无穷小的比较
1.7无穷小的比较 一( 无穷小的比较
1.引入
两个无穷小的和、差及乘积仍旧是无穷小.但是,关于无穷小的商,
2却会出现不同的情况.例如,当时,、、都是无穷小,xx,03xsinx而
2xxsin3xlim,0,,. ,,lim,1lim2x,0x,0x,0x3xx
两个无穷小之比的极限的各种不同的情况,反映了不同的无穷小
趋于零的“快慢”程度.
2.定义
,如果,就说是比高阶的无穷小,记作; ,,lim,0,,,,,,
,如果,就说,是比低阶的无穷小. ,lim,,,
,如果,就说,与,是同阶无穷小; lim,c,0,
,如果,就说,是关于,的k阶无穷小. lim,c,0,k,0k,
1
,如果,就说与是等价无穷小,记作. ,~,,,lim,1,
显然,等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形,即. c,1
例如:
23x2,lim0因为,所以当时, 是比高阶的无穷小,即x3xx,00x,x
2. 30xxx,,,,,,
1
11n因为,所以时, 是比低阶的无穷小( ,,n,,lim2n,,1nn2n
2x,92lim6,因为,所以时,与时同阶无穷小. x,9x,3x,33x,x,3
1cos1,x因为,所以当时, 是关于的二阶无xlim,x,01cos,x2x,0x2
穷小.
sinx因为,所以当时,与是等价无穷小,即x,lim1x,0sinxx,0x
. sin~0xxx,,,
下面再举一个常用的等价无穷小的例子.
1n例1 证明:当时,. ,,xx11~x,0n
2
证:因为
nnn11,,x,,11,,x limlim,,,00xx,,1211nn,,nnxxxx111,,,,,,,,,,,,,nn
n,,lim1, nn,,12x,0nn111,,,,,xx,,,,
1n所以( ,,xxx,011~,,n
关于等价无穷小,有下面两个定理.
3.定理
定理1 . ,~,,,,,,;(,)
,,,,lim定理2 设,,~,,且存在,则 ,,~,,
,,,lim=. lim,,,
,,,,,,,,,,,,,,,证:( limlimlimlimlimlim,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
[注]定理2提供了一种计算极限的重要方法------等价无穷小代换.求两个无穷小之比的极限时,分子及分母都可用等价无穷小来代换,对乘积因子也可用等价无穷小代换.但要注意,等价无穷小不能在加
3
减法中使用.常用的等价无穷小有:当时, x,0
12tanx~xarctanx~x,,,,,1,cosx~xsinx~xarcsinx~x2
,11~,,xx,(其中为常数). ,,,
tan2x例, 求( limx,0sin5x
解:当,,,所以 x,0tan2~2xxsin5~5xx
tan222xx( ,,limlimxx,,00sin555xx
211,,xlim例, 求( 2x,0x
122解:当,,对分子作代换,得 11~,,xxx,02
12x2111,,x2limlim,,( 220x,0x,x2x
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