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8.指数方程和对数方程
2012-01-19
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8.指数方程和对数方程中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉 8.指数方程和对数方程 一.基础知识自测题: 1.(1) 方程3x-1=1的解是 x=1 . (2) 方程log2(x+2)=3的解是 x=6 . 2.(1) 方程 的解是 x=0或x=2 . (2) 方程lg(x2+x)=lg(x+1)的解是 x=1 . 3.(1) 方程4x+4=5·2x的解是x=0或x=2 . (2) 方程(lgx)2+lgx3+2=0的解是 . 4.(1) 方程3x=2...
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指导〈数学复习版〉 8.指数方程和对数方程 一.基础知识自测题: 1.(1) 方程3x-1=1的解是 x=1 . (2) 方程log2(x+2)=3的解是 x=6 . 2.(1) 方程 的解是 x=0或x=2 . (2) 方程lg(x2+x)=lg(x+1)的解是 x=1 . 3.(1) 方程4x+4=5·2x的解是x=0或x=2 . (2) 方程(lgx)2+lgx3+2=0的解是 . 4.(1) 方程3x=2x的解是 x=0 . (2) 方程log3x=log2x的解是 x=1 . 5.(1) 方程3x-( )x= 的解是 x=2 . (2) 方程 的解是 x=2或x=16 . 6.(1) 方程4x+6x=2·9x的解是 x=0 . (2) 方程2lg(x-2y)=lgx+lgy, 则 = 4或1 . 二.基本要求: 1.掌握指数方程的基本类型,学会解方程的重要方法 2.指数方程的基本类型: (1) af(x)=b型: f (x)=log ab; (2) af (x)=ag(x)型: f (x)=g(x); (3) af (x)=bg(x)型: f (x)lga=g(x)lgb (4) f (ax)=0型:用换元法解,设ax=t, f (t)=0. 3.对数方程的基本类型: (1) log af (x)=b型: f (x)=ab且f (x)>0; (2) log af (x)=log ag(x) 型: f (x)=g(x)且f (x)>0; (3) f (log ax)=0型: 用换元法解,设log ax=t, f (t)=0; (4) log f(x)g(x)=k型: [f (x)]k=g(x). 4.注意对数方程的增根与减根,对数方程一定要验根。 例一.解方程:2x+2-3·2-x+4=0 解:4·2x-3· +4=0, ∴ 4·22x+4·2x-3=0, 解得2x= 或2x=- (舍去),∴x=-1. 例二.解方程: + =10. 解:设 =t, 则t+ =10, t2-10t+1=0, 解得t=5±2 ∴ =5±2 , x=±2. 例三.解方程: =-1. 解:两边平方得logx ·(log 5x)2=1, (log 5x)2+ (log 5x)2(log 5x)-1=0, 解得log5x==-2或log5x==1, x= 或x=5(增根,舍去). 例四.若方程(lgax)(lgax2)=4的所有的解都大于1, 求a的取值范围。 解:原方程化为(lga+lgx)(lga+2lgx)=4, ∴ 2lg2x+3lgalgx+lg2a-4=0, 若使x>1,则lg x>0, 即原方程等价于 , 解得lga<-2, ∴0
0, x≠1, 而x=lga- 有可能等于1, 若lga- =1解得a=10 ,即a=10 时,方程有一解。 综上得当a>100且a≠10 时,方程有两解; 当a=100或a=10 时,方程有一解; 当a<100时,方程无解。 例六.已知a>0, a≠1,试求使方程loga(x-ak)= 有解的k的取值范围。 解:原方程等价于 , ∴ x-ak>0, (x-ak)2=x2-a2, x2-2akx+a2k2=x2-a2, 2kx=a(1+k2), 当k=0时, 由a>0知方程无解;当k≠0时, x= , 代入x-ak>0, 得 -ak>0, ∵ a>0, ∴ -k>0, 即 0
1 (B) (C)x=0且y=1 (D)x≥0且y=1 5.方程x =4的解是(D)。 (A) (B)± (C)2 (D)2 或2 6.关于x的二次方程7x2-(p+13)x+p2-p-2=0的两个根是α、β满足0<α<1<β<2, 则实数p的取值范围是 (-2, -1)∪(3, 4) . 7.方程x2+(m-2)x+5-m=0的两个根都比2大,则m的取值范围是 (-5, 4] . 8.若方程9x+(4+a)·3x+4=0有解,则实数a的取值范围是 (-∞, -8] . 四.试题精选: (一) 选择题: 1.方程 = 的解集是(C)。 (A){2, -1} (B){-2, 1} (C){0, 1} (D){0, -1} 2.方程 =4的解集是(D)。 (A){1} (B){-1} (C){-1, 1} (D) 3.方程22x-2x-2=0的解集是(D)。 (A){1, 0} (B){-1, 0} (C){-1} (D){1} 4.方程lgx2+lg6=lg24的解集是(C)。 (A){2} (B){-2} (C){-2, 2} (D)(-2, 2) 5.方程lg(x-1)-lg(1-2x)=0的解集是(B)。 (A){ } (B) (C){x|x≠1或x< } (D){1} 6.方程log 2(2lgx)=1的解集是(B)。 (A){10 } (B){10} (C){10, 10 } (D){1} 7.方程log0.5xx2-14log16xx2+40log4x =0的解是(D)。 (A)1或 (B)1或4 (C) 或4 (D)1, 或4 8.方程log2(x+4)=3x的实根的个数是(C)。 (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 9.方程x2-5x·log2a+6(log2a)2=0的两个实根中,有且仅有一根在内(1, 2),则实数a的取值范围是(B)。 (A)(-∞, ) (B)( , ) (C)[ , 2) (D)( , ] 10.方程lg(x+1)4=(log2 )2的解为(C)。 (A)-0.99 (B)0 (C)9或-11 (D)-99 (二) 填空题: 11.方程 = 的解集是 . 12.方程lg(x+1)4=4的解集是 {9, -11} . 13.设方程lgx2-lgx2-2=0的两根是α、β,则 的值是 -4 . 14.方程 x2-log2x=2的实数根的个数是 2个 . 15.方程5x-1·103x=8x的解集是 . (三) 解答题: 16.设常数m>1,求证方程2lgx-lg(x-1)=m有两个实数根。
