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如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!矩阵指数的性质与计算PROPERTIESANDCALCULATIONOFMATRIXEXPONENTIALFUNCTION指导教师姓名：申请学位级别：学士论文提交日期：2014年6月8日摘要矩阵函数是矩阵理论的重要组成部分，而矩阵函数中的一个最重要的函数就是矩阵指数函数，它广泛地应用于自控理论和微分方程。本文深入浅出地介绍了矩阵指数函数，并进一步探讨如何借助矩阵指数函数分析相关问。文章以齐次线性微分方程组求解基解矩阵为出发点引出矩阵指数函数的概念，证明求解矩阵指数函数就是求解齐次线性微分方程组的基解矩阵，然后得到矩阵指数函数的一些基本性质。本文的重点是讨论矩阵指数函数的五种计算方法。其中，前三种方法广泛适用于各种矩阵，虽然计算过程复杂程度不同，但都需要计算矩阵特征值，如遇高阶矩阵或复特征值，则特征值的计算会变得异常麻烦。后两种方法较特殊，虽然缺乏普适性，只能计算特殊矩阵的指数函数，但却避过了特征值计算，简化了运算过程。最后，本文具体阐述矩阵指数函数在微分方程求解中的应用。关键词：矩阵指数函数；Jordon形；微分方程组ABSTRACTMatrixfunctionisanimportantpartofthematrixtheory.Andamongthematrixfunction,thereisaspecialandimportantfunctionthatismatrixexponentialfunction.Ithasbeenwidelyusedinautomaticcontroltheoryanddifferentialequations.Thispaperintroducesprofoundtheoriesonmatrixexponentialfunctioninsimplelanguage,furthermore,itexploreshowtousematrixexponentialfunctionanalysisrelatedissues.Throughthebasicsolutionmatrixofhomogeneouslineardifferentialequations,thispaperdrawsouttheconceptofmatrixexponentialfunction.Inthispart,theauthorprovesthatsolvingmatrixexponentialfunctionistosolvethebasicsolutionmatrixofthehomogeneouslineardifferentialequations.Then,somebasicpropertiesofmatrixexponentialfunctioncanbederived.Thefocusofthispaperisonthediscussionoffivekindsofcalculationonmatrixexponentialfunction.Thefirstthreemethodscanbeappliedtogeneralcases.Althougheachmethodisdifferent,incomplexity,allofthemneedtocomputethematrixeigenvalues.Thecalculationonhigh-ordermatrixorcomplexeigenvalueswillbeintroublefrequently.Thelattertwomethodsismorespecialfortheycanonlycalculatespecialmatrixexponentialfunction.Thesemethodssimplifytheoperationprocessinsteadofcalculatingeigenvalues,buttheirshortcomingsareobvious.Atthefinalpartofthispaper,thearticleexpoundstheapplicationofmatrixexponentialfunctionindifferentequationswhensolvingthefunctioninreality.Keywords:Matrixexponentialfunction;Jordonnormalform;Differentialequations目录TOC\o"1-3"\h\uHYPERLINK\l_Toc232281前言11.1矩阵（Matrix）的发展与历史11.2本文的主要内容22预备知识33矩阵指数函数的性质73.1矩阵指数73.1.1关于级数的收敛性73.1.2矩阵指数的性质83.1.3常系数线性微分方程基解矩阵10HYPERLINK\l_Toc177993.2矩阵指数函数的性质10HYPERLINK\l_Toc98713.2.1矩阵函数10HYPERLINK\l_Toc45113.2.2矩阵指数函数的性质11HYPERLINK\l_Toc85494矩阵指数函数的计算方法17HYPERLINK\l_Toc196774.1矩阵指数函数的一般计算方法17HYPERLINK\l_Toc43634.1.1Hamilton‐Cayley求解法17HYPERLINK\l_Toc112504.1.2微分方程系数求解法21HYPERLINK\l_Toc131474.1.3Jordon块求解法23HYPERLINK\l_Toc106154.2矩阵指数函数的特殊计算方法26HYPERLINK\l_Toc92284.2.1矩阵指数函数展开法274.2.2Laplace变换法274.3矩阵指数函数方法比较28HYPERLINK\l_Toc221105矩阵指数函数在微分方程中的应用30HYPERLINK\l_Toc224696总结33HYPERLINK\l_Toc22469参考文献34致谢351前言1.1矩阵（Matrix）的发展与历史在数学(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​1284.htm​)中，矩阵（Matrix）是很常用的工具，虽然Matrix亦有“子宫，或者控制中心的母体，孕育生命的地方”此类含义，然而矩阵却与生物没有太大的关联，矩阵（Matrix）是指在二维空间里的数据纵横分布形成的表格，最先起源于方程组(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​314172.htm​)的各项系数和常数所组成的方阵(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​404843.htm​)。矩阵的系统概念首先被英国的著名数学家凯利(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​112560.htm​)提出。实际上，虽然矩阵（Matrix）这个概念诞生于19世纪，矩阵本身却有着非常古老的历史，早在很久以前就已发现幻方以及古老的拉丁方阵(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​244170.htm​)等关于矩阵方面相关研究记录。在我们平时遇到的相关问题中，在解决线性方程方面问题的时候都会用到矩阵，在古代中国，也有很多类似于矩阵方面研究载，在魏晋的刘徽所编著的数学巨著《九章算术(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​17765.htm​)》中，就已经提到了怎样求解线性方程组增广矩阵。书理用类似分离系数(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​960.htm​)法的方法来表示线性方程组(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​325740.htm​)，在其一行乘以一个非零实数(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​14749.htm​)、把其中一行中和另一行相减等运算技巧，类似现在矩阵变换里面的初等变换(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​4204815.htm​)。然而由于当时世界各地并没有系统的矩阵研究，也没有相关概念，所以仅仅以线性方程内的表示方法为标准和相关的处理方式记录在书中。在正常的逻辑中，矩阵系统这个概念应该在行列式之前被提出，但是在实际的数学历史中却正好相反。在对行列式(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​111348.htm​)研究的体系慢慢完善起来之后，矩阵才慢慢进入数学家们的视野。