正方形的性质

nullnullnull有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 正方形既是矩形又是菱形，它都有什么性质呢？ （1）边的性质： 正方形的四条边都相等 ； （2）角的性质： 正方形的四个角都是直角 ； （3）对角线的性质： 正方形的对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角 ； （4）对称性：轴对称、中心对称 .巩固练习：判断下列命题是否正确，不是正方形的补充什么条件能让它成为正方形？巩固练习：判断下列命题是否正确，不是正方形的补充什么条件能让它成为正方形？四个角都相等的四边形是正方形； ( ) 四条边都相等的四边形是正方形； ( ) 对角线相等的菱形是正方形； ( ) 对角线互相垂直的矩形是正方形； ( ) 对角线垂直且相等的四边形是正方形; ( ) 四边相等，有一个角是直角的四边形 是正方形. ( )√√√×××null正方形的性质的应用 例1、如图，正方形ABCD中， （1）一条对角线把它分成 个全等的三 角形。问：这些三角形是什么三角形？（2）两条对角线把它分成 个全等的 三角形。24等腰直角ABDCO（3）对角线AC与正方形的一边所成的角为 度。45 null例2、如图，正方形ABCD中， 正方形的面积为64平方厘米，则正方形对角线AC= 。null例3、已知：如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F. (1) E是BC的中点，求证：OE=OF.null已知：如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F.(2)若正方形A′B′C′D′绕点O旋转某个角度后，OE=OF吗？两正方形重合部分的面积怎样变化？为什么？ 由（1）（2）可以得到什么结论？null例4、已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD，∠FAE=∠BAE. 求证：AF=BC+FC.null已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE. 求证：AF=BC+FC.null已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE. 求证：AF=BC+FC.课堂练习1.求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 课堂练习null(1)已知：如图①，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M，求证：AE=BF. 2.在正方形ABCD中：在正方形ABCD中：在正方形ABCD中：(2)如图②，如果点E、F、G分别在BC、CD、DA上，且GE⊥BF，垂足M，那么GE与BF相等吗？证明你的结论. 在正方形ABCD中：在正方形ABCD中：(3)如图③，如果点E、F、G、H分别在BC、CD、DA、AB上，且GE⊥HF，垂足M，那么GE与HF相等吗？证明你的结论. null看一看，选一选1.正方形具有而菱形不具有的性质是（ ） A.对角线互相垂直 B.四条边都相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分null2.下列说法正确的是（ ） A.四条边相等的四边形是正方形 B.两条对角线互相垂直的矩形是正方形 C.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D.两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形null想一想，填一填3.一个正方形的面积等于8，则其对角线的长为（ ） 4.正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD于E，则DE的长为（ ）null5.如图，已知正方形ABCD，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连结DE，CE， 则∠DEC=（ ） null6.如图，已知正方形ABCD内有一个△BEF，AB=6， AF︰FD=1︰2， E为DC的中点， 求△BEF的面积。null7.如图，正方形ABCD的对角线的长为10，M是AB边上的一点， 且ME⊥AC于E，MF⊥BD 于F，则ME+MF=（ ）null8.在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB， PF⊥BC，垂足分别是 点E、F.求证：DP=EFnull 9.已知：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，M、N 在OB和OC上，且MN∥BC， 连结DN、MC，试猜想 DN与MC有什么关系？ 并证明你的猜想。null10.如图，四边形ABCD为正方形，EB∥AC，EC=AC 求∠ECB 的度数。null11.在正方形ABCD中，P为BC边上一点， Q为CD边上一点，如果PQ=BP+DQ， 求∠PAQ的度数.null①正方形对边平行. ②正方形四边相等. ③正方形四个角都是直角. ④正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形. ⑤正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对.正方形的性质：课堂小结课堂小结正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系 ：