1
1
( 1) , 0,1, , 1( )
,
K
xn K
K v K n
I Z
nv K n
+
+
+ = −
=
≥
⋯ 。
(二)递减寿险
1.递减定期寿险
1
:
( )
x n
DA = 1
:
(( ) )
x n
E DZ =
1
1
0
( )
n
k
xk
k
n k v q
−
+
=
−∑
1 1( )x x x n
x
nM R R
D
+ + +− −
= (3.1.37)
其中,
1
1
:
( ) , 0,1, , 1( )
0,
K
x n
n K v K n
DZ
K n
+ − = −
=
≥
⋯ 。
2.递减水平终身寿险
1
:
( ) ( )x xnn x nD A DA A = + ( )E Z= 1
( )x x x n
x
nM R R
D
+ +− −
= (3.1.38)
其中,
1( ) , 0,1, , 1
, , 1,
K
K
n K v K n
Z
V K n n
+ − = −
=
= + …
⋯ 。
例 3.1.4 已知 100xl x= − ,0 100x≤ ≤ , 0.05i = ,计算 40A 、 40( )IA 、 140:20( )IA 。
解:∵
59
1
40 40
0
k
k
k
A v q+
=
=∑
=
59
1
0
1
60
k
k
v +
=
⋅∑ = 60
1
60
a ≈0.32
59
1
40 40
0
( ) ( 1) k k
k
IA k v q+
=
= +∑
=
59
1
0
1( 1)
60
k
k
k v +
=
+ ⋅∑ = 60
1 ( )
60
Ia
=
60
60 601
60 0.05
a v−
⋅
ɺɺ ≈5.55。
8
其中, 40 40 140
40
1
60
k k
k
l lq
l
+ + +
−
= = 。
1
40:20( )IA = 20
1 ( )
60
Ia ≈1.85。
例 3.1.5 某 50 岁的人投保了一个终身寿险,保单规定:若在第 1 年死亡给
付保险金 1 万元,以后每推迟一年死亡保额增加 3 万元,直到 16 万元,然后以每
多活一年保额递减 4 万元,直到 4 万元时就保持不变。以 CL1(2000-2003)2.5%
为例,求趸缴纯保险费。假设保险金于死亡所在年末给付。
解:所求趸缴纯保费为
A = 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
50
4 7 10 13 16 12 8 4 4C C C C C C C C C C
D
+ + + + + + + + + +⋯
=
50 51 56 59
50
2 7 4R R R R
D
+ − + ≈2.17
其中,多次运用公式 1x x xC M M += − , 1x x xM R R += − 来化简。
例 3.1.7 如果保险金额的给付随着时间的推移不是按等差数列变化,而是按
等比数列变化,如何解决其计算问题?例如,某 30 岁的被保险人投保了终身寿险,
该保单规定如果被保险人在第 n年死亡,则于死亡年末给付保险金 (1.02)n 。已知
预定利率为 2.5%,求趸缴纯保费。假设保险金给付的是 (1.05)n ,这里 1, 2,n = …,
则结果如何?以 CL1(2000-2003)2.5%为例,试用 Excel 进行计算?
解:设预定利率为 i,若在第 k 年死亡时,则在年末给付保险金 (1 )kj+ ,即保
额的年增长率为 j ,于是所求的趸缴纯保费为
xAɶ =
1 1
|
0
(1 )k k k x
k
j v q
+∞
+ +
=
+∑
=
1 1
|
0
(1 )k k k x
k
j v q
+∞
+ +
=
+∑ = 1 |
0
k
k x
k
v q
+∞
+
=
∑ ɶ = x
x
M
D
ɶ
ɶ
其中, vɶ =1 1
1 1
j
i k
+
=
+ +
,
1
i jk j
−
=
+
, xMɶ 与 xDɶ 是按新的利率 k 计算出的替换函数。
于是,可求得所需的结果分别为 0.7917 与 3.3180。
9
第二节 死亡所在1/ m年末给付保险金的人寿保险
首先,对任何一个保险年度,将其作m( 1m > )等分的划分;其次,假设死
亡发生所在的1/ m年末给付保险金 1。显然,比死亡所在年末给付保险金更及时
一些。
一、等额寿险
(一)终身寿险
从投保人的角度看,将 ( )mxA 理解为 x 岁加入,在死亡所在的1/ m年末给付保
险金 1 的终身寿险的趸缴纯保险费。那么,运用团体法可得
( )m
x xl A =
1 2 3
1 1 2 2 3( ) ( ) ( )m m mx
x x x x x
m m m m m
l l v l l v l l v
+ + + + +
− + − + − +⋯ (3.2.1)
∴ ( )mxA =
1 1 2 2 31 2 3x
x x x x x
m m m m mm m m
x x x
l l l l l l
v v v
l l l
+ + + + +
− − −
⋅ + ⋅ + ⋅ +⋯
=
1 2 3
1 1 1 2 1
m m m
x x x
m m m m m
v q v q v q
+ + +⋯
=
1
1
0
l
m
xl
l m m
v q
++∞
=
∑
=
11
1
0 0
jm k
m
xjkk j m m
v q
++∞ − +
+
= =
∑∑ 。 (3.2.2)
当死亡服从均匀分布时
1|j xk
m m
q
+
= 1. .k x j x k j
x k
m m m
p p q+
+ +
=
1
(1 )
1
x k
k x x k
x k
qj mp q jm q
m
+
+
+
−
−
= |
1
k xq
m
。
∴ ( )mxA =
11
1
0 0
.
