中考数学中的最值问题

2001年第1期 数学中的最值问题 肖 斌 (四川省巴中市茶坝中学，635508) 最值问题涉及工业、农业、交通运输、军事、 商品经济等诸方面，与人民生活息息相关，它把 几何、代数、三角等知识融为一体，综合性强，是 考查学生综合素质及应用能力的重要题型．解 决好这一热点问题的关键是善于转化，把形形 色色的最值型综合问题最终化归为代数式比较 大小问题、一次函数最值问题、二次函数最值问 题以及有关几何最值问题．下面举例说明． (2)设单独完成工程，厂家要付给甲、乙、 丙三队每天分别为a元、b元、c元．依题意，得 f6(a+b)=8700， fa：800， ．{10(b+f)=9500，解得 a 0)相交于点B(m， 一3)及D(3，竹)． 掰切 4哟◇协一j ／7 图2 (1)求B、D两点的坐标，并用含a的代数 式表示b和C； (2)(I)若关于z的方程z2+插nz+a2 一言盘+百1=0有实数根，求此时抛物线的解析 式； (Ⅱ)若抛物线y==：知2+bcr+c(n>0)与 32轴相交于A、C两点，顺次连结A、B、C、D 得凸四边形ABCD．问：四边形ABCD的面积S 是否有最大值或最小值?若有，求S的最大值 或最小值；若无，请说明理由． (1998，南通市中考题) 解：(1)过B、D分别作JC轴的垂线段BE、 DF，垂足分别为E和F．则PF=2，咒=FD= PF·tan0=3． 故D(3，3)． 进而可求得6=丁3一i2，c=一号～丢．万方数据万方数据 2001年第1期 3 (2)(I)易求得n=1，6=一吾，c=一导． 故抛物线解析式为y=z2一可1z一了9． (1I)S=S龇十S似’ =AC·DF+AC·BE =AC·3+AC·3=3AC． 。．’抛物线与z轴有两个交点A、C， ．’．可设A、C两点坐标分别为(z。，0)、 (％0)．则X1-．X2为方程}2+(吾一昝一 要一一3：0的两个根． ．’峨％=2一导⋯。矿一3一扣 贝4AC=OC+OA=z2一z1 =以夏可=√i了iF丽 =√(2一吾口)2—4(一3一吾以) ：lff9a2+64． ．·．s=吾而． ‘．’a可取大于0的任何实数， ．’．S不可能取得最大值或最小值． 4化归为有美几何最值问题 “两点之间，线段最短”、“垂线段最短”、“直 径是圆中最长的弦”等几何小知识，在解决某些 最值问题时可派上大用场． 例5 如图3， O0。与6302相交 于C、D，A是001A 上一点，直线AD交 o02于点B． 图3 B (1)当点A在 函西上运动到A7点时，作直线A'D交00：于 点B7，连A7C、B7C．证明：△A7B7C∽△ABC． (2)问点A7在函b上什么位置时．s出乳 最大，请说明理由． (3)当0，02=11、CD=9时，求S甜，Bc的 最大值． (1999，安徽省中考题) 证明：(1)由么A7=么A，么B7=么B， 有△A，B7C∽△ABC． 证明：(2)‘．‘△A"t37C09△ABC， ．·．漂=筹脚s⋯．=等“2xAl，7．一j玄五了一评’吲。。△A甘。’一讶 ‘ 因CA、s姗．是定值，所以，当CA7取最大 值，即CA7为④0．的直径时，S出似。、的值最大． 解：(3)‘．‘A7C为OO．的直径， ．‘．么A7DC=90。，于是，么B7DC=90。． ．‘．B7C为oO：的直径． 。．‘0102上cD且0102／_／告A倍7， ．。．s出眦、=毒A倍7·(D =0、0，×C／)=11×9=99． 练习题 i．已知关于工-的方程z2—2x+最=0有实数根 z。、z：，且Y=z；4-zi．试问：3，值是否有最大值或最小 值?若有，试求出其值；若没有，请说明理由． (1999，天津市中考题)(当走=l时．y刖、=2) 2．某商场销售一一批名牌衬衫，平均每天可售出20 件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减 少库存，商场决定采取适当的降价

措施

《全国民用建筑工程设计技术措施》规划•建筑•景观全国民用建筑工程设计技术措施》规划•建筑•景观软件质量保证措施下载工地伤害及预防措施下载关于贯彻落实的具体措施

．经调查发现， 如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件． (1)略；(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天 盈利最多? (1999，南京市中考题)(当每件衬衫降价15元时， 商场平均每天盈利最多，为1250元) 3．④o的半径为5，P是圆内一点，且OP=3．求 过P点最短弦、最长弦的长各是多少? (1998，安徽省中考题)(最短弦长8，最长弦即直径 长lO) 万方数据万方数据 中考数学中的最值问题 作者： 肖斌 作者单位： 四川省巴中市茶坝中学,635508 刊名： 中学教与学 英文刊名： TEACHING AND LEARNING IN SECONDARY SCHOOL 年，卷(期)： 2001(1) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxjyx200101001.aspx