第2章 测量误差分析与处理

null第2章 测量误差与处理 第2章 测量误差分析与处理 研究误差的意义在于： 1. 正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以便减小和消除误差； 2. 正确认识误差和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到最接近于真值的数据； 3. 正确组成测量系统，合理选择仪器和测量方法，以便在最经济条件下得到最理想的结果。 第一节 测量误差的概念 第一节 测量误差的概念 一、 测量误差的来源 （1）测量装置的误差 （2）环境误差 （3）方法误差 （4）人员误差 二、测量误差的分类 按照测量结果中存在的误差的特点与性质不同，测量误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差 null三、测量误差的表示 误差 + 真值 = 测得值 测量误差通常采用绝对误差和相对误差两种方式来表示。 常见的绝对误差可以用真误差、剩余误差、最大绝对误差、算术平均误差、误差、或然误差、极限误差等方法表示。 绝对误差与根据需要和方便的取值之比值称为相对误差。对应不同相比的取值，相对误差可用实际相对误差、示值相对误差、引用相对误差、最大相对误差、分贝误差等方法表示。 第二节 直接测量误差的分析与处理 第二节 直接测量误差的分析与处理 一、 随机误差的分析与处理 1. 随机误差的定义和分布特点 （1）定义 在相同的条件下对同一被测量进行多次重复测量，误差的大小和符号的变化没有一定规律，且不可预知，这类误差称为随机误差。 随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素综合作用的结果。 null（2）分布的特点 ① 有界性 ② 单峰性 ③ 对称性 ④ 抵偿性 2. 随机误差的正态分布特征 理论和实践都证明了大多数的随机误差都服从正态分布的规律，其分布密度函数为： null μ和σ确定之后，正态分布就完全确定了。正态分布密度函数的曲线如图所示。从该曲线可以看出，正态分布很好地反映了随机误差的分布规律。 null（1）真值μ 设x1、x2 、……xn 为n次测量所得的值，则算术平均值为 由随机误差的抵偿性可知，有 故 时 null均方根误差σ 均方根误差的定义式为 可以证明，均方根误差的估计值计算公式为： null算术平均值的均方根误差 如果在相同的条件下将同一被测量分成m 组，对每组重复测量n次，则每组测量值都有一个平均值。由于随机误差的存在，这些算术平均值也各不相同，而是围绕真值有一定的分散性，即算术平均值与真值间也存在着随机误差。用表示算术平均值的均方根误差，由概率论中方差运算法则可以求出 在有限次测量中，以表示算术平均值均方根误差的估计值，有 null随机误差的计算 随机误差出现的性质决定了人们不可能准确地获得单个测量值的真误差的值。我们所能做的只能是在一定的概率意义下估计随机误差数值的范围，或者求得随机误差出现在给定区间的概率。 对于服从正态分布的测量误差，出现于区间 内的概率为 考虑到正态分布密度函数的对称性，出现于区间 的概率为 null 令 ，则 ， 函数 称为概率积分，不同的z对应不同 的。 若某随机误差在 范围内出现的概率为2 ，则随机误差超出此区间的概率为 null[例2-1] 计算z分别等于1、2、3时对应的置信概率P。 解：如图所示，当 z=1时，区间为[ -σ，σ]，此时 当 z=2时，区间为[ -2σ，2σ]， 此时当 z=3时，区间为[ -3σ，3σ]，此时 null 在一般测量中，测量次数很少超过几十次，因此可以认为大于 的误差是不可能出现的，通常把这个误差称为单次测量的极限误差，即 当z=3时，对应的概率P=99.73%。 几个概念：把区间（ ）称为置信区间，对应的概率 称为置信概率， 称为置信限，z称为置信因子， 称为显著性水平或置信水平。 null测量结果的表示方法 若以单次测量值表示测量结果X，有 X = 单次测量值±置信区间半长 (P=置信概率) 例如：X = 单次测量值±3 (P=99.73％) X = 单次测量值±2 (P=95.45％) 若以算术平均值表示测量结果X，有 X = 算术平均值±置信区间半长 (P=置信概率) 例如：X = ±3 (P=99.73％) X = ±2 (P=95.45％)null 在实际测量中的子样容量通常很小（例如n<10），应以t分布的置信系数 代替正态分布的置信系数z来增大同样置信概率下的置信区间。 t分布的置信系数 与置信水平和自由度都有关，即考虑了子样容量的大小，其数值可查表得到。