数学建模-飞机加油

数学建模-飞机加油 空中加油问题的研究 摘 要 本文研究的是飞机空中加油的问题，由于主机与辅机的速度相同，辅机可以对主机加油，也可以对辅机加油，当辅机数目增多时，基地数变多的时候，情况就变得复杂，本文的研究目的是如何实现在不同要求下的最优的作战。 问题1:在时，要求主机的作战半径，本文分析了辅机为主机n,1,2,3,4rn 服务的各种可能，出了一个规律:当为主机前进服务和为主机返回服务的辅机数尽量均衡时，主机的作战半径最大。由此规律，解得 2L511r,,r,L,r,L,r,L。 12343612 问题2:首先，根据问题1的计算过程给出了安排加油机的2个准则:(1)辅机给主机加的油尽量多;(2)辅机在加完油后都能飞回去。其次，讨论了在问题1的加油规则下关于的达式。再次，我们给出了方案2:将辅机和主机nrn L两两组合，往返的相邻两个加油点的距离为,并将前进和返回的辅机配合方式3 的上下界，用递归分析法解出了当时，与分开讨论。最后，给出了n,,nrrnn的渐近表达式并讨论了最优作战方案的必要条件。 问题3:分析出了辅机重复飞行时相当于增加了一倍的辅机，在此基础上，讨论了时主机的作战半径，分析了大于4时方案2可节约的辅机数，nn,1,2,3,4 得出了趋于无穷时与的渐近关系。 Rnnn 问题4:先确定基地在一条直线上，再假定了分配到各基地的辅机A、A、A12 数量，按照方案1和问题2中给出的两个准则，建立以作战半径最大为目标函数，飞机数目为约束的数学模型，用lingo求解出结果。 问题5:在前面研究的基础上，结合图形分析，得出最快达到并返回的作战方案所需要的飞机数为306架辅机;对于最小辅机数量的方案，讨论了四种路径，解出最小辅机数的方案所需的辅机数为196架。 关键词:辅机配合方式;数学归纳法;递归分析 一 问题的重述 对飞行中的飞机进行空中加油， 可以增大受油机的航程，增加有效载重，提高远程作战能力。 设为空军基地，基地有一架作战飞机和架加油机。主机与辅机的速度和An 单位时间的耗油量均相同且为常数，油箱装满油后的最大航程均为(公里)。L辅机可以对主机加油，辅机之间也可以相互加油。今主机要执行某作战任务(如侦察或空投)，所有飞机在完成自身的任务后均要求返回基地。 主机的最大作战半径(简称作战半径)是指主机在架辅机的协助下所能飞n n,0到的(并安全返回)离基地的最远距离。显然当时，作战半径。 Ar,L/20 为了求解出最优作战方案，需要知道辅机的数目和所有飞机的作战方案，即主机与辅机、辅机与辅机之间如何配合:在什么地点加油，加多少油，使所有的飞机均能安全返回基地且付出的代价最小。我们需要解决以下问题: 问题1 设飞机垂直起飞、垂直降落、空中转向、在地面或空中加油的耗时均忽略不计，每架飞机只能上天一次，在上述假设下的作战半径记为。当rn 时，求作战半径。 rn,1,2,3,4n n,4问题2 在问题1的假设下，当时，尽你的可能求出(提示:先假rn设辅机可以分为两类，第一类专为主机前进服务，第二类专为主机返回服务，再考虑一般情形)，或给出的上、下界; 讨论当的过程中与n的渐近关rrn,,nn系; 试给出判断最优作战方案(主机能够飞到处)的必要条件或充分条件。 rn 问题3 若每架辅机可以多次上天，辅机从机场上空降落及在地面检修、加 L/12油、再起飞到机场上空的时间相当于飞行的时间，飞机第一次起飞、转向、在空中加油的耗时仍忽略不计，此时的作战半径记为R，讨论与问题1、问题2n 类似的问题。 问题4 若另有2个待建的空军基地(或航空母舰)，有架辅机，A,An12 AA主机从基地起飞，向一给定的方向飞行，必须在基地降落，辅机可在任一基地待命，可多次起飞，且可在任一基地降落。其他同问题3的假设，讨论A,A的12 *选址和主机的作战半径。 Rn ABCDAB,4LAD,2L问题5 设为矩形，，，A,B,D为三个空军基地， CAA主机从起飞，到执行任务(执行任务时间仍忽略不计)再返回。