在该领域的数学家中，日本非常有名的关孝和(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​481254.htm​)（1683年）与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​277584.htm​)（1693年）（微积分理论的提出者之一）在大致相同的时地独自建立了行列式理论。在这以后这一理论不断发展，其经常被用来求解线性方程组。1750年(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​791073.htm​)，加布里尔·克拉默(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​4038820.htm​)提出了克莱姆法则(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​1130618.htm​)。随后，由于研究的需要，行数等于列数的行列式在解决重要的数学问题是有很大的局限性，无法满足实际需要。于是矩阵便应运而生。矩阵的当代概念体系在19世纪慢慢完成。实际上矩阵的概念与行列式的概念有本质上的区别，其使用也有很大的不同。在这一领域的数学家中，1850年，英国(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​3565.htm​)的詹姆斯(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​7776606.htm​)（JamesJosephSylvester）最开始使用矩阵这个名字将数字构成的矩形阵列和最开始的行列式分离。矩阵论体系的创立者一般被认为是英国著名数学家凯莱（Cayley），他将矩阵这个数学概念完全独立为一个新的数学对象，矩阵里面很多相关性质先在行列式问题的讨论中业已被发现，所以矩阵的概念的提出很容易被人接受。在1858年，凯莱（Cayley）在他所写的《矩阵论的研究报告》里面有体系地了矩阵的一些基本理论。在这篇报告里面作者规定了矩阵相等、算法、转置和矩阵基本概念，如逆矩阵的加法，给出了系列，互换性和约束力的概念。除此之外，凯莱（Cayley）亦在报告里写下了方阵的特征方程以及特征根还有矩阵的少许基本结论。此外，在之后关于矩阵系统的研究中，也有很多其他的数学家做出了重要的发现。德国数学家弗洛伯纽斯（Frobenius）最先提出了最小多项式的概念，矩阵中秩的概念介绍、不变的因素和主要因素、正交矩阵的相似变换，矩阵的其他概念，如、不变的因素和主要因素理论的逻辑排列的形式等等。在1854年，约丹首次发现了把一般矩阵化为标准型的方法。1892年，梅茨勒（Metzler）使用并发展了矩阵函数及其相关概念并用它们整理出矩阵幂级数的形式。另外，庞加莱（Poincare）以及傅立叶（Fourier）还探讨了与无限阶矩阵相关的一些问题。到了这个时候，矩阵体系业已很完善了。1.2本文的主要内容矩阵函数是矩阵理论的重要内容，矩阵函数中最简单的是矩阵多项式，是研究其他矩阵函数的基础．本文讨论的是矩阵函数中的一类函数——矩阵指数函数。本论文的题目是矩阵指数函数的性质和计算，所以主要论述便是性质和计算。在文章的开始，本文会论述矩阵的相关发展与历史，在第二章会对本文用到的基本数学知识进行介绍，在文章的第三章，本文将会从齐次微分方程引入矩阵指数的概念，关于性质和计算部分主要在第四与第五章进行论述，性质部分论述了矩阵函数的性质，同时介绍了矩阵指数函数的相关特性；第五章将会介绍三种矩阵指数函数的计算方法，并会对这三种方法进行对比。最后本文将会介绍矩阵指数函数在微分方程中的应用。2预备知识为了课题讨论中便于理解，引入研究此论文所需矩阵的相关知识概念：在这里，表示对数域上矩阵的全部线性空间，因此表示复矩阵集。1、矩阵的谱矩阵通过数学运算计算出来的特征值的集合就是一个矩阵的谱，通过数学表达式表示出来也就是：表示的谱，即；2、矩阵的谱半径设是阶数为的矩阵，其中矩阵的特征值是，，若写作数学表达式也就是：为A的谱半径。即矩阵的谱半径是矩阵中所有的特征值中最大模的值；如果矩阵特征值是虚数，则谱半径是特征值实部与虚部的平方和的算术平方根。3、矩阵的化零多项式与它的最小多项式定义2.1给定矩阵,如果多项式满足，则称是的化零多项式。定义2.2在的化零多项式中，各项中次数最低同时首项的系数为1的化零多项式可以称作是的最小多项式，记为。