数学选修1-1
四种命题、四种命题的相互关系
(一)教学目标
?知识与技能:了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念,掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系,会用等价命题判断四种命题的真假(
?过程与
:多让学生举命题的例子,并写出四种命题,培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力;培养学生抽象概括能力和思维能力(
?情感、态度与价值观:通过学生的举例,激发学生学习数学的兴趣和积极性,培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力(
(二)教学重点与难点
重点:(1)会写四种命题并会判断命题的真假;(2)四种命题之间的相互关系( 难点:(1)命题的否定与否命题的区别; (2)写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题;
(3)分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假(
教具准备:与教材内容相关的资料。
教学设想:通过学生的举例,激发学生学习数学的兴趣和积极性,培养他们的辨析能力以及培养
他们的分析问题和解决问题的能力(
(三)教学过程
学生探究过程:
,(复习引入
初中已学过命题与逆命题的知识,请同学回顾:什么叫做命题的逆命题,
2(思考、分析
问题1:下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件与结论之间分别有什么关系, (1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数((2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数( (3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数((4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数(
,(归纳
问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论(紧接结合此例给出四个命题的概念,(,)和(,)这样的两个命题叫做互逆命题,(,)和(,)这样的两个命题叫做互否命题,(,)和(,)这样的两个命题叫做互为逆否命题。
,(抽象概括
定义,:一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题(其中一个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的逆命题(
让学生举一些互逆命题的例子。
定义,:一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,那么我们把这样的两个命题叫做互否命题(其中一个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的否命题(
让学生举一些互否命题的例子。
定义,:一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题(其中一个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的逆否命题(
让学生举一些互为逆否命题的例子。
小结:
(1) 交换原命题的条件和结论,所得的命题就是它的逆命题: (2) 同时否定原命题的条件和结论,所得的命题就是它的否命题; (3) 交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题就是它的逆否命题( 强调:原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。 ,(四种命题的形式
让学生结合所举例子,思考:
若原命题为“若P,则q”的形式,则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式,
学生通过思考、分析、比较,总结如下:
原命题:若P,则q(则:
逆命题:若q,则P(
否命题:若,P,则,q((说明符号“,”的含义:符号“,”叫做否定符号(“,p”
示p的
否定;即不是p;非p)
逆否命题:若,q,则,P(
,(巩固练习
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假: (,) 若一个三角形的两条边相等,则这个三角形的两个角相等; (,) 若一个整数的末位数字是,,则这个整数能被,整除;
2(,) 若x=1,则x=1;
(,) 若整数a是素数,则是a奇数。
,(思考、分析
结合以上练习思考:原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系, 通过此问,学生将发现:
?原命题为真,它的逆命题不一定为真。
?原命题为真,它的否命题不一定为真。
?原命题为真,它的逆否命题一定为真。
原命题为假时类似。
结合以上练习完成下列表格:
原 命 题 逆 命 题 否 命 题 逆 否 命 题
真 真
假 真
假 真
假 假
由表格学生可以发现:原命题与逆否命题总是具有相同的真假性,逆命题与否命题也总是具有相同的真假性(
由此会引起我们的思考:
一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢,
让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系(
学生通过分析,将发现四种命题间的关系如下图所示:
,(总结归纳
若P,则q( 若q,则P(
互 逆 原命题 逆命题
互 否
互 为 逆 互 否 为 逆 否
互 否
否命题 逆否命题
互 逆
若,P,则,q( 若,q,则,P( 由于逆命题和否命题也是互为逆否命题,因此四种命题的真假性之间的关系如下: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系(
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题(
,(例题分析
22 例4: 证明:若p , q,2,则p , q ? 2(
分析:如果直接证明这个命题比较困难,可考虑转化为对它的逆否命题的证明。
22 将“若p , q,2,则p , q ? 2”视为原命题,要证明原命题为真命题,可以考虑证明
22 它的逆否命题“若p + q ,2,则p + q?2”为真命题,从而达到证明原命题为真命题的目的( 证明:若p , q ,2,则
11122 222, p , q,,(p ,q),(p ,q),?(p ,q),×,,, 22222所以p , q?2(
这表明,原命题的逆否命题为真命题,从而原命题为真命题。
22练习巩固:证明:若a,b,,a,,b,,?,,则a,b?,(
,,:教学反思
(,)逆命题、否命题与逆否命题的概念;
(,)两个命题互为逆否命题,他们有相同的真假性;
(,)两个命题为互逆命题或互否命题,他们的真假性没有关系;
(,)原命题与它的逆否命题等价;否命题与逆命题等价(
充分条件与必要条件
(一)教学目标
1.知识与技能:正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念;会判断命题的充分条件、必要条件(
2.过程与方法:通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用,培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力(
,(情感、态度与价值观:通过学生的举例,培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质,在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育(
(二)教学重点与难点
重点:充分条件、必要条件的概念(
(解决办法:对这三个概念分别先从实际问题引起概念,再详细讲述概念,最后再应用概念进行论证()
难点:判断命题的充分条件、必要条件
关键:分清命题的条件和结论,看是条件能推出结论还是结论能推出条件 (三)教学过程
1(练习与思考
写出下列两个命题的条件和结论,并判断是真命题还是假命题,
22(1)若x , a + b,则x , 2ab,
(2)若ab , 0,则a , 0.