假设辅机起飞、降落的基地可任意选择，其他同问题3的假设，试按最快到达并返回和最 少辅机架数两种情况给出你的作战方案。 2 二 问题分析 本文研究的是辅机数量和主机作战半径的关系。根据题意，主机与辅机的速度相同，这就决定了辅机必须与主机同时飞行或辅机在主机返回时以相遇的方式迎接主机。辅机的数量，主机与辅机、辅机与辅机之间的配合方式决定了主机作战半径大小。 问题1:主机要飞得尽量远，就要使辅机给主机加的油尽量多，且辅机必须留有能够飞回去的油，在这个前提下，辅机飞的距离越短，能够给主机加的油越多，因此可以制定2个原则:(1)辅机飞得尽量短;(2)辅机必须有足够的油飞回。根据此原则画图寻找规律，并手动求出时主机的作战半径。 n,1,2,3,4 问题2:根据问题1的分析计算过程，可以找出在主机飞得最远时辅机接送主机的规律、主机作战半径与辅机数目的关系，把他们抽象为模型，用简洁的数学表达式展现出来，找出模型的不足，尽量的改进模型。如果最后不止有一种模型，要具体问题具体分析，结合的数目或者其他因素评价模型，给出在各种情n 况下的最优作战方案。时，将关于的表达式中的所有小项忽略，保留rn,,nn 的大项即为:与的渐近关系。 rnn 问题3:只需计算在飞机多次上天的情况下，在问题2的基础上，可以节约多少架飞机。例如原先有架辅机，作战半径为，在考虑飞机可多次上天之后，rnn 节约架飞机，则。 R,rjn,jn 问题4:由于每个基地的辅机数是未知的，我们先设各个基地的辅机数为x,y,z，再确定3个基地的位置关系，在分析主机在哪种方式下能使飞行半径最大后建立数学模型。 问题5:A到C的最短距离即为直线AC，所以要用最短时间到C，须沿AC飞行，如果A可以直接飞行到C的话，根据前面给出的结果先判断最好采用哪种方案，然后求解。如果A不能直接到C，就要采用折中的办法，使其在能到C的情况下飞行的距离最短。 结合问题2，3得出的模型和规律，考虑影响辅机总数的主要因素，然后在优先满足主要因素的情况下设计飞行路径。 三 模型的假设 1. 所有飞机在空中均能正常作业，不会发生故障; 2. 加油过程中油量没有损耗; 3. 当多架飞机在空中同时飞行时，空间足够大，即不会发生碰撞; 4. 基地的容量足够大，能容纳无穷多的飞机。 3 四 符号说明 表示为主机前进服务的辅机数 n1 表示为主机返回服务的辅机数 n2 表示当主机前进时最远辅机加油点与基地的距离 l(n)1 表示当主机返回时最远辅机加油点与基地的距离 l(n)2 表示基地的辅机数 Ax 表示基地的辅机数 yA1 表示基地的辅机数 Az2 辅机数目为时，原始1，2方案的作战半径 rnn 辅机数目为时，改进后1，2方案的作战半径 Rnn 偶 方案1中偶数架辅机情况的改进后的作战半径，辅机数目为 nRn 奇 方案1中奇数架辅机情况的改进后的作战半径，辅机数目为 nRn 五 模型的建立与求解 5.1 求解时，作战半径 n,1,2,3,4rn 由于飞机只能上天一次，且主机与辅机的速度相同，所以辅机要给主机加油，必须与主机同行或在主机返回时前去迎接，主机与辅机在油箱装满后的最大航程 L均为r,我们就需要考虑使用有限的飞机和存油量油资源去使达到最大，且所n 有飞机均能安全返回。在飞机数目确定的情况下，我们需要考虑主机在前进和返回时如何安排辅机的数目，辅机在哪个点加油，辅机之间是否需要相加油等问题。 我们设定加油的原则是:(1)辅机给其他飞机的加油量尽量多，这样能使主机和后面工作的辅机的油量更多，使作战半径尽量大(2)辅机在加完油后刚好能飞回去，这样既保证了辅机能飞回去又不至于造成油资源的浪费。 由于主机与辅机的速度和单位时间的耗油量均相同且为常数，我们可以仅用 L飞行距离来表达一个不等式:辅机来回消耗的油量和给主机加油的总量小于或 L等于。 