依据高等代数的基本定理，在复数域的范围里可以有如下证明：性质2.1设,是中的个特征值，他们互不相同，为矩阵A的最小多项式同时,其中如果函数的导数值拥有足够多阶，同时一下个值(称在影谱上的值)有意义，则可以说函数在矩阵的谱影上有定义。一个函数在给定矩阵的谱上可以没有定义。4、矩阵级数定义2.3：设是的矩阵序列，在这里，矩阵集的无穷和称为矩阵的级数，记为.这里相对正整数而言，可以记作。可以被称为矩阵级数的部分和，如果此矩阵序列是收敛，同时此矩阵序列有极限，即，则矩阵级数可以被证为收敛的，同时可以称为矩阵级数的和，记作。如果矩阵级数不收敛，则可称作发散的。定义2.4：设，矩阵级数形如，可以被称为矩阵幂级数。5、齐次微分方程组在线性微分方程组（2.1）如果则称（2.1）为非齐次线性的，如果则为齐次线性的，此时方程形式为通常上式称为对应于（2.1）的齐次线性微分方程组。6、正定矩阵在线性代数的领域中，一个正定矩阵(positivedefinitematrix)偶尔会被简称作正定阵。在双线性代数的领域中，正定矩阵似复数中的正实数的性质。对称(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​90573.htm​)正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​52425.htm​)正定双线性形式）是和正定矩阵相对应的线性算子(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​325745.htm​)。正定矩阵的定义分为广义的定义和狭义的定义。广义的定义：设一个阶方阵，如果对任何(是非零向量)，如果都存在，在这里的转置表示为，就可以将称作一个正定矩阵。例如：一个阶的矩阵，表示一个单位矩阵，指正实数。在足够大的时候，就可以被称作一个正定矩阵（在这里必须是一个对称矩阵）。狭义定义：是阶的实对称矩阵，同时是正定的，在这里当且仅当(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​422527.htm​)，对于所有的非零实系数向量(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​77260.htm​)，都存在。在这里的转置(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​689095.htm​)可以表示为。7、Hermitian矩阵是阶复方阵，在这里如果的对称单元互为共轭，也就是说的共轭转置矩阵就是它自己，则方阵是埃尔米特矩阵(HermitianMatrix)。明显可以看出Hermitian矩阵是实对称阵的推广。推论是阶Hermitian矩阵，同时也是正定（半正定）矩阵的充分必要的条件是矩阵中所求得的所有的特征值都大于等于0。8、Jordan矩阵形如下列的由主对角线为特征值，次对角线为1的Jordan块按对角排列组成的矩阵(​http:​/​​/​baike.baidu.com​/​view​/​10337.htm​)称为Jordan形矩阵,而主对角线上的小块方阵称为Jordan块.，。9、范德蒙矩阵范德蒙矩阵是法国数学家范德蒙(Vandermonde,AlexandreTheophile,1735～1796)提出的一种各列为几何级数的矩阵。其形式如下：在范德蒙矩阵中，矩阵的行数是m，矩阵的列数是n，则矩阵拥有最大的秩。10、酉矩阵定义2.5如果一个的复数矩阵，这个矩阵满足条件：在这里，是的共轭转置，是阶单位矩阵，可以被称作酉矩阵。3矩阵指数矩阵指数函数的性质在计算常系数线性微分方程的时候时，主要考虑的是齐次线性微分方程组，这个方程组的基解矩阵的结构非常重要，在这里，本文所研究的主要问题--矩阵指数函数和齐次线性微分方程组的基解矩阵的求解密切相关。在本章中，将从齐次线性微分方程组基解矩阵的求解开始，对矩阵指数的概念进行研究，然后再对矩阵指数函数的性质进行详细讨论，在本章的3.1矩阵指数函数中，本文将会一步一步将矩阵指数函数和齐次线性微分方程组联系起来，并证明矩阵就是齐次线性微分方程组的基解矩阵。在3.2节矩阵指数函数的性质中，本文将先简单介绍矩阵函数的概念，在介绍矩阵指数函数时，会先从指数函数的概念中推出类似的矩阵指数函数的性质，并对它们进行一一证明。3.1矩阵指数首先，齐次线性微分方程组可以简单的表示为（3.1）这里是常数矩阵。本文将运用代数的方法寻求（3.1）的一个基解矩阵。