学生容易得出结论,命题(1)为真命题,命题(,)为假命题,
置疑,对于命题“若p,则q”,有时是真命题,有时是假命题,如何判断其真假的, 答,看p能不能推出q,如果p能推出q,则原命题是真命题,否则就是假命题, ,,给出定义
命题“若p,则q” 为真命题,是指由p经过推理能推出q,也就是说,如果p成立,那么q一定成立,换句话说,只要有条件p就能充分地保证结论q的成立,这时我们称条件p是q成立的充分条件,
一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q(这时,我们就说,由p可推出q,记作:p,q(
定义:如果命题“若p,则q”为真命题,即p , q,那么我们就说p是q的充分条件;q是p必要条件(
22 上面的命题(1)为真命题,即 x , a + b, x , 2ab, 22 22 :所以“x , a + b”是“x , 2ab”的充分条件,“x , 2ab”是“x , a + b”的必要条件(
3(例题分析:
例,:下列“若p,则q”形式的命题中,那些命题中的p是q的充分条件,
2(1)若x ,1,则x , 4x , 3 , 0;
(2)若f(x), x,则f(x)为增函数;
2(3)若x为无理数,则x为无理数(
分析:要判断p是否是q的充分条件,就要看p能否推出q( 解略( 例,:下列“若p,则q”形式的命题中,那些命题中的q是p的必要条件?
22(1) 若x , y,则x , y;
(2) 若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等;
(3) 若a ,b,则ac,bc(
分析:要判断q是否是p的必要条件,就要看p能否推出q( 解略( ,(练习巩固: ,(课堂总结
充分、必要的定义(
在“若p,则q”中,若p,q,则p为q的充分条件,q为p的必要条件( 注:(1)条件是相互的;
(2)p是q的什么条件,有四种回答方式:
? p是q的充分而不必要条件;
? p是q的必要而不充分条件;
? p是q的充要条件;
? p是q的既不充分也不必要条件(
充要条件
(一)教学目标
1.知识与技能目标:
(1)正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义(
(2)正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件. (3)通过学习,使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,( 2.过程与方法目标:在观察和思考中,在解题和证明题中,培养学生思维能力的严密性品质( 3. 情感、态度与价值观:
激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度,培养积极进取的精神( (二)教学重点与难点
重点:1、正确区分充要条件 2、正确运用“条件”的定义解题 难点:正确区分充要条件(
(三)教学过程
1.思考、分析
已知p:整数a是2的倍数;q:整数a是偶数.
请判断: p是q的充分条件吗,p是q的必要条件吗,
分析:要判断p是否是q的充分条件,就要看p能否推出q,要判断p是否是q的必要条件,就要看q能否推出p(
易知:p,q,故p是q的充分条件;
又q , p,故p是q的必要条件(
此时,我们说, p是q的充分必要条件
,.类比归纳
一般地,如果既有p,q ,又有q,p 就记作
p , q.
此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.
概括地说,如果p , q,那么p 与 q互为充要条件.