n,1r5.1.1 时的作战半径 1 n,1 当时，只有一架辅机给主机加油，简单分析即可知道，不管辅机是在主 r机前进时给主机加油，还是在主机返回时给主机加油，其都是一样的。 n 4 现在我们来分析求解主机在前进时辅机给主机加油的情况:假设辅机在距离基地远处给主机加油后返回基地，，即辅机给主机加的油和自身消耗的油量要a 小于或等于，因为油箱的容量只有能让飞机飞行距离为的油。 LL 2a，a,L LL1解得,我们取，原因为:若取，那么辅机上的油在给主机加满a,a,a,L333 返回基地后，油箱内仍有油剩余，而主机由于没有得到这部分油而使作战半径rn La,变小;如果我取，主机的油箱是满的，辅机的油也刚好可以飞回基地。于3 12LLn,1()是当时，作战半径。 r,L，,1233 n,25.1.2 时的作战半径 r2 n,2 当时，辅机的配合方式有:两送、两迎、一送一迎，其中两送或两接方式中还存在辅机之间可能相互加油的情况。我们经过计算3种情况后发现一接一送的方式能使作战半径最大，因为这样的飞行方式能使辅机间重复飞行的距离为零。我们假设在送主机时辅机1在距离基地处给主机加油，主机在返回的过程a b中辅机2在点处给主机加油后两架飞机同时返回基地。 3a,L, ,2b，b,L, LLn,1a,a,b,我们取,原因与，取时的原因分析相同。于是作战半径33 L115r,(，1，),L 22336 n,35.1.3 时的作战半径r 3 n,3 当时，辅机的配合方式有:三送、三迎、两送一迎，两迎一送，同时每种方式还存在辅机间可能加油的情况，经过分析发现:相同配合方式下，送与迎的过程的辅机分配相等或相差最小时，作战半径最大。于是我们就要保持送与迎 n,3之间的辅机数尽量均衡。当时，经过计算比较，我们发现两送一迎或两迎一送且辅机间互相加油时，作战半径最大，我们以两送一迎为例来进行计算，我们设主机前进时的第一个加油点与基地的距离为，第二个加油点与第一个加油a b点距离为，主机返回基地过程中，辅机3前去迎接的加油点与基地的距离为c，于是 2a，2a,L, ,2b，a，b,L , ,2c，c,L, LLL1111a,b,,c,r,(，1，),L我们取,于是作战半径 34324312 n,4r5.1.4 时的作战半径 4 5 n,4 当时，辅机的配合方式有:四送、四迎、三送一迎、三迎一送、两送两迎，且还要考虑辅机间相互加油情况。经过上面的分析得出，两送两迎中辅机间相互加油能使作战半径最大。我们设辅机送主机前进时，第一个辅机的加油点在距基地远处给主机和另一个辅机加油返回基地，此时主机的油箱和另一辅机的a b油箱是满的，第二个加油点距第一个加油点的距离是，第二辅机在给主机加满油后返回基地。在迎接主机返回基地时，第一个加油点与基地的距离为，第二c d个加油点与第一个加油点的距离为，于是 2a，a，a,L, ,2a，b，b,L, ,2c，c，c,L, ,c，d，2c,L, LL1a,b,c,d,解得，于是作战半径为r,(1，4，),L，由此我们可以4424 n,4n,5得知当时，作战半径已经达到L，可以预知当，作战半径。 r,L55.2 求的上下界及过程中与渐近关系式 rrn,,nnn 5.2.1 求解的方案1 rn 从问题1得到经验告诉我们，我们确定加油的准则为: (1)辅机给其他飞机的加油量尽量多，这样使主机和后面工作的辅机的油量尽量多，使主机飞得更远，这样主机作战半径就加大了; (2)辅机在给其他飞机加完油后刚好能飞回去，这样既保证了辅机能飞回去又不至于造成油资源的浪费。 我们假设接或送的飞机数目为，在满足以上辅机加油准则下接或送的距离c 数值。其分析示意图如图1所示。 