为了求解（3.1）的基解矩阵，需要定义矩阵指数。如果为一个是常数矩阵，那么我们可以将定义为下面的矩阵级数的和，（3.2）其中是指阶的单位矩阵，矩阵是的次幂。特别的，在这里，我们可以设定，。这个级数对于所有的都是收敛的，所以是个确定的矩阵。特别的，对所有的元都为的零矩阵，有。此时，若令代入（3.1）中这与十分相似，但是此时并不能确定二者关系如何，接下来，会对二者的关系进行讨论。3.1.1关于级数的收敛性易知对于一切正整数，有，又因为任意矩阵，是一个确定的实数，所以数值级数是收敛的（上式和为）。假设矩阵级数任意项的范数都小于相对应的收敛数值级数的相应项，那么我们可以推得此矩阵级数为收敛的，所以（3.2）先对所有矩阵A全是绝对收敛的。进一步指出，级数（3.3）在所有有限区间上是一致收敛的。实际上，相对所有正整数k，当（c为一个正常数）时，可以存在，而数值级数是收敛的，所以（3.3）是一致收敛的。因为（3.3）是一致收敛的，所以可以对（3.3）进行求导。在3.1.3节的证明过程中会用到此证明结果。3.1.2矩阵指数的性质1.如果矩阵A和B是可交换的，即，则（3.4）事实上，由于矩阵级数（3.3）是绝对收敛的，因而关于绝对收敛数值级数运算的一些定理，其中包含级数的收敛性不受项的重新排列影响和级数的和以及乘法运算的性质等都能够运用到这里来，由二项式定理以及可得到（3.5）另一方面，由绝对收敛级数的乘法定理得（3.6）比较（3.5）以及（3.6），推得（3.4）.2.对于任何矩阵，存在，且实际上，和是可交换的，所以在（3.4）中，令，本文推得，因此，可以推得.如果T是非奇异矩阵，则.(3.7)事实上这就是本文所需要证明的。3.1.3常系数线性微分方程基解矩阵在之前的两个小节中，本文已经证明了（3.3）的收敛性同时也介绍了矩阵指数相关性质。在本节，会阐明矩阵指数函数与常系数线性微分方程的基解矩阵的关系（即定理3.1），并对此关系进行证明。定理3.1矩阵（3.8）是（3.1）的基解矩阵。且.证明有定义易知.（3.8）对求导，我们得到这就表明，是（3.1）的解矩阵。又有。因此是（3.1）的基解矩阵。证毕。根据定理3.1，我们能够使用此基解矩阵得知（3.1）的解全拥有以下形式（3.9）这里是一个常数向量。由此，求解（3.1）基解矩阵的问题便可以转化为对矩阵指数函数的求解。3.2矩阵指数函数的性质在上一章矩阵指数中我们从求解常系数线性微分方程组的过程中认识到了矩阵指数的概念，并且了解到了（3.8）就是就是常系数微分方程组的基解矩阵。在本章开始我们将简单的介绍矩阵函数的性质，再对矩阵指数函数的性质进行描述与证明.3.2.1矩阵函数定理3.2.1假设和是两个互相不一样的多项式，在这里是一个阶矩阵，那么他的充要条件就是在的影谱上和的值对应相等，即通过利用矩阵多项式，以下将写出矩阵函数的定义．定义3.2.2设在阶矩阵的影谱上函数有定义，即它的值是确定值．如果是一个多项式，同时符合那么矩阵函数可以定义作。定理3.2.3设，在这里矩阵的谱半径为，如果函数的幂级数的表示式是，则当时根据定理3.2.3可以推出很多关于矩阵函数的幂级数表示式，列举其中3个；;;3.2.2矩阵指数函数的性质若把矩阵指数函数中换为矩阵，会发现，此时矩阵指数函数便变成了指数函数，作为基本函数之一的指数函数，同时也作为特殊的矩阵指数函数，指数函数的性质在矩阵指数函数中是否可以应用，接下来，本文将会以此对矩阵指数函数的性质一一列举出来，并进行论证。定理3.2.4设，是复值函数，并且在有定义，那么矩阵指数函数，拥有下面7条性质：（1）（2）（3）如果和可交换，也就是说当时，有；（4）对于任何矩阵，总是可逆的，同时；（5）；（6），其中是的迹。（7）设定是Hermite正定矩阵，那么有唯一Hermite矩阵，使。证明(1)由定理3.2.1知若命，则但由于，于是有反之亦然．（2）由定理3.2.1知（3）在满足的情况下，二项式公式成立，因此在证明(1)过程中的式子可以整理为或故。（4）矩阵指数函数满足，根据(1)得故（5）矩阵指数函数的幂级数表示式对于给定矩阵和对所有都是绝对收敛的，同时满足对所有的都是一致收敛，因此（6）设，在这里为的Jordan标准型，则，，所以（7）因是正定的Hermite阵，其特征值均为正数。因此令，那么在上有定义，又设，为整函数，，，，又也是整函数，若，，从而.同时．如果将表示为矩阵的共轭转置，即知，且．令，唯一，并有假使是正规矩阵，，可以推导得（3.10）另一方面，若符合式（3.10），那么是正规矩阵，即定理3.2.5设，是正规矩阵的充分必要的条件为成立。