当n趋于无穷大时，t分布趋向于正态分布。 对于小子样，其测量结果最终应表示为 X = ± = ± (P=置信概率)null [例2-2] 对某量进行6次测量，测得数据为：802.40、802.50、802.38、802.48、802.42、802.46，试给出测量结果的最佳表达式（要求测量结果的置信概率为99％） 解：因为是小子样，采用t分布置信系数来估计置信区间。 （1）求平均值 （2）求 的标准误差估计值 null（3）根据给定的置信概率P=99％，求得置信水平 =0.01；自由度ν=6-1=5，查表可得 =4.03。所以，测量结果为X= ± =802.44±0.08 (P=99％) 在上例中，若以正态分布计算测量结果，对于给定的置信概率P=99％，查表可得到 z=2.58 ，则测量结果为 X= ±z =802.44±0.05 (P=99％) null二、系统误差的分析与处理 系统误差的定义与分类 在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的大小和符号或者保持不变，或者按一定的规律变化，这类误差称为系统误差。 前者称为恒值系统误差，后者称为变值系统误差。在变值系统误差中，又可按误差变化规律的不同分为累进系统误差、周期性系统误差和按复杂规律变化的系统误差。 null2. 系统误差产生的原因 系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素所造成，这些误差因素是可以掌握的。 测量装置方面的因素 环境方面的因素 测量方法的因素 测量人员方面的因素 由于系统误差是和随机误差同时存在于测量数据之中，且不易被发现，多次重复测量又不能减小它对测量结果的影响，这种潜伏性使得系统误差比随机误差具有更大的危险性。 null3. 系统误差的发现方法 （1）实验对比法 实验对比法是改变产生系统误差的条件，进行不同条件的测量，以发现系统误差。 这种方法适用于发现不变的系统误差 （2）残余误差观察法null[例] 对某恒温箱内温度进行了10次测量，依次获得数据如下： 20.06，20.07，20.06，20.08，20.10， 20.12，20.14，20.18，20.18，20.21 试判断该测量列中是否存在变值系统误差。 解： 计算各测定值的残差vi ,并按先后顺序排列： -0.06，-0.05，-0.06，-0.04，-0.02，0，0.02，0.06，0.06，0.09 可见，残差由负到正，其数值逐渐增大，故测量列中存在累进系统误差。null（3）残余误差校核法 （a）马利科夫准则 将测得值按测量的先后顺序列出，计算出全部残余误差，用前一半测得值的残余误差之和减去后一半测得值的残余误差之和，若差值显著不为零，则可判断测量结果中存在累进系统误差。 则有理由认为测量列存在线性系统误差。 (当n为偶数，取K=n/2；n为奇数，取K=(n+1)/2) null（b）阿贝-赫梅特准则 将测得值按测量的先后顺序列出，计算出全部残余误差 ，求出测量列的标准误差估计值 ，令 若 > 则认为该测量列中含有周期性系统误差。 null4.系统误差的一般处理原则 （1）从产生误差根源上消除误差 用排除误差源的方法消除系统误差是最理想的方法。它要求测量人员，对测量过程中可能产生系统误差的各个环节作仔细分析，并在正式测试前就将误差从产生根源上加以消除或减弱到可忽略的程度。由于具体条件不同，在分析查找误差源时，并无一成不变的方法，但以下几方面是应予考虑的： ① 所用基准件、标准件（如量块、刻尺等）是否准确可靠； ② 所用量具仪器是否处于正常工作状态，是否经过检定，并有有效周期的检定证书； ③ 仪器的调整、测件的安装定位和支承装卡是否正确合理； ④ 所采用的测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差； ⑤ 测量的环境条件是否符合规定要求，如温度、振动、尘污、气流等； ⑥ 注意避免测量人员带入主观误差如视差、视力疲劳、注意力不集中等。 null（2）用修正方法消除系统误差 这种方法是预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，取与误差大小相同而符号相反的值作为修正值，将测得值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果。 （3）在实际测量时，尽可能采用有效的测量方法，以消除或减弱系统误差对测量结果的影响。 (a) 采用对置法可消除恒值系统误差。 null(b) 采用对称观测法可消除累进系统误差。 (c) 采用半周期法，可以很好地消除周期性系统误差。 对周期性误差，可以相隔半个周期进行两次测量，取两次读数平均值，即可有效地消除周期性系统误差。 例如仪器度盘安装偏心、测微表针回转中心与刻度盘中心的偏心 等引起的周期性误差，皆可用半周期法予以剔除。 null三、粗大误差的分析与处理 粗大误差的定义及产生的原因 粗大误差是指明显歪曲了测量结果而使该次测量失效的误差，也称为疏失误差。含有粗大误差的测量值称为坏值或异常值。 产生粗大误差的原因很多，主要有： 主观原因 测量者在测量时粗心大意、操作不当或过于疲劳而造成错误的读数或记录，这是产生粗大误差的主要原因。 客观原因 测量条件意外的改变（如外界振动、机械冲击、电源瞬时大幅度波动等），引起仪表示值的改变。 对粗大误差，除了设法从测量结果中发现和鉴别而加以剔除外，重要的是要加强测量的工作责任心和严格的科学态度。此外，还要保证测量条件的稳定。 null2. 判别粗大误差的准则 (1) 3 准则（莱伊特准则） 如果在测量列中，发现有大于3 的残余误差的测得值，即 则可以认为它含有粗大误差，应予以剔除。 实际使用时，标准误差取其估计值，且按莱伊特准则剔除含有粗差的坏值后，应重新计算新测量列的算术平均值及标准误差，判定在余下的数据中是否还有含粗大误差的坏值。 注意：该准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则，它是以测量次数充分大为前提，但通常测量次数比较少，因此该准则只是一个近似的准则。在测量次数较少时，最好不要选用该准则。 null 【例】 对某量进行15次等精度测量，测得值如下表所列，设这些测得值已消除了系统误差，试判别该测量列中是否含有粗大误差的测得值。 表 2-11null 由表可得 根据 准则，第八测得值的残余误差为： 即它含有粗大误差,故将此测得值剔除。再根据剩下的14个测得值重新计算，得： 由表知，剩下的14个测得值的残余误差均满足 ,故可以认为这些测得值不再含有粗大误差。null2．格拉布斯准则 设对某量作多次等精度独立测量，得到一测量列：x1，x2，…，xn。当 xi 服从正态分布时，计算得到 将xi按大小顺序排列成顺序统计量null 计算首、尾测得值的格拉布斯准则数 取定置信水平(一般为0.05或0.01)，根据子样容量n和置信水平α，从表中查出相应的格拉布斯准则临界值 。若 ，即判断该测得值含有粗大误差，应予以剔除。 注意当 和 都大于 ，应先剔除大 者，再重新计算 和 ，这时子样容量为（ ），再进行判断，直至余下的测得值中不再发现坏值。 null 按测得值的大小，顺序排列得 今有两测得值 ， 可怀疑，但由于 故应先怀疑 是否含有粗大误差，计算 查表2-12得 则 故表2-11中第八个测得值 含有粗大误差，应予剔除。 剩下的14个数据，再重复上述步骤，判别 是否含有粗大误差。 解： 故可判别 不包含粗大误差，而各 皆小于1.18，故可认为其余测得值也不含粗大误差。 还用上例测得值，试判别该测量列中的测得值是否含有粗大误差。null 第三节 间接测量误差的分析与处理 一、间接测量中系统误差的传递 在间接测量中，函数关系的一般形式为式中 为各个直接测量值；y为间接测量值。 对于以上函数，其增量可用函数的全微分表示，则有 null 上式为间接测量中系统误差的传递公式 二、 间接测量中随机误差的传递 null 若各直接测量值是相互独立的，相关系数 为零，则式可以简化为式中， 称 为局部误差。上式为随机误差传递的基本公式。null三、误差分配 常按下列步骤求解： 1．按等作用原则分配误差，即令。注意当有的误差已经确定而不能改变时，应先从给定的允许总误差中除掉，然后再对其余误差项进行误差分配。 2．根据测量的难易程度，对各局部误差进行调整，即对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现测量的误差项尽可能缩小，而对其余误差项不予调整。 3．验算调整后的总误差。若计算的实际总误差超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再予缩小误差；若实际总误差较小，可适当扩大难以测量的误差项的误差。 null四、 微小误差取舍准则 测量过程中包含的误差，有的数值较小，计算测量结果的总误差时可不予考虑，这种误差称为微小误差。微小误差的取舍准则是被舍去的误差必须小于或等于测量结果总标准差的1/3至1/10。 按照微小误差取舍准则，在计算总误差或误差分配时，若发现有微小误差，可不考虑该误差对总误差的影响。选择高一级精度的标准器具时，其误差一般应为被检器具允许总误差的1/10～1/3。 nullnull