图1 接送距离函数分析示意图 cl(c),L经过计算分析，我们定义这个接送距离函数为，现在我们来c，2 l证明接送距离函数为什么会是这个数值:第一个加油点与基地的距离为，它是1 c,1第一架辅机给架辅机和1架主机加油的地点，由准则可知，我们要保证被加油的主机和辅机的油箱都是满的，于是第一架辅机必须要补偿给其他飞机的总油 c量为，同时要保证辅机1能安全返回基地，这时辅机1的油箱就只需要保留能回去的油就可以了，相当于所有的飞机都在使用第一架辅机的油，于是第一个加 6 1油点到基地的距离为。我们推广到一般的情况，讨论第个加Lm(2,m,c)c，2 m,1油点的情况，由准则可知，在第个加油点处的辅机已经把1个主机和 m,1个辅机的油箱加满，于是到达点的飞机只消耗了点与点之间mm(c,m，1) 距离消耗的油量，第点的辅机需要给辅机和1架主机加满，同时辅mm(c,m) m,1机也要安全返回基地，所以第点与点之间距离函数为mm 11L,L，其中表示辅机的加油量、两个1分别表示给(c,m)c,m，1，1，mc，2 m,11架主机加满的油量和辅机从飞到所需要的油量，表示辅机需要mmmm返回基地所需要的油量，同样辅机前来迎接主机的计算方法也类似讨论。 l(c)综上所述，我们定义接送的距离函数为 cl(c),L (1) c，2 我们再来推导作战半径与辅机数目的关系，设为主机前进服务的辅机数为 L，最后一架辅机返回基地所飞行的距离为，主机还能向前飞行,为主机nl(n)11 返回服务的辅机数目为，最后一架辅机返回基地所飞行的距离为，总辅nl(n)22 机数为。于是作战半径 n,n，n12 1r,,,l(n)，L，l(n) (2) n122 即是将所有的飞行距离加起来除以2即为作战半径，将(1)式带入(2)式中，可得 nn，4LLLn12,，(，),，, (3) rLLn22，2，22，，4nnnnn1212 要求最大作战半径，即是使(3)式取得最大值，而使r取得最大值，必须n使最大，为定值，由不等式定理可知， nnn，n,n1212 nn,n,(1)当n为偶数时，，作战半径122 Ln，4Ln，4n1r,，L,L,，L,L,(，)L; nn2nn，n，42n，42n12，，n，422 n，1n,1,nn,nn,nn,n(2)当为奇数时，之差尽量小，，可使分别取，将12121222n,n带入(3)式，即 12 7 ，，Ln，4Ln，4n，114r,，L,L,，L,L,，,Ln,,，1n2，，42，52(，3)(，5)nnnnnn,1n，，12，，n，422 n,5 我们将带入上式 ，，，，n，1145，11421 r,，,L,，,L,L5,,,,n，52(n，3)(n，5)5，52(5，3)(5，5)20，，，， 我们再用用计算到的数与公式计算到的数进行比较，，用来验证公式的正确性。 n,5 当时，辅机的配合方式有:五送、五接、四送一接、四接一送、三送二接、三接二送，四接一送、四送一接，同时也要考虑到辅机间相互加油的情况，由于考虑到接送之间需要做到辅机数的基本均衡，经过分析得出，三送二接与三接二送的方式且辅机间相互加油。设主机前进时，第一架辅机的加油点的与基地 b的距离为，第二个加油点与第一个加油点的距离为，第三个加油点与地二个a d加油点的距离为，在主机返回基地的时候，第一架辅机与基地的距离为，第c 二个加油点与第一个加油点的距离为，于是 e 5a,L, ,2b，a，2b,L,,2c，c，c，a，b,L , ,e，f，2e,L, ,4f,L, LLL1121a,b,c,,e,f,r,(，3，1，，2),L解得,于是作战半径,可55425420见两种方法求解的结果是一致的。 1117257r,Lr,Lr,Lr,L？同样方法求解得,,,, 67896211015 3 我们观察式(3)，发现这种辅机配合方式下，当时，r的极限是L。 n,,n25.2.2求解r的方案2 n 3L由于方案1求解的r的极限是,由于辅机间可以互相加油，这就为r趋nn2 向无穷大提供了可能，当n,,r时，我们来分析该方案下的的算法。 n 前进时，我们将无穷架辅机与1架主机两两组合，这些组合中只有一组是主机与辅机的组合，其他都是辅机与辅机之间的组合。