高中对数
及经典例
、习题(带解析)
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2.5 对数与对数
【考纲说明】
1. 理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对
数,了解对数在简化运算中的作用。
2. 理解对数函数的概念及其图象性质,了解对数函数与指数函数护卫反函数。 【知识梳理】
1.对数
(1)对数的定义:
b如果a=N(a,0,a?1),那么b叫做以a为底N的对数,记作logN=b. ab(2)指数式与对数式的关系:a=NlogN=b(a,0,a?1,N,0).两个式子
示的a、b、,a
N三个数之间的关系是一样的,并且可以互化.
(3)对数运算性质:
?log(MN)=logM+logN. aaa
M?log=logM,logN. aaayyNn?logM=nlogM.(M,0,N,0,a,0,a?1) aa
logNa?对数换底公式:logN=(a,0,a?1,b,0,b?1,N,0). blogba
2.对数函数
(1)对数函数的定义
函数y=logx(a,0,a?1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+?). alog(2)对数函数的图象 y= x a>
1a( )
x x OO
log1y= x a
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
答案】D.
【例2】(2012安徽文)( ) log9log4,,23
11A( B( C( D(,, 42
lg9lg42lg32lg2log9log44,,,,,,【解析】 23lg2lg3lg2lg3
【答案】D
xyfx,()【例3】(2009广东理)若函数是函数的反函数,其图yaaa,,,(0,1)且
fx(),像经过点,则( ) (,)aa
12xA. B. logx C. D. logx12x22
1fx(),【解析】,代入,解得,所以logx,选B. a,f(x),logx(,)aa1a22【答案】B
abc,,,log,log3,log2,【例4】(2009全国?理)设,则( ) 323
A. abc,, B. acb,, C. bac,, D. bca,,
log2log2log3,,?,bc【解析】 322
log3log2log3log,,,?,?,,,ababc . 2233
【答案】A
log,0xx,,13【例5】(2010湖北文)已知函数,则( ) fx(),ff(()),,x92,0x,,
11A.4 B. C.-4 D.- 44
1111,2,,,,【解析】根据分段函数可得f()log2,,,,则fff(())(2)2,所以B正确. 39994
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【答案】B.
【例6】方程lgx+lg(x+3)=1的解x=___________________.
2【解析】由lgx+lg(x+3)=1,得x(x+3)=10,x+3x,10=0.
?x=,5或x=2.?x,0,?x=2. 【答案】2.
22fxx()lg,fab()1,【例7】(2012北京文)已知函数,,_________ . fafb()(),,
fxxfab()lg,()1,,?,lg()1ab【解析】,
2222 ?,,,,,fafbabab()()lglg2lg()2
【答案】2.
AxxBa,,,,,log2,(,)AB,【例8】(2009江苏)已知集合,若则实数的取值a,,2
(,)c,,,其中= 范围是c
AB,04,,xa,4【解析】由得,;由知,所以4。 log2x,A,(0,4]c,2
【答案】4.
,0,,x9【例】(2010上海)已知,化简:2
x,2lg(costan12sin)lg[2cos()]lg(1sin2)xxxx,,,,,,,( 24
2【解析】原式,lg(sinx,cosx),lg(cosx,sinx),lg(sinx,cosx),0( 【答案】0.
f(x),lg(x,1)【例10】(2012上海文理)已知函数.
0,f(1,2x),f(x),1(1)若,求的取值范围; x
g(x)g(x),f(x)(2)若是以2为周期的偶函数,且当0,x,1时,有,求函数
y,g(x)(x,[1,2])的反函数.
2,2x,0,【解析】(1)由,得,1,x,1. ,x,1,0,
2,2x2,2x由得 0,lg(2,2x),lg(x,1),lg,11,,10x,1x,1
21因为x,1,0,所以x,1,2,2x,10x,10,. ,,x,33
,,,1x1,21由得 ,,x,,3321,,,x33,
(2)当x,[1,2]时,2-x,[0,1],因此
y,g(x),g(x,2),g(2,x),f(2,x),lg(3,x)
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y,[0,lg2]由单调性可得.
yxx,3,10x,[0,lg2]因为,所以所求反函数是, y,3,10
21x【答案】(1), ,,x,x,[0,lg2]y,3,1033 ;(2)
【课堂练习】
21、(2009全国?文)设则 ( ) aebece,,,lg,(lg),lg,
A、 B、 C、 D、 abc,,acb,,cab,,cba,,
x,12、(2009四川文)函数的反函数是( ) y,2(x,R)
A、 B、 y,1,logx(x,0)y,log(x,1)(x,1)22
C、 D、 y,,1,logx(x,0)y,log(x,1)(x,,1)22
10.3a,log2,b,log3,c,()3、(2009天津文)设,则( ) 11232
A、 B、 C、 D、 a,b,ca,c,bb,c,ab,a,c
M4、,则的值为( ) 2log(2)loglogMNMN,,,aaaN
1A、 B、4 C、1 D、4或1 4
1b5、(2009湖南理) 若a,0,,1,则 ( ) log()22
A、a,1,b,0 B、a,1,b,0 C、0,a,1, b,0 D、0,a,1, b,0
11ab25,,m6、(2010辽宁文)设,且,则( ) m,,,2ab
A、 B、10 C、20 D、100 10
y,1,ln(x,1)(x,1)7、(2010全国文)函数的反函数是( )
x,1x,1x,1x,1eeeeA、y=-1(x>0) B、 y=+1(x>0) C、y=-1(x R) D、y=+1 (x R) ,,8、若函数f(x)=logx(0,a,1)在区间,a,2a,上的最大值是最小值的3倍,则a等a
于( )
1122A、 B、 C、 D、 42429、函数y,log,ax,1,(a?0)的对称轴方程是x,,2,那么a等于( ) 2
11A、 B、, C、2 D、,2 22
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10、下列函数中,在0,2上为增函数的是( ) ,,
2A、 B、 yx,,log(1)yx,,log1122
12C、D、 yxx,,,log(45) y,log12x2
,,,11111、设f (x)是f(x)=log(x+1)的反函数,若,1+ f (a),,1+ f (b),=8,则2
f(a+b)的值为( )
A、1 B、2 C、3 D、log3 2
212、函数yxx,,,log(617)的值域是( ) 12
R B、8,,, C、,,,,3 D、3,,, A、,,,,,,
xx,14,2,3,013、(2012上海文)方程的解是_________ .