3.例题分析
例1:下列各题中,哪些p是q的充要条件,
2(,) p:b,0,q:函数f(x),ax,bx,c是偶函数;
(,) p:x , 0,y , 0,q: xy, 0;
(,) p: a , b ,q: a + c , b + c;
(,) p:x , 5, ,q: x , 10
22(,) p: a , b ,q: a , b
分析:要判断p是q的充要条件,就要看p能否推出q,并且看q能否推出p( 解:命题(,)和(,)中,p,q ,且q,p,即p , q,故p 是q的充要条件; 命题(,)中,p,q ,但q ,, p,故p 不是q的充要条件;
命题(,)中,p,,q ,但q,p,故p 不是q的充要条件;
命题(,)中,p,,q ,且q,,p,故p 不是q的充要条件;
,(类比定义
一般地,
若p,q ,但q ,, p,则称p是q的充分但不必要条件;
若p,,q,但q , p,则称p是q的必要但不充分条件;
若p,,q,且q ,, p,则称p是q的既不充分也不必要条件(
在讨论p是q的什么条件时,就是指以下四种之一:
?若p,q ,但q ,, p,则p是q的充分但不必要条件;
?若q,p,但p ,, q,则p是q的必要但不充分条件;
?若p,q,且q,p,则p是q的充要条件;
?若p ,, q,且q ,, p,则p是q的既不充分也不必要条件(
,(练习巩固: 说明:要求学生回答p是q的充分但不必要条件、或 p是q的必要但不充分条件、或p是q的充要条件、或p是q的既不充分也不必要条件(
,(例题分析
例2:已知:?O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d(求证:d,r是直线l与?O相切的充要条件(
分析:设p:d,r,q:直线l与?O相切(要证p是q的充要条件,只需要分别证明充分性(p,q)和必要性(q,p)即可(
证明过程略(
例3、设p是r的充分而不必要条件,q是r的充分条件,r成立,则s成立(s是q的充分条件,问(1)s是r的什么条件,(2)p是q的什么条件,
,(课堂总结:
充要条件的判定方法
如果“若p,则q”与“ 若p则q”都是真命题,那么p就是q的充要条件,否则不是(
全称量词与存在量词
(一)教学目标
1.知识与技能目标
(1)通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词(
(2)了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及 判断其命题的真假性(
2.过程与方法目标 使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力( 3.情感态度价值观
通过学生的举例,培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质,在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育(
(二)教学重点与难点
重点:理解全称量词与存在量词的意义 难点: 全称命题和特称命题真假的判定. 教具准备:与教材内容相关的资料。
教学设想:激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度,培养积极进取的精
神(
(三)教学过程
学生探究过程:1(思考、分析
下列语句是命题吗,假如是命题你能判断它的真假吗,
(1)2x,,是整数; (2) x,,;
(3) 如果两个三角形全等,那么它们的对应边相等;
(4)平行于同一条直线的两条直线互相平行;
(5)海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书; (6)所有有中国国籍的人都是黄种人; (7)对所有的x?,, x,,; (8)对任意一个x?,,2x,,是整数。
1( 推理、判断
(让学生自己表述)
(1)、(2)不能判断真假,不是命题。
(3)、(4)是命题且是真命题。
(5),(8)如果是假,我们只要举出一个反例就行。
注:对于(5),(8)最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。
(5)的真假就看命题:海师附中今年存在个别(部分)高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书;这个命题的真假,该命题为真,所以命题(5)为假;
命题(6)是假命题(事实上,存在一个(个别、部分)有中国国籍的人不是黄种人(
命题(7)是假命题(事实上,存在一个(个别、某些)实数(如x,2), x,,( (至少有一个x?,, x?,)
命题(8)是真命题。事实上不存在某个x?,,使2x,,不是整数。也可以说命题:存在某个x?,使2x,,不是整数,是假命题(
3(发现、归纳
命题(5),(8)跟命题(3)、(4)有些不同,它们用到 “所有的”“任意一个” 这样的词语,这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部,这样的词叫做全称量词,用符号“”,表示,含有全称量词的命题,叫做全称命题。命题(5),(8)都是全称命题。
通常将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),„„表示,变量x的取值范围用M表示。那么全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为:x,M p(x),读做“对,,任意x属于M,有p(x)成立”。
刚才在判断命题(5),(8)的真假的时候,我们还得出这样一些命题:
, (5)存在个别高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书;
, (6)存在一个(个别、部分)有中国国籍的人不是黄种人(
,(7) 存在一个(个别、某些)实数x(如x,2),使x?,((至少有一个x?,, x?,)
,(8)不存在某个x?,使2x,,不是整数(
这些命题用到了“存在一个”“至少有一个”这样的词语,这些词语都是表示整体的一部分的词叫做存在量词。并用符号“”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题(或存在命题)命,
,,题(5),(8)都是特称命题(存在命题)(
,,xMpx,()特称命题:“存在M中一个x,使p(x)成立”可以用符号简记为:。读做“存在一个x属于M,使p(x)成立”(
全称量词相当于日常语言中“凡”,“所有”,“一切”,“任意一个”等;存在量词相当于日常
语言中“存在一个”,“有一个”,“有些”,“至少有一个”,“ 至多有一个”等.