在每个组合中，在每个加油点上，一架飞机给另一架飞机加油，被加油的飞机以满箱的油向前前进，而加油的飞机返回上一个加油点后的油箱存油量为零，而主机总是向前飞行的，与它组合的辅机都要给它加油。综合问题1的分析结果，我们设相邻的加油点的距离为L,这样选择是便于问题的分析和求解，再设最后一架辅机给主机加油时，已经3 8 Lk走过了个，为主机前进服务的飞机数为(包括主机)，为了便于问题的分n13 析，我们将飞机最大航程理解为单位1，于是 L k1k (4) r,，,n,21n32 k由(4)式可知辅机的数目是非连续的，数目为。 2,1 kk,1返回时，在第个加油点的飞机，需要有第个加油点的飞机前来接应， k,1k,2而个加油点的飞机，也需要第加油点处的飞机前来接应，以此类推。 kk,1有上分析可得，点的飞机与前面的个点的飞机都有关系，示意图如图2所 示。 图2 主机放回时辅机分配示意图 于是考虑用递归分析法求解。 k我们定义为飞到所需飞机数目，包括主机，那么，于是， n,f(k),1f(k)2 k n,f(0)，f(1)，？，f(k,2)，f(k,1)2 k,1 n,f(0)，f(1)，？，f(k,3)，f(k,2)2 ？ m (5) n,f(0)，f(1)，？，f(m,1)2 1 n,f(0)，f(1)2 0 n,f(0)2 m式(5)中，表示飞机返回时，飞机飞到处所需要的飞机数目，下标2mn2 L表示返回，上标m表示第m个加油点，也表示与基地有m个距离。我们设3 k,2,m2，于是返回时所需要的飞机总数n，由于在m点有架前进服务中f(0),12 的飞机要被送回，所以 k,20k,310k,1kk,1k,21n,2n，2n，？，2n，n,2f(0)，2f(1)，？，2f(k,2)，f(k,1)22222 n,n，nf(k)所以，往返所需要的辅机数为，递归数列， 12 k,1k,21k，我们先对数列进行f(k),2f(0)，2f(1)，？，2f(k,2)，f(k,1)，2 9 k错项处理，作差，得到，代入 ，得到，f(k，1),3f(k)f(1),3f(k),3 k n,f(k),1,3,1 k当时， (7) n,3n,, 111因为，于是当，，渐进表达式为 r,，,k,3(r,)r,,n,,nnn322 11logr,n， (8) n332 5.2.3 最优作战方案的必要条件 最优作战方案就是主机能够飞到最远的距离，飞机能飞到最远处的必要条件就是所有飞机在返回基地时的油箱都是空的，没有剩余的油留下，所有的油都被利用了。如果没有把所有的油用完，那么主机的作战半径可以更大，所以所有飞机在返回基地时的油箱都是空的是最优作战方案的一个必要条件。 5.2.4方案1与方案2的比较 32L 第1方案的作战半径L的下界为,上界为,且在这个方案下，不能达rrnn32 35Ln,2L,到。而方案2中，作战半径的下界为上界为无穷，前3项的时，rn26 75n,8n,21r,L,r,L当时，,当时,这与第一方案所算出的相同，而第r28n66 33r,LL二方案中，，第一方案中的不可能达到。第1方案的优点在于可rn21n22 以取连续的整数，而第2方案中的的取值与的指数有关，不能随意地取值，rnnn n,21n,21所以当时，应采用方案1，当时，应采用第2方案，因为它可以使rn 3L突破。 2 5.3 飞机可多次上天的求解 5.3.1 当R时求解 n,1,2,3,4n 由于主机与辅机的速度相同，当飞机可以多次上天，辅机与主机同时前进， L在某个加油点给主机加满油后，马上返回基地，经过的时间，在主机返回的12 航线上再去迎接主机，所以辅机可多次上天在本质上是节约了飞机数。 