1,12(lg,lg25),10014、(2011四川理)计算_______ . 4
15、(2011江苏)函数的单调增区间是__________ . f(x),log(2x,1)5
2mn,16、若 . log2,log3,,,,mnaaa
17、已知f(x)的定义域为,0,1,,则函数y=f,log(3,x),的定义域是__________. 1
2
xx,1010,fx()fx(),18、已知函数,判断的奇偶性和单调性. xx,1010,
219、已知f(x)=log,3,(x,1),,求f(x)的值域及单调区间. 1
3
20、已知y=log(3,ax)在,0,2,上是x的减函数,求a的取值范围. a
2mxxn,,8R0,221、已知函数的定义域为,值域为,求mn,的值. ,,fx()log,32x,1
【课后作业】
a32,1、已知,那么用表示是( ) log82log6,a33
223aa,a,252a,A、 B、 C、 D、 3(1)aa,,
23232255527abc 、(2010安徽文)()设,则,,的大小关系是abc,,,(),(),()555
A、a,c,b B、a,b,c C、c,a,b D、b,c,a
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3、(2010四川理)( ) 2log10,log0.25,55
A、0 B、1 C、2 D、4
254、(2010天津文)设( ) alog4blogclog,,,,(3),,则545
A、 B、 C、 D、 a,c,bb,c,aa,b,cb,a,c
xyfx,()f(2)1,5、(2009广东文) 若函数是函数的反函数,且,yaaa,,,(0,且)1
fx(),则( )
1x,2logxA、 B、 C、 D、2 logx12x22
6、函数的定义域是( ) yx,,log32(21)x,
21,,,,,11,,,,11,,,A、 B、 ,,,,,,,,32,,,,
21,,,,,,,,,, D、 C、,,,,32,,,,
2,x7、(2009全国?文)函数的图像( ) y,log22,x
A、关于原点对称 B、关于直线对称 yx,,
C、关于轴对称 D、关于直线对称 yyx,
1xfx()fx()fx()fx(1),8、(2009辽宁文)已知函数满足:x?4,则,;当x,4时,,()2
则,( ) f(2log3),2
1113A、 B、 C、 D、 881224
log,0,xx,,2,f(x)f(a),f(,a)=,若,则实数a的取值范围9、(2010天津理)若函数,log(),0,,xx1,,2
是( )
A、(-1,0)?(0,1) B、(-?,-1)?(1,+?)
C、(-1,0)?(1,+?) D、(-?,-1)?(0,1)
y,lgx(a,b)a,110、(2011安徽文)若点在 图像上,,则下列点也在此图像上的是( )
1102(10a,1,b)A、(,b) B、 C、(,b,1) D、 (a,2b)aa
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1,x,,2,x1f(x),2,f(x)11x、(2011辽宁理)设函数,则满足的的取值范围是( ) ,1,logx,x,12,
[,1,2][1,,,)[0,,,)[0,2] A、 B、 C、 D、
2xMxRfgx,,,{|(())0},12、(2012重庆文)设函数集合 fxxxgx()43,()32,,,,,,
NxRgx,,,{|()2},MN则为( )
(1,),,(,1),,A、(-1,1) D、B、(0,1) C、
2213、已知1,m,n,令a=(logm),b=logm,c=log(logm),则( ) nnnnA、a,b,c B、a,c,b C、b,a,c D、c,a,b
214、 . lg25lg2lg50(lg2),,,,
415、(2012上海春)函数yxx,,,log(2,4的最大值是______ . ,,2logx2
16、函数yx,log(3-)的定义域是 . (-1)x
2fxxx()lg1,,,17、函数是 (奇、偶)函数. ,,
xfxmxmxm()(2)(3),,,,,,,xRfx,()018、(2012北京文)已知,.若或gx()22,,gx()0,,则的取值范围是________ . m
19、求函数y=2lg(x,2),lg(x,3)的最小值.
2x2fx(3)lg,,20、已知函数, 2x,6
fx()fx()(1) 求的定义域;(2) 判断的奇偶性.
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【参考答案】
【课堂练习】
C 3、D 4、B 5、D 6、A 1、B 2、
7、D 8、A 9、B 10、D 11、C 12、C 13、. x,log32
14、,20
115、 (,,,,)2
16、12
517、,2,, 2
fx()fx()18、(1)是奇函数;(2)为增函数 19、f(x)的值域是,,1,+?);
x?(1,,1,时, f(x)单调递减;x?,1,1+)时,f(x)单调递增. 33
320、1,a,. 2
21、mn,,5.
【课后作业】
1、A 2、A 3、C 4、D 5、A 6、A 7、A 8、A 9、C 10、D 11、D 12、D 13、D 14、2
15、5
xxx132,,,且16、 ,,
17、奇函数
(4,0),18、
19、y,lg4 min
fx()fx()3,,,20、的定义域为;为非奇非偶函数 ,,
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