4(巩固练习
(1)下列全称命题中,真命题是:
2A. 所有的素数是奇数; B. ; ,,,xRx,(1)0
1,1C. D. ,,,,,,,,xRx,2xx(0,),sin2x2sinx
(2)下列特称命题中,假命题是:
2A. B.至少有一个能被2和3整除 ,,,,,xRxx,230xZx,,
2C. 存在两个相交平面垂直于同一直线 D.x是有理数( ,,xxx{|是无理数},
1,(3)已知:对恒成立,则a的取值范围是 ; ,,,xRax,x
,2变式:已知:对,,,,xRxax,10恒成立,则a的取值范围是 ;
2(4)求函数fxxx()cossin3,,,,的值域;
2cossin30xxa,,,,变式:已知:对方程有解,求a的取值范围( ,,xR,
5(教学反思:
(1)判断下列全称命题的真假:
?末位是o的整数,可以被5整除;
?线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;
?负数的平方是正数; ?梯形的对角线相等。
(2)判断下列特称命题的真假:
?有些实数是无限不循环小数; ?有些三角形不是等腰三角形; ?有些菱形是正方形。
(3)探究:
,,?请课后探究命题(5),(8)跟命题(5),(8)分别有什么关系,
?请你自己写出几个全称命题,并试着写出它们的否命题(写出几个特称命题,并试着写出它们的否命题。
简单的逻辑联结词(一)或且非 教学目标:了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义~理解复合命题的结构. 教学重点:逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义及复合命题的构成。 教学难点:对“或”的含义的理解,
教学手段:多媒体
一、创设情境
前面我们学习了命题的概念、命题的构成和命题的形式等简单命题的基本框架。本节内容,我们将学习一些简单命题的组合,并学会判断这些命题的真假。 问题1:下列语句是命题吗,如果不是,请你将它改为命题的形式
?11>5 ?3是15的约数吗, ?0.7是整数 ?x>8
二、活动尝试
?是命题,且为真;?不是陈述句,不是命题,改为?是3是15的约数,则为真; ?是假命题
2?是陈述句的形式,但不能判断正确与否。改为x?0,则为真;
例如,x<2,x-5=3,(x+y)(x-y)=0.这些语句中含有变量x或y,在没有给定这些变量的值之前,是无法确定语句真假的.这种含有变量的语句叫做开语句(有的逻辑书也称之为条件命题)。我们不要在判断一个语句是不是命题上下功夫,因为这个工作过于复杂,只要能从正面的例子了解命题的概念就可以了。
三、师生探究
问题2:(1)6可以被2或3整除;
(2)6是2的倍数且6是3的倍数;
(3)不是有理数; 2
上述三个命题前面的命题在结构上有什么区别,比前面的命题复杂了,且(1)和(2)明显是由两个简单的命题组合成的新的比较复杂的命题。
命题(1)中的“或”与集合中并集的定义:A?B={x|x?A或x?B}的“或”意义相同. 命题(2)中的“且”与集合中交集的定义:A?B={x|x?A且x?B}的“且”意义相同. 命题(3)中的“非”显然是否定的意思,即“不是有理数”是对命题是有理数”22进行否定而得出的新命题.
四、数学理论
1. 逻辑连接词
新疆王新敞奎屯命题中的“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词
2. 复合命题的构成
新疆王新敞奎屯简单命题:不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题
新疆王新敞奎屯复合命题:由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题 3.复合命题构成形式的表示
常用小写拉丁字母p、q、r、s„„表示简单命题.
复合命题的构成形式是:p或q;p且q;非p.
即:p或q 记作 p,q p且q 记作 p,q 非p (命题的否定) 记作 ,p
,,释义:“p或q”是指p,q中的任何一个或两者.例如,“xA或xB”,是指x可能属于A但不属于B(这里的“但”等价于“且”),x也可能不属于A但属于B,x还可能既属于
,A又属于B(即xA?B);又如在“p真或q真”中,可能只有p真,也可能只有q真,还可能p,q都为真.
,,“p且q”是指p,q中的两者.例如,“xA且xB”,是指x属于A,同时x也属于B(即,xAB). :
,“非p”是指p的否定,即不是p. 例如,p是“xA”,则“非p”表示x不是集合A
,的元素(即x). ðAU
五、巩固运用
例1:指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题:
(1)24既是8的倍数,也是6的倍数;
(2)李强是篮球运动员或跳高运动员;
(3)平行线不相交
解:(1)中的命题是p且q的形式,其中p:24是8的倍数;q:24是6的倍数.
(2)的命题是p或q的形式,其中p:李强是篮球运动员;q:李强是跳高运动员.