jm k
m
xjkk j m m
v q
++∞ − +
+
= =
∑∑ ≈
11
|
0 0
1jm k
m
k x
k j
v q
m
++∞ − +
= =
⋅∑∑
=
1 ( )
| 1
0
k m
k x
k
v q s
+∞
+
=
∑ = 1 |( )
0
k
k xm
k
i
v q
i
+∞
+
=
∑ = ( ) xm
i A
i
(3.2.3)
(二)定期寿险
( )
1
:
m
x n
A = ( )( )1:mx nE Z = 11 1 1
0 0
jn m k
m
xjkk j m m
v q
+
− − +
+
= =
∑∑
10
≈ 1( ) :m x n
i A
i
(UDD 假设下) (3.2.6)
(三)两全保险
( )
:
m
x n
A = ( )
:
( )m
x n
E Z =
11 1
1
0 0
jn m k
nm
j x n xkk j m m
v q v p
+
− − +
+
= =
+∑∑ =
( )
1
: :
m
x n x n
A A 1+ (3.2.7)
≈ 1( ) : :m x n x n
i A A
i
1+ (UDD 假设下) (3.2.8)
( ) :m x n
i A
i
≠
(四)延期寿险
( )m
xr
A
=
( )( )mxrE Z =
11
1
0
jm k
m
xjkk r j m m
v q
++∞ − +
+
= =
∑∑
=
( )r m
r x x rv p A +⋅ (3.2.9)
≈ ( ) xm r
i A
i
(UDD 假设下) (3.2.10)
同理可得
1 ( )
:
m
r x n
A
=
11 1
1
0
jr n m k
m
xjkk r j m m
v q
++ − − +
+
= =
∑ ∑
=
( )
1
:
m
r
r x x n
v p A (3.2.11)
≈ 1( ) :m x n
i A
i
(UDD 假设下) (3.2.12)
( ) ( )
: :
m r m
r xr x n x n
A v p A
= (3.2.13)
例 3.2.1 已知 100xl x= − ( 0 100x≤ ≤ ),i =10%。计算: 140:10A 、 140:10A 、 40:10A 、
(4)
1
40:10A 、 (4)40:10A 。
解:∵ 100xl x= −
∴ | 40k q = 40 40 1
40
k kl l
l
+ + +−
=
1
60
10 40p = 50
40
l
l
=
50
60
=
5
6
1
40:10A =
9
1
| 40
0
k
k
k
v q+
=
∑ =
9
1
0
1
60
k
k
v +
=
∑ = 10 0.1
1
60
a ≈0.1024
11
1
40:10A
=
10
10 40v p = 10
1 5
1.1 6
× ≈0.3213
∴ 40:10A = 140:10A + 140:10A ≈0.10241+0.32129=0.4237
∵ (4)i =4[
1
4(1 ) 1i+ − ]≈0.096455
∴ (4)140:10A ≈ 1(4) 40:10
i A
i
≈ 0.1 0.10241
0.096455
× ≈0.1062
(4)
40:10A ≈0.4275
例 3.2.2 某 30 岁的男子购买了保额为 10 万元的 20 年期定期寿险,于死亡
所在月末给付保险金,以 CL1(2000-2003)2.5%为基础,计算其趸缴纯保费(UDD
假设下)。
解: (12)130:20100000NSP A=
≈ 1(12) 30:20100000
i A
i
⋅
= 1
12
2.5% 15033.17 13809.67100000
46941.74
12 1.025 1
−
⋅ ⋅
−
≈2636.17。
参照 130:20100000 2606.43A = ,二者相差 29.74 元。
引申:若是死亡所在季末给付,则
NSP′ =
( 4)
1
30:20100000A
≈ 1
4
2.5%100000 0.02606433
4 1.025 1
⋅ ×
−
≈2630.74。
与年末情形相差 24.31 元。
二、非等额寿险
略
12
第三节 死亡所在时刻给付保险金的人寿保险
一、等额寿险
(一)终身寿险
令 xA 表示死亡时立即给付保险金 1 的终身寿险的趸缴纯保费,那么运用团
体法及收支平衡原则有
x xl A = 0
t
x t x tv l dtµ
+∞
+ +∫
∴ xA = 0
t
t x x tv p dtµ
