特殊平行四边形、梯形与证明导学案
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第16课时 特殊平行四边形、梯形与证明导学案 【复习目标】
1、 进一步巩固特殊平行四边形以及梯形,掌握其性质及应用。
2、 能够运用相关性质、定理准确的判断特殊的四边形。
【复习重、难点】
1. 重点是掌握特殊平行四边形与梯形的概念与性质。
2.难点是对矩形、菱形、正方形、梯形的概念理解及其相互关系的证明的理解。 【导学
】
一.【唤醒热身】
【知识框架】
菱形的性质 菱形的判定
等腰梯形的判定方法
菱 形 四 正方形的性质 平 行 等腰梯形 梯形 正方形 边 四边形 正方形的判定方法 形 矩 形
等腰梯形的性质
矩形的性质 矩形的判定方法
,一,【知识梳理】
1.梯形性质:a、等腰梯形的两腰 ; 的梯形是直角梯
形;b、等腰梯形 的两个底角相等。
梯形判定:a、 的梯形是等腰梯形。
2、矩形性质:a、矩形对边______,邻边________;b、矩形的四个角都是___________;
c、矩形的对角线_________且互相_________;d、对称性:矩形既是
______图形又是________图形
矩形判定:a、有一个角是_______的平行四边形是矩形;b、三个角是________的
四边形是矩形;c、对角线_____的平行四边行是矩形;d、对角线
______且______的四边形是矩形。
3、菱形性质:a、菱形四边_____;b、对角_____,邻角_______;c、对角线___________,
且平分______;d、对称性:菱形是______图形。
菱形判定:a、邻边_____的平行四边形是菱形;b、对角线_________的平行四边形
是菱形;c、对角线_________的四边形是菱形;d、四边______的四边
形是菱形。
4、正方形性质:a、四边_______且邻边______;b、四个角都是_______;c、对角线______
且互相_______,还平分_______;d、对称性:正方形既是________
又是_________图形。
正方形判定:a、有一个角是______的菱形是正方形;b、邻边_______的矩形是正
方形;c、邻边______且______的平行四边形是正方形。
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,二,【回眸诊断】
1、平行四边形的两组对边平行且相等(平行四边形的定义二:有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形);
例题:已知一个平行四边形的一组邻边分别是5厘米和3厘米,那么这个平行四边形的周长是( )。
2、平行四边形的四个角的度数加起来是360度;
平行四边形的两个对角相等,两个相邻的角是180度;
3、平行四边形具有易变形性(不稳定性);(三角形的特性:稳定性)。
例题1:人们利用平行四边形的( )制作了电动门。
例题2:捏住长方形的两个对角向相反方向拉动得到( ),那么这个长方形的( )不变,( )在变,图形中的高越来越( )。《平行四边形;周长;面积;短。》
4、长方形和正方形是特殊的平行四边形。
5、四边形和各种特殊四边形的关系
6、平行四边形和梯形定义和特征
梯形的定义:只有一组对边平行的四边形是梯形。通常把短的一条 边叫上底,长的叫下底。不平行的两条边叫(腰)。
梯形的高:从上底的一点到下底的垂直线段是梯形的高。
等腰梯形:两腰相等的梯形是等腰梯形。(底角也相等)
例题:梯形有( )条高,并且长度( )。
从直线外一点到这条直线所画的( 垂线段 )最短,它的长度叫这点到直线的距离。
例题: 1、一匹小马在A点,它要到河边喝水,为了让小马尽快的喝到水,请你为这匹小马设计到河边喝水的路线,并画出来。
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二.【典例精析】
例1 如图1,矩形ABCD中,AC与BD交于O点,BE?AC于E,CF?BD于F.
O 求证:BE = CF. A D E F 证明:?四边形ABCD是矩形,
B C 图1 ?OB = OC.
又?BE?AC,CF?BD,??BEO =?CFO = 90º.
??BOE =?COF.
??BOE??COF. ?BE = CF.
评注:本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定. 例2 如图2,点E、F分别是菱形ABCD的边CD与CB延长线上的点,且DE = BF,求证:?E =?F. 证明:如图2,?四边形ABCD是菱形, C ?CB = CD,?DCA =?BCA. D B
F E ?DE = BF,?CE= CF.
A
图2 又?CA = CA,??CEA??CFA.
??E =?F.
评注:本题主要考查菱形的性质以及全等三角形的判定.
例3 如图3,已知正方形ABCD,把一个直角与正方形重合,使直角顶点与A重合,两边分别、AD重合. 将直角绕点A按顺时针方向旋转,当直角的一边与BC相交于E点,另一边与CD与AB
的延长线相交于F点时,作?EAF的平分线相交于G,连结EG. F
A D 求证:(1)BE,DF;
G (2)BE,DG = EG. B C E
图3 (1)证明:?四边形ABCD是正方形,
?AB,AD,?BAD,?B=?ADF=?EAF,90?.
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??BAD,?EAD,?EAF,?EAD,即?BAE =?DAF.
??ABE??ADF. ?BE,DF.
(2)??ABE??ADF,?AE = AF.
?AG是?EAF的平分线,??EAG =?FAG.
?AG = AG,??AEG??AFG.
?EG = GF.
?GF = DF,DG,BE,DF,
?BE,DG = EG.
评注:本题主要考查正方形的性质、同角的余角相等、角平分线的性质以及全等三角形的性质与判定.
例4已知:如图4,在?ABC中,D是AB边上的一点,且BD = BC,BE?CD于E,交AC于点F,请再添加一个条件,使四边形DMCF是菱形,并加以证明.
解析:根据菱形的判别方法和已有的已知条件,再添加的条件可为DM?AC或ME = EF或DM = DF或DM = CF等.