(3)命题是非p的形式,其中p:平行线相交。
例2: 分别指出下列复合命题的形式
(1)8?7
(2)2是偶数且2是质数;
(3)不是整数; ,
87,q解:(1)是“”形式,:,:8=7; pq,p
q(2)是“”形式,:2是偶数,:2是质数; pq,p
(3)是“”形式,:是整数; ,,pp
例3:写出下列命题的非命题:
2(1)p:对任意实数x,均有x,2x+1?0;
2(2)q:存在一个实数x,使得x,9=0
(3)“AB?CD”且“AB=CD”;
(4)“?ABC是直角三角形或等腰三角形”(
2解:(1)存在一个实数x,使得x,2x+1,0;
2(2)不存在一个实数x,使得x,9=0;
(3)AB不平行于CD或AB?CD;
(4)原命题是“p或q”形式的复合命题,它的否定形式是:?ABC既不是直角三角形又不是等腰三角形(
复合命题的构成要注意:(1)“p或q”、“p且q”的两种复合命题中的p和q可以是
毫无关系的两个简单命题
(2)“非p”这种复合命题又叫命题的否定;是对原命题的
关键词进行否定;
下面给出一些关键词的否定:
正面 等至少一至多 或 大于 小于 是 都是 语词 于 个 一个
不不大于 不小于 不都一个也 至少 否定 且 等(小于等(大于等不是 是 没有 两个 于 于) 于)
六、回顾反思
本节课讨论了简单命题与复合命题的构成,以及逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。需要注意的是否命题的关键词的否定是问题的核心。
七、课后练习
21(命题“方程x,2的解是x,?是( ) 2
A(简单命题 B(含“或”的复合命题
C(含“且”的复合命题 D(含“非”的复合命题 2(用“或”“且”“非”填空,使命题成为真命题:
(1)x?A?B,则x?A__________x?B;
(2)x?A?B,则x?A__________x?B;
(3)a、b?R,a,0__________b,0,则ab,0(
3(把下列写法改写成复合命题“p或q”“p且q”或“非p”的形式: (1)(a,2)(a+2)=0;
x,1,(2); ,y,2,
(3)a,b?0(
4(已知命题p:a?A,q:a?B,试写出命题“p或q”“p且q”“?p”的形式( 5(用否定形式填空:
(1)a,0或b?0; (2)三条直线两两相交
(3)A是B的子集.___________________ (4)a,b都是正数.___________ (5)x是自然
数.___________________(在Z内考虑)
6(在一次模拟打飞机的游戏中,小李接连射击了两次,设命题p是“第一次射击中飞机”,,
?命题p是“第二次射击中飞机”试用p、p以及逻辑联结词或、且、非(?,?,)表,,,
示下列命题:
命题S:两次都击中飞机;
命题r:两次都没击中飞机;
命题t:恰有一次击中了飞机;
命题u:至少有一次击中了飞机.
八、参考答案:
1(B
2((1)或 (2)且 (3)且
3((1)p:a,2=0或q:a+2=0;
(2)p:x=1且q: y=2
(3)p:a,b且q:b?0
,4(命题“p或q”:a?A或a?B(“p且q”:a?A且a?B(“?p”:aA 5((1)a?0且b,0
(2)三条直线中至少有两条不相交
(3)A不是B的子集
(4)a,b不都是正数
(5)x是负整数(
()()pqpq,,,,,,,,,()pq6((1) (2)(3)(4) pq,,,,pq
椭圆 椭圆及其标准方程
? 知识与技能目标
理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题;理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法;了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法( (
? 过程与方法目标
(1)预习与引入过程
当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时,观察平面截圆锥的截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是什么图形,又是怎么样变化的,特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时,截口曲线是椭圆,再观察或操作了
后,提出两个问题:第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线;第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子(当学生把上述两个问题回答清楚后,要引导学生一起探究P页上的问题(同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条(约41
10cm长,两端各结一个套),教师准备无弹性细绳子一条(约60cm,一端结个套,另一端是活动的),图钉两个)(当套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的图形是椭圆(启发性提问:在这一过程中,你能说出移动的笔小(动点)满足的几何条件是什么,〖板书〗2(1(1椭圆及其标准方程(
(2)新课讲授过程
(i)由上述探究过程容易得到椭圆的定义(
FF〖板书〗把平面内与两个定点,的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭FF1212
圆(ellipse)(其中这两个定点叫做椭圆的焦点,两定点间的距离叫做椭圆的焦距(即当动点设
MMFMFa|2,,为时,椭圆即为点集( MP,,,12
(ii)椭圆标准方程的推导过程
提问:已知图形,建立直角坐标系的一般性要求是什么,第一、充分利用图形的对称性;第二、注意图形的特殊性和一般性关系(
无理方程的化简过程是教学的难点,注意无理方程的两次移项、平方整理(
b 设参量的意义:第一、便于写出椭圆的标准方程;第二、的关系有明显的几何意义( abc,,
22yx,,,,10ab 类比:写出焦点在轴上,中心在原点的椭圆的标准方程( y,,22ab
(iii)例题讲解与引申
53,,,2,02,0例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是,,并且经过点,求它的标准方,,,,,,,,22,,程(
abc,,分析:由椭圆的标准方程的定义及给出的条件,容易求出(引导学生用其他方法来解(
22xy,,,,10ab另解:设椭圆的标准方程为,因点,,22ab
259,,,,1a,1053,,,,22在椭圆上,则( ,,,44ab,,,,22,,22b,6,,,ab,,4,