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:由方程2lgx-lg(x-1)=m得x>0, x-1>0, 且 =10m. ∵ m>1, ∴ 10m>10, 设10m=t>10, 则方程 =10m化为x2-tx+t>0, △=t2-4t>0, 且两根x= >1 ((t-2)2=t2-4t+4>t2-4t). ∴原方程有两个实数根。 17.解方程:log2(4x+4)=x+log 2(2x+1-3). 解:原方程等价于 , ∴ x+1>log23. 22x+4=2·22x-3·2x, 22x-3·2x-4=0, ∴ 2x=4, 或2x=-1(舍去),∴ x=2. 经检验 x=2是原方程的解。 18.解关于x的方程: =a,(a>0且a≠1). 解:两边取以a为底的对数,得(log ax-1)( log ax)=1, log2ax-log ax-2=0, ∴ log ax=2或log ax=-1, ∴ x=a2或x= . 19.若方程lg(ax-2)-lg(x+1)=1有实数解,求实数a的取值范围。 解:原方程等价于 , ∴ x>-1, 且ax-2=10(x+1), ∴ (a-10)x=12, ∴ a≠10, 当a>10时, x= >1, 满足条件; 当a<10时,要使x= >-1, 解得a<-2, 综上得a>10或a<-2. 20.设x∈R,解关于x的方程:4x-2x+1+a=0. 解:22x-2·2x+a=0, 当△<0时, 4-4a<0, 即 a>1时方程无解; 当△≥0时,即 a≤1时,关于2x有解,2x=1± , ∴ 当0
0, 方程有两解x=log 2(1± ), 当a<0或a=1时, 方程有一解,x=log 2(1+ ). 21.关于x的方程32x+1+(m-1)(3x+1-1)-(m-3)·3x=0有两个不同的实数根,求实数m的取值范围。 解:原方程整理为3·32x+2m·3x-(m-1)=0, 设3x=t, t>0, 则3t2+2mt-(m-1)=0有两个不同的正根, ∴ ,由m2+3m-3>0解得m> 或m< , ∴ 使原方程有两个不同的实数根的条件是m< . 中国教育开发网 _1023950673.unknown _1023953683.unknown _1023969822.unknown _1023970994.unknown _1028957234.unknown _1028957910.unknown _1028959048.unknown _1031404359.unknown _1028959091.unknown _1028958761.unknown _1028957451.unknown _1028957530.unknown _1028957424.unknown _1028957437.unknown _1023971655.unknown _1023971938.unknown _1023972006.unknown _1023973021.unknown _1023971779.unknown _1023971375.unknown _1023970085.unknown _1023970387.unknown _1023970633.unknown _1023970194.unknown _1023969893.unknown _1023970027.unknown _1023969840.unknown _1023969264.unknown _1023969626.unknown _1023969642.unknown _1023969506.unknown _1023953792.unknown _1023969143.unknown _1023953765.unknown _1023953782.unknown _1023952135.unknown _1023953077.unknown _1023953287.unknown _1023953513.unknown _1023953117.unknown _1023952631.unknown _1023952993.unknown _1023952539.unknown _1023951577.unknown _1023952007.unknown _1023952096.unknown _1023951956.unknown _1023951222.unknown _1023951495.unknown _1023951130.unknown _1023901883.unknown _1023902148.unknown _1023950411.unknown _1023950509.unknown _1023902208.unknown _1023902042.unknown _1023902087.unknown _1023902001.unknown _1023902035.unknown _1023900962.unknown _1023901197.unknown _1023901790.unknown _1023901085.unknown _1023900653.unknown _1023900849.unknown _979734134.unknown _980229461.unknown _979733661.unknown _979733700.unknown _965481565.unknown _979733626.unknown
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