+∞
+∫ (3.3.1)
= ( )xE Z (3.3.2)
其中, xZ = Tv 。
xA 亦可定义为
xA = ( )lim mx
m
A
→+∞
=
1
1
0
lim
l
m
l x
m l m m
v q
++∞
→+∞
=
∑
=
0
t
t x x tv p dtµ
+∞
+∫
在 UDD 假设下
( )
( )
m
x xm
iA A
i
=
两边对m 取极限可得
x x
iA A=
δ
(3.3.3)
为了计算 xA ,需引入替换函数 xC 、 xM 、 xR :
1
0
x t
x x t x tC v l dtµ+ + += ∫ (3.3.4)
xM = 1 2x x xC C C+ ++ + +⋯ (3.3.5)
=
1 1 11 2
1 1 2 20 0 0
x t x t x t
x t x t x t x t x t x tv l dt v l dt v l dtµ µ µ+ + + + ++ + + + + + + + + ++ + +∫ ∫ ∫ ⋯
=
0
x t
x t x tv l dtµ
+∞
+
+ +∫ (3.3.6)
xR = 1 2x x xM M M+ ++ + +⋯ (3.3.7)
13
= 1 22 3x x xC C C+ ++ + +⋯= ( )
0
1 x k
k
k C
+∞
+
=
+∑ 。
xC 、 xM 、 xR 有如下一些近似计算公式:
∵在 UDD 假设下, x tl + = x xl td−
∴ x tx t
x t
l
l
µ ++
+
′
= − =
x
x x
d
l td−
x t x t xl dµ+ + =
xC =
1
0
x t
x t x tv l dtµ+ + +∫ =
11 1
0
(1 )x txv d i dt+ −⋅ +∫
=
( ) 11
0
1 t
x
i
C
− +
−
δ
= x
i C
δ
(3.3.8)
或者
1(1 ) ti dt1 −
0
+∫ =
11
2(1 ) 1i −+ ⋅ =
1
2(1 )i+
从而
1
2(1 )x xC i C= + (3.3.9)
还可以从直观意义上去理解(3.3.9),即前者比后者平均早半年给付。同样可
理解:
1
2(1 )x xA i A = + (3.3.10)
由(3.3.5)、(3.3.7)容易得到如下近似公式
xM = x
i M
δ
=
1
2(1 ) xi M+ (3.3.11)
x x
iR R=
δ
=
1
2(1 ) xi R+ (3.3.12)
运用公式(3.3.1)、(3.3.6)可以得到 xA 的替换函数表达式,从而达到简化
计算的目的:
x
x
x
MA
D
= (3.3.13)
下面计算 xZ 的方差:
14
∵ 2 2[( ) ]x xE Z A=
∴ 2 2var( ) [( ) ] [ ( )]x x xZ E Z E Z= −
2 2( )x xA A= − (3.3.14)
(二)定期寿险
1
:x n
A = 1
:
( )
x n
E Z =
0
n t
t x x tv p dtµ +∫ =
x x n
x
M M
D
+− (3.3.15)
≈ 1
:x n
i Aδ (3.3.16)
其中其中其中其中,,,, 1
:
,0
0,
T
x n
v T n
Z
T n
< ≤
=
>
。。。。
∵∵∵∵ 2 2
0
( ) n tT t x x tE Z v p dtµ += ⋅∫ ==== 2 1:x nA
∴ 1
:
var( )
x n
Z = 2 1 1 2
: :
( )
x n x n
A A− (3.3.17)
(三)两全保险
:x n
A = 1 1
: :x n x n
A A + = x x n x n
x
M M D
D
+ +− + (3.3.18)
:
( )
x n
E Z=
这里,
:x n
Z = ,0
,
T
n
v T n
v T n
< ≤
>
,且
:x n
A ≠
:x n
i Aδ 。
(四)延期寿险
| tr x t x x t
r
A v p dtµ+∞ += ∫ = r r x x rv p A + (3.3.19)
= |x r r x
x
M i A
D δ
+
≈ (3.3.20)
1 1| : :r x r x n rr r xx n x n
x
M MA v p A
D
+ + +−
= = (3.3.21)
| : :
x r x r nr x r n
r r xx n x r n
x
M M DA v p A
D
+ + + + +
+