n,1分析时的情况，可知在前进时辅机与主机同行，在某个点给主机加满油 LL后立即返回基地，经过的时间后再去迎接主机，由问题1可知，辅机会在处123给主机加油，我们计算时间是否能赶上去迎接主机，由于主机与辅机的速度和单 L位时间的耗油量均相同且为常数，我们可以用来表示时间，辅机需要经过的路 LLLn,1，，,L程为,这表明当时，主机能返回去迎接主机，等效于问题1中3123 10 5n,2的情况，于是。 R,L16 n,2当时，在前进时，两架辅机与主机一起飞行，然后在第一架辅机给主机和辅机加满油后立即返基地，然后再准备飞去迎接主机，这种辅机配合方式可以使的值最大，效率最高，我们现在来计算这个方案是否可行。对比第1问的R2 Ln,4的情况，在前进时，第一个辅机会在距离基地分别给主机和辅机加满油4 LL2L后返回基地，第一辅机经过的路程为，，,L,第二架辅机所经过的路程4124 与第一架辅机样的。所以. R,L2 117同理分析的情况，计算得R,L,R,L。 n,3,n,434610 5.3.2 求的上下界及过程中与渐进关系式 RRn,,nnn 讨论飞机可多次上天时，本质是在飞机数目一定的情况下，充分利用辅机的资源，我们设为主机前进服务的辅机数为，为返回主机服务的辅机数为，nn12总辅机数为，我们来讨论方案1、2的改进方案。 n,n，n12 A. 方案1的改进方案(以下分析中L视为单位1，在结果时再将L带入) (1)当为偶数时 n nLn,n,c,，在前进时，第一架辅机在S点返回后，在基地停留相当于12212的飞行时后，在主机返回时，再在第一个加油点J点迎接主机，示意图如图3所示。 图3 n为偶数时飞行示意图 由问题2推导的接送距离函数(1)式可知，第一辅机完成这项工作所需要 1c(，)，2，2cct,的时间为，而要使这架辅机在重新起飞后能第一个接到主机，必需满v 足 1cc,1，,，1 (9) c，1c，2c，2 即该辅机的飞行时间必须控制在前进时最后一架辅机给主机加满油后，辅机 11 2再飞行的L距离能到达指定地点迎接主机。由(9)式推出，可以知道，c,11任何一个正整数都能满足条件(9)的条件，所以为前进服务的第一架辅机，总能在主机返航后，在返回路线的第一个加油点迎接主机，而前进的每架辅机的返 1回基地的时间差等于主机返航时每架辅机接机的时间差，等于，所以只v(c，1)要第一架主机能到达返航时第一个加油点，以后的所有辅机均能实现飞机的两次 1n偶'利用。于是当为偶数时，作战半径为R,r,，。令，则n,n/2nn/2n42n， ''11nn偶 R,，,，'''n22242n，n， (2)当为奇数时 n n，1n,1或者当为奇数时，等于，通过上面类似的分析，通过重复nn,n1222 nn1n,1奇12R,r,，，起飞而节约(1)架辅机。所以，将等于n,n1n，n122n，n，222122 n，1n,111nn,1n，'奇偶或者R,(1，，),R代入,令n,，变换下标得到， nn2222n，2n，1 综合(1)(2),由原来奇数架飞机的情况改进的方案作战半径小于偶数的情 11偶R,R,，况，应该淘汰，因此 nnn，22 B. 方案2的改进方案 由以上问题的分析可知，主机返航时，迎接的辅机都可以由前进时服务的辅机来继续服务，但迎接主机的辅机返回到基地时，由于时间限制，后面服务的辅机必须从基地重新派出。 '设为有效的飞机数，即重复飞行的飞机数只能算一次，不能重复计算。f(k) 我们观察方案2的分析推导过程，发现改进后的方案2与原方案的不同之处在于'k，与方案2的分析推导过程一样，我们设 n,02 'k,2'k,3'0'k (10) ，，f(k),2f0，2f(1)，？，2f(k,2)，2 利用方案2的递归数列的方法得到改进后的飞机数目为 2，22,2kkn',(1，2)，(1,2),1. 44 由改进后的方案1和方案2可知，当飞机能多次起飞时，飞机数目减少了，但是作战半径没有改变，这样的方案表明飞机的工作效率提高了。 *A,A5.4 的选址和主机的作战半径R 12n An由于的飞机数目是未知的，但是他们的辅机总数为，我们设基A、A、A12 12 地有架辅机，基地有架辅机，基地有架辅机。于是满足yx,y,zxAAz21 。且必须在一条直线上，因为这样能使在相同作战半径的x，y，z,nA、A、A12 情况下，辅机所消耗的油量最少。 主机从A基地起飞，同时A基地的架辅机也同时起飞，由问题2讨论的x L接送距离函数可知，第一架辅机在距A基地处给其他架飞机加油后返回Axx，2 2L基地，第二架辅机在在距A基地处给所有的飞机加满油后也返回A基地，x，2 以此类推，则第架辅机在给主机加满油后返回A基地，所以辅机总送出的距离x x为。主机飞行后到达上空，此时基地上的一架辅机给主机加满油LLAA11x，2 后返回基地，与此同时架辅机与主机同时向前飞行，加满油后返回基AAy,111 y,1地，送出的距离为，基地的分析过程与基地一样，送主机行走LAA21(y,1)，2 z,1LL的距离为。在此之后，主机飞到处返航，其返航的分析与前进时2(z,1)，2 111y,z,L*相似。于是主机的作战半径为，建立模R,L，L，L，L，L，2112x，y，z，型: 1y,1z,15max，，， x，2y，1z，12 x，y，z,n,s.t. ,x,y,z为整数, 当为3的倍数时，平均分配到基地，所取得的目标值最大。 nA、A、A12 n,1n,1n，2x,,y,,z,当不能被3整除时，当除以3余1时，，当除nnn333 n,2n,1x,,y,z,以3余数为2时，，这样分配均衡使主机的作战半径最大。 33 xnS,L，Lx,当n为3的倍数时，,因为，所以AA123x，2 nn,3S,(，1)L,S,(，1)L; AAAA212n，6n，3 n,1n,4S,(，1)L,S,(，1)Ln当除以3余1时，; AAAA212n，5n，2 n,2n,2S,(，1)L,S,(，1)Ln当除以3余数为2时，。而AAAA212n，4n，4 13 111y,z,L*1,n,5，我们列举出时，基A、A、AR,L，L，L，L，L，122112x，y，z， 地辅机的分配情况，如表1所示。 表1 3个基地辅机分配情况及其对应的位置 SSAAAA*212 y nxz R 1 0 1 0 1.5 1 1 2 0 1 1 2.5 1 1 3 1 1 1 2.83 1.33 1 4 1 1 2 3.17 1.33 1 5 1 2 2 3.5 1.33 1.33 5.5 最快到达和最少辅机架数的作战方案 5.5.1 等效作战半径 主机从基地飞到基地，前半段半径由基地辅机提供前进服务，后半段半qqz 程由点提供返航服务，若将、合为一点，则这个过程相当于主机作战半径qzz qzqz为的飞行，定义为等效作战半径。 22 在主机返航时，来迎接主机的辅机不可能是重新起飞的为前进服务的辅机，因为q、不是严格意义上的同一个点，q点返回的飞机来不及飞到去为返航主zz机服务，所以若是采用等效作战半径来解决问题，必须采用问题2中无重复起飞的第1套方案和第2套方案。 5.5.2 最快到达方案 要求最快到达并返回基地，主机必须走AC线段，因为AC线段是A、C两点间最短的距离，若A提供辅机，则由第二套改进方案 11r,k，,AC,K,12 n32 '''n,15781带入，计算得。 n,f(k),1 ，辅机的架数当飞机过G点后，B基地距离主机是最短的，因为若采用方案2的决定因素是辅机飞行最大距离，所以把AC分解为4部分，AG、GH、HM、MC， 11L(k,4)其中AG段由A基地提供辅机，其他段由B基地提供辅机，AG略大于,BG6 1311L(k,5)L(k,4)略大于，BH略大于。 66 ' 所以，n,n，2(n，n，n),这是因为在A基地的辅机只接送主机一AGGHHMMC 个来回，而在B基地的辅机要接2个来回，而且到B基地的距离相比到C的远，不能利用第1个来回的辅机重复完成第2个来回的任务，所以到由B基地辅机服务时的辅机架数都要乘以2。 