22例2 如图,在圆上任取一点,过点作轴的垂线段,为垂足(当xy,,4xPPPDD点在圆上运动时,线段的中点的轨迹是什么, PPDM
22分析:点在圆上运动,由点移动引起点的运动,则称点是点的伴xy,,4PPMMP随点,因点为线段的中点,则点的坐标可由点来表示,从而能求点的轨迹方程( MPDMPM
22xyA6,2引申:设定点,是椭圆上动点,求线段中点的轨迹方程( ,,1PAPM,,259
Mxy,Pxy,解法剖析:?(代入法求伴随轨迹)设,;?(点与伴随点的关系)?,,,,11
22xx,,26,xy111为线段的中点,?;?(代入已知轨迹求出伴随轨迹),?,,1,MAP,yy,,222591,
22xy,,31,,,,1,,?点的轨迹方程为;?伴随轨迹表示的范围( M2594
,5,05,0例3如图,设,的坐标分别为,(直线,相交于点,且它们ABAMBMM,,,,
4的斜率之积为,求点的轨迹方程( ,M9
Mxy,分析:若设点,则直线,的斜率就可以用含xy,AMBM,,
4的式子表示,由于直线,的斜率之积是,因此,可以求,AMBM9
出之间的关系式,即得到点的轨迹方程( xy,M
yyMxy,解法剖析:设点,则5,5; kx,,,kx,,,,,,,,AMBM55x,x,
yy4代入点的集合有,化简即可得点的轨迹方程( ,,,MMxx,,559
Aa,,0Ba,0ABCCkkk,,引申:如图,设?的两个顶点,,顶点在移动,且,,,,,ACBCk,0C且,试求动点的轨迹方程(
k引申目的有两点:?让学生明白题目涉及问题的一般情形;?当值在变化时,线段的角色也是从椭圆的长轴?圆的直径?椭圆的短轴( AB
椭圆 椭圆的简单几何性质
? 知识与技能目标
了解用方程的方法研究图形的对称性;理解椭圆的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点的概念;掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题;通过例题了解椭圆的第二定义,准线及焦半径的概念,利用信息技术初步了解椭圆的第二定义( (
? 过程与方法目标
(1)复习与引入过程
引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点,在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论,研究椭圆的几何性质的理解和应用,而且还注意对这种研究方法的培养(?由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围;?由方程的性质得到椭圆的对称性;?先定义圆锥曲线顶点的概念,容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念;?通过P48的思考问题,探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率(〖板书〗?2(1(2椭圆的简单几何性质(
(2)新课讲授过程
(i)通过复习和预习,知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质(
提问:研究曲线的几何特征有什么意义,从哪些方面来研究,
通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置(要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质(
(ii)椭圆的简单几何性质
22yx ?范围:由椭圆的标准方程可得,,,,10,进一步得:,同理可得:,,,axa22ba
,即椭圆位于直线和所围成的矩形框图里; ,,,bybyb,,xa,,
?对称性:由以代,以代和代,且以代这三个方面来研究椭圆的标,xx,xx,yy,yy
准方程发生变化没有,从而得到椭圆是以轴和轴为对称轴,原点为对称中心; xy
?顶点:先给出圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点(因此椭圆有四个顶点,由于椭圆的对称轴有长短之分,较长的对称轴叫做长轴,较短的叫做短轴;
c0,e,1?离心率: 椭圆的焦距与长轴长的比e,叫做椭圆的离心率(),a
当,1时,a,0e,c,,b当e,0时,c,0,b,a,,; ( ,,椭圆图形越扁椭圆越接近于圆,,
(iii)例题讲解与引申、扩展
221625400xy,,例4 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标(
abc,,分析:由椭圆的方程化为标准方程,容易求出(引导学生用
椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量(
1022mxymm,,,550e,扩展:已知椭圆的离心率为,,,5
m求的值(
mm,,0,5x解法剖析:依题意,,但椭圆的焦点位置没有确定,应分类讨论:?当焦点在
52,m05,,mm,3轴上,即时,有,?,得;?当焦,abmcm,,,,5,,5
55
m,51025m,5点在轴上,即时,有,?( ,,,myambcm,,,,,5,553m
BAC例5 ,如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分(过对对称的截口是
椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点上,片门位于另一个焦点上,由椭圆一个焦点发FFF121
FBcm,2.8出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点(已知,,BCFF,F1122FFcm,4.5BAC(建立适当的坐标系,求截口所在椭圆的方程( 12
22xy解法剖析:建立适当的直角坐标系,设椭圆的标准方程为,,1,算出的值;abc,,22ab此题应注意两点:?注意建立直角坐标系的两个原则;?关于的近似值,原则上在没有注abc,,意精确度时,看题中其他量给定的有效数字来决定(
引申:如图所示, “神舟”截人飞船发射升空,进入预定轨道开始巡天飞行,其轨道是以地球的中心为一个焦点的椭F2
200km350km圆,近地点距地面,远地点距地面,已知AB
Rkm,6371地球的半径(建立适当的直角坐标系,求出椭圆的轨迹方程(
254Mxy,F4,0l例6如图,设与定点的距离和它到直线:的距离的比是常数,x,,,,,54求点的轨迹方程( M
22Mxy,MFxy,,,4分析:若设点,则,到直线,,,,
2525l:x,的距离,则容易得点的轨迹方程( dx,,M44