− +
= = (3.3.22)
二、非等额寿险
15
(一)递增终身寿险
1.每年递增一次
( )( ) ([ ] 1) TxIA E T v= +
1
0
( 1)k t t x x tkk
k v p dtµ
+∞ +
+
=
= +∑∫
1
0
1 ( 1) k x t x t x tk
kx
k v l dt
D
µ
+∞ +
+
+ +
=
= +∑ ∫
0
1 ( 1) x k
kx
k C
D
+∞
+
=
= +∑ = x
x
R
D
(3.3.23)
由(3.3.12)可得
( )xIA ≈ ( )x
i IAδ 。 (3.3.24)
2.每 1
m
年递增一次
略
3.连续递增
( ) ( )TxI A E Tv=
0
t
t x x ttv p dtµ
+∞
+= ∫
( ) ( )lim ( )m mx
m
I A
→+∞
= (3.3.26)
( )lim ( )m x
m
I A
→+∞
= (3.3.27)
( )xI A = 2( )x x x
i i iIA A Aδδ δ δ
−
− + (3.3.28)
其余略
例 3.3.1 某 30 岁的人向一家寿险公司购买了 30 年定期死亡保险,在死亡发
生的时刻 t 立即给付 0.06te ,假设被保险人死亡服从: 100xl x= − (0 100)x≤ ≤ ,且
利息力 0.05δ = 。求 30 岁签单时应缴纳的趸缴纯保费?
解:设 30 岁的被保险人在30 T+ 岁死亡时所给付的保险金现值为 TZ ,则
0.06 0.06 0.05 0.01T T T T T
TZ e v e e e
−
= ⋅ = ⋅ =
而T 的概率密度函数为
16
3030 30
30
1( )
70
t
T t t
lf t p
l
µ ++
′
= = − = 。
因此,所求趸缴纯保费为:
70 0.01 0.01
0
701 1 1( )
070 70 0.01
t t
TE Z e dt e= = ⋅∫
=
0.7 1
0.7
e − ≈1.448218。
例 3.3.3 已知
100t
tδ = , 100xl x= − (0 100x≤ ≤ ),计算 40( )IA 。
解: 1( )a t− =
0
exp( )t s dsδ− ∫
=
0
ex p ( )
1 0 0
t s d s− ∫ =
2
exp( )
2 00
t
−
40 40t tp µ + =
100 40 1
.( )
100 40 100 40
t
t
− − −
−
− − −
=
1
60
∴ 40( )IA =
1001 1
40 400
( ( ) ( )x t tE Ta T ta t p dtµ
−
− −
+= ∫
=
2100
0
1
exp( )
60 200
x t
t dt
−
−∫ =
2
60
0
100
exp( ) |
60 200
t−
− −
=
185 (1 )
3
e
−
− ≈ 5
3
。
例 3.3.5 某单位有年龄为 40 岁的职工 100 人,每人缴纳pi 元保费以产生一
个基金,若有人死亡将立即从基金中给付保险金 1000 元。已知 0.06µ = , 0.02δ = 。
为了使基金能以 95%的概率保证今后足够给付,采用正态分布近似,则pi 至少应
为多少元?(已知正态分布 95%分位数是 1.645)。
解:设第 j 个人给付的现值为 jZ ( 1, 2, ,100j = ⋯ ),总给付现值为 Z ,显然
100
1
j
j
Z Z
=
=∑ , 40
0.06 0.75
0.06 0.02
A = =
+
, 2 40
0.06 0.6
0.06 0.02 2
A = =
+ ×
因此
40( ) 1000jE Z A= =1000 0.75× =750
2 2 240 40var( ) 1000 ( ( ) )jZ A A= − =37500
从而
17
100
1
( ) ( )j
j
E Z E Z
=
=∑ ≈75000
100
1
var( ) var( )j
j
Z Z
=
= ∑ =1936.49167
由题意知
(100 )P Zpi > =0.95
即
( ) 100 ( )
var( ) var( )
Z E Z E ZP
Z Z
pi − −
<
=0.95
因此
100 ( )
var( )
E Z
Z
pi − =1.645
∴ ( )1 ( ) 1.645 var( )100 E Z Zpi = + ≈781.86(元)。
思考:假设参保人数扩大到 10000 人,结果又如何?