14 AGA,G时，, R,AG,n,68nAG GHG,H时，, R,BG,n,30nGH HMH,M时， , R,BH,n,30nGH MCM,C时，, R,BM,n,68nMC 于是所需要的辅机数为 n,30，2，(30，30，68),306 5.5.3 最小辅机数方案 A,D,CA,F,C如图4，从A到C有4种途径:1);2);3) A,E,CA,B,C;4) 。 根据前面的计算可知，辅机的数量随主机航程的增加而呈指数形式增长。因此，要减少辅机的数量就要使每个基地的辅机飞行的距离尽量短。途径1中从A到D距离较短，而且两边都是基地，所用的辅机数量较少;从D到C的过程中，只有D基地的辅机给主机加油，D到C的距离很长，所用的辅机数量就多出许多。途径2中主机飞行的距离要比途径1小，但是从A到F，只有A基地的辅机给主机加油，辅机数量相对于A到D的过程要多一些。从F到C，辅机与主机的航线不在一条直线上，辅机的飞行将会浪费很多油，而且F到C的距离也不短，辅机的数量不会比D到C少。所以，前两个途径都不可取。 图 4 飞行路径图 图 5 优选路径 ABD对于途径3，主机从起飞，中途和两个基地的辅机都可以给主机加油， CBBr而更靠近，所以选择用基地的辅机给主机加油。根据前面的计算知增n1LA加时，辅机的数量成倍增加，为了尽量减少辅机的数量，让基地的辅机送3 BB出的距离和基地的辅机第一次给主机加油飞行的距离相等。因为基地的辅机 L不能跟随主机飞行，在后面的航程中，主机每飞行的距离辅机就给主机加一次油，具体方案如图3。 AAEB如图4所示，主机从基地起飞，基地的辅机把主机送到点，同时基 ECEF地的辅机也飞到点给主机加油。加满油的主机沿方向连续飞行，中途在、GCB点由基地的辅机给它加油，到达点后返回，返回时加油的过程和前进方向 15 相反。 11因为计算的方法是按的递增规则来求得，从出发取整数个，LALrnn33 AE,BE,2.17LBF,1.75LBG,1.86LEF,FG,LEG,0.32L解得,,,,。 根据第2套改进方案，从或B到至少需要68架辅机，从B到F至少需AE 要30架，从B到G至少需要30架，主机往返总共需要辅机196架。 对于途径4，主机在A基地辅机的帮助下可以飞到H处，然后由B基地的辅机接到B基地，再由B基地的辅机帮助主机飞到C然后返回。设A基地的辅机送 kkLL12，1，,4个，B基地的辅机接个，则主机从A飞到B要满足条件:，kk123333 k即。根据问题2的结果，辅机数量关于呈指数关系，所以要使辅k，k,9n12 机的数量尽量少就要使、尽量接近，现取，。 kkk,5k,41122 k1L3，,2设从B到C辅机送个，则主机从B飞到C要满足条件:，解k3332得，由于只能取整数，所以取。 k,4.5kk,5333 k,4k,5计算得时需要辅机30架， 时需要辅机68架，而从B基地送主机到C的辅机来不及返回再接主机，所以从B到C再返回B共需要辅机136架。 根据路径4的计算，主机从基地A出发经过B飞到C再原路返回A共需要辅机234架。 A,E,C综上，采用的路径需要的辅机数量最少，为196架。 六 模型评价 模型的优点:(1)在讨论最大作战半径时，引入一个接送距离函数，将奇数和偶数分开讨论，给出由辅机数决定接送距离的函数，这利于找出作战半径的规律。 (2)当rn,,时，求解与的渐进表达式时，我们将所有飞机两两组合，nn L于是相邻的两个加油的距离为,这样便于问题的分析，并用递归数列来求解出3 r与n的渐进表达式，这样得出的渐进表达式是这个方法最优的。 n *A,A(3)在讨论的选址和主机的作战半径时，我们以作战半径最大为目R12n 标函数，飞机数为约束条件的优化模型，并将辅机为是否能整除3来分别进行讨论，贴近实际。 L模型的缺点:的选取有一定的主观性，不一定符合实际。 3 16