接下来研究的问题是：如果一个非正规的矩阵符合式(3.10)的条件，那么这个矩阵拥有什么样的结构呢?为了研究此问题，需要提前证明一个引理引理1设，为一个复值函数，定义域．矩阵方程能够求解的充分必要的条件为：对任何，总存在，使得。证明必要性．设存在，有．记的Jordan标准形是式中：是Jordan块的阶数，，由引理可知，从而有，即存在，有充分性．设对任何，方程有解存在．令的Jordan标准形是于是存在可逆矩阵，使,于是作式中：从而有故知(3.11)若令，则式(3.11)中.定理3.2.6设，式(7)成立的充要条件是：存在酉矩阵，使得(3.12)式中：是可以对角化的矩阵．证明必要性．设式(7)成立，是正规矩阵，存在酉矩阵，使得（3.13）式中：是单位阵，。即式中：.易证方程有解存在，可逆，故，而可对角化，，从而是可以对角化的充分性显然。4矩阵指数函数的计算方法4.1矩阵指数函数的一般计算方法矩阵指数函数的计算，即的计算有很多种计算方法。日常的计算中有许多常用的方法。本文在本节会提到的三种方法，此三种方法并没确定矩阵，因此对矩阵并没有特殊的要求，即矩阵并不是特殊矩阵。因此可以解决一般性情况，前二种方法建立在微分方程的基础上，主要利用微分方程来对进行计算，但解法与基本思路并不相同；第三种方法从运用到了Jordon表示式的知识，主要根据矩阵函数的Jordon表示式的变化求解，此方法经过计算的Jordon表示式计算，但是变化Jordon标准形阶段有点复杂，而且整理之后变换矩阵也需要计算，这里所需计算相当大，并且如果矩阵的阶数较大，这里所需的计算也会变复杂．虽然如此，但是此方法也有优点，计算步骤很清楚，过程也很明了，容易理解，除了计算，在使用时也很方便．4.1.1Hamilton‐Cayley求解法在这节探究的计算方法使用了Hamilton‐Cayley定理和定理4.1.2，通过定理4.1.2能够推知是一个初值条件的微分方程的解，通过求解这个微分方程来计算．定理4.1.1(Hamilton‐Cayley定理)阶方阵的特征多项式是的化零多项式，即定理4.1.2在这里阶方阵的特征多项式是。当时，矩阵指数函数的每个元素都满足阶线性微分方程，并且是阶矩阵线性微分方程(4.1)(4.2)的唯一解。证明：首先证明问题（4.1）~（4.2）解的唯一性．设都是阶矩阵线性微分方程(4.1)的解，并且满足初值条件(4.2)，令．所以满足阵线性微分方程(4.1)，且满足初值条件．所以，内所有元素全部符合以下常系数阶线性微分方程，易知此方程的解为,所以，因此。下面证明这唯一解就是矩阵指数函数．阶方阵的特征多项式:如果，则，(Hamilton‐Cayley定理)．同时满足初值条件(4.2)．所以是阶矩阵线性微分方程，的唯一解．证毕．在这里本文设定矩阵存在个互不相等的特征值．所以微分方程的通解是为阶常数矩阵。由初始条件可得一个关于未知量的阶线性方程组：设系数矩阵为，那么这个矩阵是范德蒙矩阵，那么，因为此矩阵的特征值都不一样，因此这个系数矩阵行列式不等于，所以这个方程组存在解．，，是的元素。通常矩阵有重复的特征值，假设有个互不相同的特征值，每个特征值的重复次数是因此微分方程的通解是:.同样，由初始条件可得一个关于未知量的阶线性方程组，其系数矩阵是通过解此方程组可求得，即可求出．例1计算矩阵指数函数，其中解：特征方程为：所以矩阵的特征值为．所以因此，，是的元素。同时,最后算出4.1.2微分方程系数求解法这一节阐述的是计算矩阵指数函数的第二种方法，和上节的方法部分相似，使用了微分方程，不过此方法开始求得的一个表达式，接着经过求解一些常系数的微分方程来计算表达式的系数，最后算出．定理4.1.3设阶方阵的特征多项式是，则，其中，是阶常系数线性微分方程的解，各自满足且初值条件：。证明：设阶方阵的特征多项式是。令，其中，是阶常系数线性微分方程的解，且满足定理的初值条件．则所以并且所以是的解。由定理4.1.2可知证毕．例1有矩阵指数函数，对其求解，在这里解：特征方程为：，所以矩阵A的特征值为．所以的通解为：当时，。当时，当时，。同时,所以最后算出4.1.3Jordon块求解法在这一节中阐述的计算比之前的计算方法计算较为麻烦,原理和过程同样不一样，这个计算方法用到了矩阵函数的Jordon表示式的知识，此方法利用的Jordon表示式的计算间接的求得．已知和变量的多项式，则称是的矩阵多项式．和同为阶方阵若为阶Jordon块矩阵则关于阶矩阵的矩阵多项式由(1)式可引入多项式的各阶导数，然后能够表达为若为Jordon标准型，,则.