2aMxy,Fc,0lx,引申:(用《几何画板》探究)若点与定点的距离和它到定直线:的,,,,c
cac,,0Fc,0距离比是常数e,,则点的轨迹方程是椭圆(其中定点是焦点,定直线M,,,,a
2a,,Fc,,0,llx,:相应于的准线;由椭圆的对称性,另一焦点,相应于的准线:FF,,c
2ax,,( c
双曲线 双曲线及其标准方程 双曲线
? 知识与技能目标
理解双曲线的概念,掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题;理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法;了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法( (
? 过程与方法目标
(1)预习与引入过程
预习教科书,当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时,观察平面截圆锥的截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是什么图形,又是怎么样变化的,特别是当截面与圆锥的轴线或平行时,截口曲线是双曲线,待观察或操作了课件后,提出两个问题:第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线;第二、你能举出现实生活中双曲线的例子(当学生把上述两个问题回答清楚后,要引导学生一起思考与探究P页上的问题(同桌的两位同学准备无弹性的细绳子56
两条(一条约10cm长,另一条约6cm每条一端结一个套)和笔尖带小环的铅笔一枝,教师准备无弹性细绳子两条(一条约20cm,另一条约12cm,一端结个套,另一端是活动的),图钉两个)(当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中,把绳子的另一端重合在一起,拉紧绳子,移动笔尖,画出的图形是双曲线(启发性提问:在这一过程中,你能说出移动的笔小(动点)满足的几何条件是什么,〖板书〗?2(2(1双曲线及其标准方程(
(2)新课讲授过程
(i)由上述探究过程容易得到双曲线的定义(
FF〖板书〗把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨FF1212
迹叫做双曲线(hyperbola)(其中这两个定点叫做双曲线的焦点,两定点间的距离叫做双曲线的
MMFMFa,,2焦距(即当动点设为时,双曲线即为点集( MP,,,12
(ii)双曲线标准方程的推导过程
提问:已知椭圆的图形,是怎么样建立直角坐标系的,类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系(
无理方程的化简过程仍是教学的难点,让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程(
b 类比椭圆:设参量的意义:第一、便于写出双曲线的标准方程;第二、abc,,的关系有明显的几何意义(
22yx,,,,10,0ab 类比:写出焦点在轴上,中心在原点的双曲线的标准方程( y,,22ba
(iii)例题讲解、引申与补充
F,5,0F5,0例1 已知双曲线两个焦点分别为,,双曲线上一点到F,F距离差P,,,,1212
6的绝对值等于,求双曲线的标准方程(
abc,,分析:由双曲线的标准方程的定义及给出的条件,容易求出(
22xy,,,22补充:求下列动圆的圆心的轨迹方程:? 与?C:内切,且过点M,,
2222A2,0xy,,,11xy,,,14;? 与?:和?:都外切;? 与?:CCC,,,,,,211
2222xy,,,39xy,,,31外切,且与?:内切( C,,,,2
解题剖析:这表面上看是圆与圆相切的问题,实际上是双曲线的定义问题(具体解:设动圆的M半径为( r
MAr,CC? ??与?内切,点在?外,?,,因此有MCr,,2MA
C,?点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支,即的轨迹方程是MAMC,,2MAM
22y2; 212xx,,,,,,7
MCr,,1MCr,,2? ??与?、?均外切,?,,因此有CCM1221
MCMC,,1,?点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支,?的轨迹方程是CCMM2121
243x,,2; 41yy,,,,,34,,
MCr,,3MCr,,1? ?与外切,且与内切,?,,因此CCMM1212
MCMC,,4,?点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支,?的轨迹方程是CCMM1221
22xy,,,12x( ,,45
800m2s例2 已知,两地相距,在地听到炮弹爆炸声比在地晚,且声速为ABAB340/ms,求炮弹爆炸点的轨迹方程(
分析:首先要判断轨迹的形状,由声学原理:由声速及,两地听到爆炸声的时间差,AB
即可知,两地与爆炸点的距离差为定值(由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程( AB
扩展:某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告:正西、正北两个观察点同时听
4s到了一声巨响,正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚(已知各观察点到该中心的
1020m340/ms距离都是(试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为;相关点均在同一平面内)(
解法剖析:因正西、正北同时听到巨响,则巨响应发生在西北方向或东南方向,以因正东比正西4s晚,则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上(
Ox如图,以接报中心为原点,正东、正北方向分别为轴、轴方向,y
A,1020,0C建立直角坐标系,设、、分别是西、东、北观察点,则,AB,,
B1020,0C0,1020,( ,,,,
Pxy, 设为巨响发生点,?、C同时听到巨响,?OP所在直线为„„?,又因yx,,AB,,
PBPAm,,,,434013604sa,680点比点晚听到巨响声,?(由双曲线定义知,,A,,
22xyx,,680c,1020,?b,3405,?点在双曲线方程为„„?(联,,1P,,226805340,
立?、?求出点坐标为P,6805,6805(即巨响在正西北方向P,,