A 证明:如图 ,在?ABC中,BD = BC,BE?CD,则DE = CE. D
E F ?DM?AC,??MDE =?FCE.
M B C 又??DEM =?CEF,??DEM??CEF. 图4
?DM = CF. ?四边形DMCF是平行四边形.
又?MF?CD,?平行四边形DMCF是菱形.
三.【巩固训练】
1(矩形具有而一般的平行四边形不具有的特点是( )
A、对角线相等 B、对边相等 C、对角相等 D、对角线互相平分 2(依次连结矩形各边中点所得的四边形是 ( )
A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、一般平行四边形
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A、平行四边形的对角线互相平分; B、菱形的对角线互相平分;
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形; D、对角线相等的四边形是矩形。 4(下列结论:(1)正方形具有平行四边形的一切性质;(2)正方形具有矩形的一切性质;(3)正
方形具有菱形的一切性质;(4)正方形具有四边形的一切性质,其中正确结
论有( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
5(如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E为AB的中点,且OE=a,
、16a B、12a C、8a D、4a 则菱形ABCD的周长为( )A
6( 如图所示,正方形ABCD中,点E是CD边上一点,连接AE,交对角线BD于点F,连接CF,则
图中全等三角形共有( )
A、1对 B、2对 C、3对 D、4对
7(若等腰梯形两底之差等于一腰的长,•那么这个梯形一内角是( )
A(90? B(60? C(45? D(30?
8(如图所示,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下,则所得图形是 ( )
(第9题图) (第10题图) 9(如图,在等腰梯形ABCD中,AD?BC,AD,5,AB,6,BC,8,且AB?DE,则?DEC周长为 ( )
A(3 B(12 C(15 D(19
10(如图,直角梯形ABCD中,AD?BC,AB?BC,AD=2,BC=3,将腰CD以D为中心逆时针旋转90?
至ED,连AE、CE,则?ADE的面积是( )
A、1 B、2 C、3 D、不能确定 二、填空题
11(如图,在梯形ABCD中,AD?BC,CA平分?BCD,CD=5,则AD的长是 。 12(如图,点E、F是菱形ABCD的边BC、CD上的点,请你添加一个条件(•不得另外添加辅助线和
字母),使AE=AF,你添加的条件是________()
13(如图,P是正方形ABCD内一点,且?PBC是等边三角形,则?PAD,_______。
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(第11题图) (第12题图) (第13题图) (第15题图)
214(已知菱形的两对角线长分别为6?和8?,则菱形的面积为 ?.
15(如图,在等腰梯形ABCD中,AD?BC,AB?AD,对角线AC,BD相交于点O,•如下四个结论:
?梯形ABCD是轴对称图形;??DAC=?DCA;??AOB??DOC(请把其中正确结论的序号填在
横线上:_______(
16(用两个全等的直角三角形拼下列图形:?平行四边形;?矩形;?菱形;?正方形;?等腰三
角形;?等边三角形;一定可以拼成的是________(只填序号)(
17(矩形的两条对角线的夹角为60?,其中较短的一条边长是3cm,则它的对角线长是_____cm( 18(如图是某广告公司为某种商品设计的商标图案,图中阴影部分为红色(若每个小长方形的面积
都是1,则红色的面积是_______。
19(如图,矩形纸片ABCD中,AD=9,AB=3,将其折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,那么折痕
EF的长为________(
20(如图,正方形ABCD中,点P是对角线AC上一点,PE?AB,PF?BC,垂足分别、为点E、F(若
正方形ABCD的周长为8cm,那么四边形EBFP的周长为 。
(第18题图) (第19题图) (第20题图) 三、解答题
21(如图,已知矩形中,是上的一点,是上的一点,?,且=,=4cm,ABCDEADFABEFECEFECDE
矩形ABCD的周长为32cm,求AE的长(
22(已知:如图,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC•分别相交于E、F,求证:
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主备人: 审核人: 班级: 学生姓名: 编号: 四边形AFCE是菱形(
23(如图,在等腰梯形ABCD中,已知AD?BC,AB=DC,AD=2,BC=4,延长BC到E,使CE=AD( (1)写出图中所有与?全等的三角形,并选择其中一对说明全等的理由; DCE
(2)探究当等腰梯形ABCD的高DF是多少时,对角线AC与BD互相垂直,请回答并说明理由(
四.【达标检测】
1、下列说法正确的是( )
B(对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 A(对角线相等且互相平分的四边形是菱形
C(对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D(对角线相等的四边形是等腰梯形 2、1.如图,下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为( )
A D ,,BAD90? ? ? ? ACBD,ABBC,ACBD,
A(?? B(?? C(?? D(???
B C
第1题 3、顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是( )
A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形
4、如图, E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点,且CE,DF,AE、BF相交于点O,下列结论?AE,BF;?AE?BF;?AO,OE;?S?AOB,S四边形DEOF中,错误
的有( ) AA(1个 B(2个 C(3个 D(4个
BD5、如图,菱形ABCD中,?B,60?,AB,2,E、F分别是BC、CD的中
EF点,连接AE、EF、AF,则?AEF的周长为( )
C第5题 3A( B( C( D( 233343
D A (二)填空题 P 1、11.如图,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且BP = BC,则?ACP度数是 (
C B
第1题
ED A
O2、如图,矩形ABCD中,AB,2,BC,3,对角线AC的垂直平分线分别交 AD,BC于点E、F,连接CE,则CE的长________. FBC2题
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13、如图矩形ABCD中,AB,8?,CB,4?, E是DC的中点,BF,BC,则四边形DBFE的面积4为 。
AD、F分别是正方形的边BC、DC上的点,且?EAF,45?, 4、解答题、已知:如图所示,E
求证:BE,DF,EF
F
CBE
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