这里假设A是一个阶方阵，表示此方阵Jordon标准形，那么会有一个满秩的矩阵P，使得，因此为矩阵多项式的Jordon表示式。定理4.1.4设，是此矩阵Jordon的标准形，，如果在的影谱上函数有定义，那么其中依据定理4.1.4,计算矩阵指数函数就可利用矩阵函数的Jordon标准型了．计算步骤：1.求A的Jordon标准形，；2.由写出，其中；3.由计算变换矩阵，其中；4.写出的Jordon表示式把矩阵指数函数所对应的函数代入即可．例1有矩阵指数函数，对其求解，在这里解：求矩阵的初等因子：，矩阵的初等因子是故的Jordon标准形是变换矩阵和分别为,,且，所以的Jordon标准型是：当时，,故4.2矩阵指数函数的特殊计算方法以上三种方法各有优略，都可以用来计算矩阵指数函数。第一种和第二种方法的计算都用到了微分方程方面的相关知识，这两种方法中都运用了到一个阶的线性微分方程，通过对这个方程的求解来计算,第三种方法从运用了Jordon标准型的知识，主要依据矩阵函数的Jordon表示式的变化求解。虽然第三种方法的过程多，计算复杂，但是这三种方法都可以对一般的矩阵指数函数进行求解。实际上，由于以上3种方法均需要求计算矩阵的特征值，当矩阵的阶数变高，或者出现复数运算时，计算矩阵的特征值将会变得困难。接下来，本文将引入两种特殊的方法矩阵指数函数展开法,Laplace变换法。使用矩阵指数函数展开法会避免矩阵特征值的计算,Laplace变换法则运用了Laplace变换，也不用计算矩阵的特征值。但是二者亦有相应的缺点，本节将对其进行详细的介绍。4.2.1矩阵指数函数展开法例题，设，计算直接计算,是二阶的单位矩阵。根据矩阵指数函数的定义有为二阶正交矩阵,运用矩阵指数函数展开式方法能够计算出,但是一般的矩阵指数函数计算式，此算法就不行了.4.2.2Laplace变换法本算法旨在运用Laplace反变换，跳过矩阵指数函数特征值的计算以及矩阵的变化。定义4.2.1由积分定义在复平面上的复变数的函数，一般叫它函数的Laplace变换，在这里在有意义，同时符合不等式（对于复值的，表示其模），这里，为某两个正常。我们将称为原函数，而称为为像函数。这里，对进行Laplace变换由此，如果我们想要求，则可以对进行Laplace反变换，即就可以的出结果了。例题，设，计算.，表示Laplace反变换。此方法利用Laplace反变换，完全避免了特征值的计算以及矩阵的变换，充分发挥了Laplace反变换的便捷，但是本方法也有一定的缺陷，即Laplace反变换本身计算并不简单。4.3矩阵指数函数方法比较以上三种方法各有优略，都可以用来计算矩阵指数函数。毋庸置疑，在这三种方法里，最后一种方法的计算量比前二者要多一些，方法三运用到了Jordon表示式的知识，主要根据矩阵函数的Jordon表示式的变化求解，此方法经过计算的Jordon表示式计算，但是变化Jordon标准形阶段有点复杂，而且整理之后变换矩阵也需要计算，这里所需计算相当大，并且如果矩阵的阶数较大，这里所需的计算也会变复杂．虽然如此，但是此方法也有优点，它的计算步骤清楚明了，容易理解，除了计算，在使用时也很方便．第一种和第二种方法的计算都用到了微分方程方面的相关知识，这两种方法中都运用了到一个n阶的线性微分方程，通过对这个方程的求解来计算,与方法三比起来，降低了矩阵指数函数的计算量，计算的过程也相对简单，不过对于一般人来说，理解并熟练的运用还有一定的难度．但是实际上，由于以上3种方法均需要求矩阵的特征值，如果遇到高阶矩阵或者特征值为复数，这三种方法的计算复杂度都会变高。在第二节中，本文提到了两种特殊方法，矩阵指数函数展开法简单粗暴，如果A是正交矩阵，用矩阵指数函数展开法可以简化计算，这种方法避免了对矩阵特征值的计算，遇到高阶矩阵或者特征值为复数计算量也不会变高，缺点是只能用于正交矩阵。Laplace反变换法利用Laplace反变换，完全避免了特征值的计算以及矩阵的变换，充分发挥了Laplace反变换的便捷，计算过程简介明了，可以说，在计算方法的选择上，此方法可以作为首选，但这个方法法也有自己的缺点，即Laplace反变换本身计算并不简单。5矩阵指数函数在微分方程中的应用的应用微分方程存在解．如果考虑下面的向量：能够把线性微分方程表示成：两边乘以一个积分因子,便得到：我们可以计算，从而得到微分方程的解．如果为，齐次的微分方程组，即，易知,.例１(齐次)我们有以下的微分方程组：相关矩阵为：我们通过计算可得：因此微分方程组的通解为：对于非齐次的情况下，方程组的通为齐次方程的通解与非齐次方程的特解的和．