68010m处(
,5,05,0探究:如图,设,的坐标分别为,(直线,ABAM,,,,
4相交于点,且它们的斜率之积为,求点的轨迹方程,并与?2(1(例3比较,有什BMMM9
么发现,
Mxy,探究方法:若设点,则直线,的斜率就可以用含的式子表示,由于xy,AMBM,,
4直线,的斜率之积是,因此,可以求出之间的关系式,即得到点的轨迹方程( xy,AMBMM9
双曲线 双曲线的简单几何性质
? 知识与技能目标
了解平面解析几何研究的主要问题:(1)根据条件,求出表示曲线的方程;(2)通过方程,研究曲线的性质(理解双曲线的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念;掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题;通过例题和探究了解双曲线的第二定义,准线及焦半径的概念,利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义( (
? 过程与方法目标
(1)复习与引入过程
引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法,在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论,研究双曲线的几何性质的理解和应用,而且还注意对这种研究方法的进一步地培养(?由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围;?由方程的性质得到双曲线的对称性;?由圆锥曲线顶点的统一定义,容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念;?应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题;?类比椭圆通过P的思考问题,探56究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率(〖板书〗?2(2(2双曲线的简单几何性质(
(2)新课讲授过程
(i)通过复习和预习,对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质(
提问:研究双曲线的几何特征有什么意义,从哪些方面来研究,
通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上把握曲线的形状、大小和位
置(要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质(
(ii)双曲线的简单几何性质
22yx ?范围:由双曲线的标准方程得,,进一步得:,或(这,,,10xa,,xa,22ba
说明双曲线在不等式,或所表示的区域; xa,,xa,
?对称性:由以代,以代和代,且以代这三个方面来研究双曲线的,xx,xx,yy,yy标准方程发生变化没有,从而得到双曲线是以轴和轴为对称轴,原点为对称中心; xy
?顶点:圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点(因此双曲线有两个顶点,由于双曲线的对称轴有实虚之分,焦点所在的对称轴叫做实轴,焦点不在的对称轴叫做虚轴;
22xyb?渐近线:直线叫做双曲线的渐近线; ,,1yx,,22aab
ce,1?离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率()( e,a
(iii)例题讲解与引申、扩展
22例3 求双曲线916144yx,,的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方
程(
分析:由双曲线的方程化为标准方程,容易求出(引导学生用双曲线的实半轴长、虚半abc,,
轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子,但要注意焦点在轴上的渐近线是y
a( yx,,b
22xyA23,3,,,1扩展:求与双曲线共渐近线,且经过点的双曲线的标准方及离心率( ,,169
22xy3,,1解法剖析:双曲线的渐近线方程为(?焦点在x轴上时,设所求的双yx,,1694
22xy12A23,3,,,1曲线为,?点在双曲线上,?,无解;?焦点在轴上时,k,,y,,224169kk
22xy12A23,3,,,,1k,设所求的双曲线为,?点在双曲线上,?,因此,所求双,,224169kk
225yx,,1曲线的标准方程为,离心率e,(这个要进行分类讨论,但只有一种情形有解,事943
4
22xy,,,,mmRm,0实上,可直接设所求的双曲线的方程为( ,,169
例4 双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1),它的最
12m13m25m55m小半径为,上口半径为,下口半径为,高为(试选择适当的坐标系,求出双
曲线的方程(各长度量精确到1m)(
解法剖析:建立适当的直角坐标系,设双曲线的标准方程
22xy为,算出的值;此题应注意两点:?注意,,1abc,,22ab
建立直角坐标系的两个原则;?关于的近似值,原则上abc,,
在没有注意精确度时,看题中其他量给定的有效数字来决定(
引申:如图所示,在处堆放着刚购买的草皮,现要把这些草皮沿着P
ABCD道路或送到呈矩形的足球场中去铺垫,已知PAPB
APm,150BPm,100BCm,60,,APB60,,,(能否在足球场上画一条“等距离”线,在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路,说明理由(
PAAMPBBM,,,解题剖析:设为“等距离”线上任意一点,则,即M
BMAMAPBP,,,,50(定值),?“等距离”线是以、为焦点的双曲线的左支上AB
22xy的一部分,容易“等距离”线方程为,,,,,,,,13525,060xy(理由略( ,,6253750
165Mxy,F5,0l例5 如图,设与定点的距离和它到直线:的距离的比是常数,x,,,,,45求点的轨迹方程( M
1622Mxy,MFxy,,,5l分析:若设点,则,到直线:的距离x,,,,,5
16dx,,,则容易得点的轨迹方程( M5
引申:用《几何画板》探究点的轨迹:双曲线
2aMxy,Fc,0lx,若点与定点的距离和它到定直线:的距离比是常数,,,,c
2acca,,0Fc,0lx,,则点的轨迹方程是双曲线(其中定点是焦点,定直线:e,M,,,,ca
2a,,Fc,,0,lx,,相应于的准线;另一焦点,相应于的准线:( FF,,c