我们可以找到形为的一个特解：为让为方程的解，必须有:因此：例2（非齐次）我们有以下方程组：有，以及。用上面所用的方法我们可求出：，其中。所以进一步计算就可以得到特解所以微分方程组的通解为：，其中是齐次方程组的通解．6总结生活中有很多问题可以用线性微分方程组解决，其在现代系统与控制及其工程技术等等众多领域具有重要的应用。矩阵指数函数是一种特殊的矩阵函数，同时他也是解决线性微分方程组重要部分。本论文并没有从一开始直接介绍矩阵指数函数，而是从与矩阵有着密切相关的齐次线性微分方程组入手，介绍了齐次线性微分方程组的相关信息，并对齐次线性微分方程组的基解矩阵进行求解，从这里了解到，从而对有了初步认识。实际上，虽然在齐次线性微分方程组方面引出了，但是这里并不能直接把基解矩阵和划等号，还需要相关性质的证明，之后本文又从简单的介绍了矩阵函数的性质，从另一方面再次引出，并在矩阵函数的基础上对矩阵函数的性质进行研究，一共提出了7条性质，并对其逐一进行证明，实际上，一般的文献中只提到了只有6条基本性质，第七点为矩阵指数函数的衍生性质，本文通过研究，最终给出了证明。在的计算方面，本论文参考了一些论文中的一些关于计算方面的解法，加以总结并修改后，首先给出了Hamilton‐Cayley求解法，微分方程系数求解法，Jordon块三种求解法（以上解法都是自主命名），然后分别使用这三种方法进行介绍，并用例题进行解释，之后指出这三种方法的缺点，第一种和第二种方法的计算都用到了微分方程方面的相关知识，这两种方法中都运用了到一个阶的线性微分方程，通过对这个方程的求解来计算,同第三种方法相比降低了计算量，计算步骤也比较简单，不过要理解为什么这么做，要清楚理解里面运用的一些定理和方法．但是实际上，由于以上3种方法均需要求矩阵的特征值，如果遇到高阶矩阵或者特征值为复数，这三种方法的计算复杂度都会变高。之后，本文又提到了两种特殊方法，矩阵指数函数展开法简单粗暴，如果A是正交矩阵，用矩阵指数函数展开法可以简化计算，这种方法避免了对矩阵特征值的计算，遇到高阶矩阵或者特征值为复数计算量也不会变高，缺点是只能用于正交矩阵。Laplace反变换法利用Laplace反变换，完全避免了特征值的计算以及矩阵的变换，充分发挥了Laplace反变换的便捷，计算过程简介明了，可以说，在计算方法的选择上，这个方法法可以作为首选，但方法也有自己的缺点，即Laplace反变换本身计算并不简单。文章的末尾，本文回到了微分方程组，使用例题来对指数函数在微分方程中的应用进行了介绍，分别解决了齐次与非齐次两个问题。从而进一步的诠释了矩阵指数函数计算在数学中的应用。参考文献[1]F.Aluffi-Pentini,V.DeFonzo,V.Parisi,Anovelalgorithmforthenumericalintegrationofsystemsofordinarydifferentialequationsarisinginchemicalproblems,[J]Math.Chem.33(2003)1–15.[2]LancasterP,TismenestakyM.TheTheoryofMatriceswithApplications[M].ThesecondEditionAcademicPress,1985.[3]WermuthEME．Tworemarkonmatrixexponentinls[M]．LinenralgebraApp1．1989，17：127~132.[4]C.MolerandC.VanLoan,Nineteendubiouswaystocomputetheexponentialofamatrix[M],SIAMReview,20(1978),801-836.[5]史荣昌，魏丰.矩阵分析[M]，北京理工大学出版社，2010.[6]王高雄，周之铭，朱思铭，等．常微分方程：第２版[M].北京：高等教育出版社，１９８３.[7]呙林兵.Laplace变换在矩阵指数函数中的应用[J].荆楚理工学院学报，2011,26(7):43-45.[8]张伟红，檀结庆，的Thiele型矩阵有理逼近[J].合肥工业大学学报(自然科学版),2006,29(10):147-149.[9]张俊祖,姜根明,冯复科.矩阵指数函数的一种计算[J].长安大学学报,2006,26(1):108-110。[10]北京大学几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出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