武汉艺术生文化课 武昌区华英艺考补习立体几何

武汉艺术生文化课 武昌区华英艺考补习立体几何 2009年高考数学试分类汇编——立体几何 一、选择题 1.(2009年广东卷文)给定下列四个命题: ?若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行; ?若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直; ?垂直于同一直线的两条直线相互平行; ?若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 A(?和? B(?和? C(?和? D(?和? 【】D 【解析】?错, ?正确, ?错, ?正确.故选D (2009广东卷理)给定下列四个命题: 2. ?若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行; ?若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直; ?垂直于同一直线的两条直线相互平行; ?若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直( 其中，为真命题的是 A. ?和? B. ?和? C. ?和? D. ?和?【解析】选D. ABCABC,BBCC3.(2009浙江卷理)在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的D11111 BBCC中心，则与平面所成角的大小是 ( ) AD11 30456090A( B( C( D(答案:C ？,AEDEBBCCBBCC【解析】取BC的中点E，则面，，因此与平面所成角即为AE,AD1111 a30，ADEABa,tan3,60，,？，,ADEADEDE,，设，则，，即有(AEa,22 ,,,l4.(2009浙江卷文)设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是( ) l,,,,,,l,,l//,//,,,l,,A(若，则 B(若，则 l,,,,,//l,,l//,,,,,l,,C(若，则 D(若，则 l//,4(C 【解析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的( ABCDABCD,ABAC5.(2009北京卷文)若正四棱柱的底面边长为1，与底面ABCD成60?角，则1111111到底面ABCD的距离为 ( ) 332A( B( 1 C( D(【答案】D 3 【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. 属于基础知识、基本运算的考查. ::，,BAB60BB,，,1tan603 依题意，，如图，，故选D. 11 ABCDABCD,ABABCD6.(2009北京卷理)若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60?角，11111 ACABCD则到底面的距离为 ( ) 11 3 A( B(1 3 23C( D(【答案】D 【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、 直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. (第4题解 答图) 属于基础知识、基本运算的考查. ::，,BAB60BB,，,1tan603 依题意，，如图，，故选D. 11 7. (2009山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). 2323223,，423,，A. B. C. D. ,，,，2433【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 2 2 2,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面 212332边长为，高为，所以体积为 ，，,23，，33 232 所以该几何体的体积为.答案:C ,，23 【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 2 2 侧(左)视图 正(主)视图 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积. 8. (2009山东卷理)已知α，β示两个不同的平面，m为平面α内的 ,,,m,,一条直线，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 俯视图 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的 m,,,,,,,,m,,一条直线,,则,反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件.答案:B. ,,,m,,9. (2009山东卷文)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 m,,,,,【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,,则,反过来则不一 ,,,m,,定.所以“”是“”的必要不充分条件答案:B. ABCDABCD,AAAA10.(2009全国卷?文) 已知正四棱柱中，=，为重点，则异面直E2AB111111 CD线与所形成角的余弦值为 BE1 1031013(A) (B) (C) (D) 答案:C 551010 解析:本题考查异面直线夹角求法，一:利用平移，CD’?BA',因此求?EBA'中?A'BE即可，易知 310EB=,A'E=1,A'B=,故由余弦定理求cos?A'BE=，或由向量法可求。 2510 11.(2009全国卷?文)设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45?角的平面截球O的表面得 ,7到圆C。若圆C的面积等于，则球O的表面积等于 × 答案:8π 4 7,224S,4,R,4,(4),8,.解析:本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由 14, ABCABC,AABC12.(2009全国卷?理)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影1111 BCCC为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为( D )AB1 3573(A) (B) (C) (D) 4444 BCA,，AABCC,解:设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦AB111 ADAD3定理，易知.故选D,,，，,,,,csoscosAADDABco1AAAB41 C 1AB 11 C D BA o 60313.(2009全国卷?理)已知二面角α-l-β为，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q 23到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为( C ) 23(A) (B)2 (C) (D)4 QAAAClCPBB,,,,,于于于,,,解:如图分别作 PDlD,于CQBDACQPBD,60,则，,，,:，连 ？,,ACPD2AQBP,,23,3， 222PQAQAPAP,，,，,1223又 AP,0点与点AP当且仅当，即重合时取最小值。故答案选C。 PQMNABCD14.(2009江西卷文)如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为 ((A ACBD,ACPQMN. . ?截面 AB NCACBD,45. . 异面直线与所成的角为答案:C DPMBD DPPQACQMPQQMAC【解析】由?，?，?可得?，故BDBDAM PQACACPQMN正确;由?可得?截面，故正确; BBQC PN异面直线与所成的角等于与所成的角，故正确; PMBDPMD CC综上是错误的，故选. COxOyABCD15.(2009江西卷理)如图，正四面体的顶点，，分别在两两垂直的三条射线，，ABOz上，则在下列命题中，错误的为 (( OBACDOABC,A(是正三棱锥 B(直线?平面 OB45DOBA,,45C(直线与所成的角是为答案:D(二面角AD B 【解析】将原图补为正方体不难得出B为错误，故选B z C D OBy Ax P,ABCDEF16.(2009四川卷文)如图，已知六棱锥的底面是正六边形， PA,平面ABC,PA,2AB则下列结论正确的是 PB,AD A. 平面PAB,平面PBC B. BC平面PAE C. 直线? PD与平面ABC D. 直线所成的角为45?【答案】D 【解析】?AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB?平面PAE，所以 BC平面PAB,平面PBC平面PAE也不成立;BC?AD?平面PAD, ?直线?也不成立。在 Rt,PAD中，PA,AD,2AB，??PDA,45?. ?D正确 A、B、C，ABCBA,BC17.(2009四川卷文)如图，在半径为3的球面上有三点，=90?，, 32ABCB、C 球心O到平面的距离是，则两点的球面距离是 2 ,4 A. B. D.2【答案】B C. ,,, 33 【解析】?AC是小圆的直径。所以过球心O作小圆的垂线，垂足O’是AC的中点。 3232222 O’C,，AC,3，?BC,3，即BC,OB,OC。?3(),,22 ,,B、C，则两点的球面距离, ，BOC,，3,,33 ABCDABCD,AAAB,2，AA18.(2009全国卷?理)已知正四棱柱中，为中点，则异面直E111111 CD线与所成的角的余弦值为 BE1 3101013 A. B. C. D. 551010 AB,1AA,2ABCDABCDAB解:令则,连? 异面直线与所成的角即 ？BE111111 310,ABE与所成的角。在中由余弦定理易得。故选C BEcos，,ABE1110 19.(2009辽宁卷理)正六棱锥P,ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D,GAC与三棱锥P,GAC体积之比为 E D (A)1:1 (B) 1:2 (C) 2:1 (D) 3:2 【解析】由于G是PB的中点,故P,GAC的体积等于B,GAC的体积 F C H 3 在底面正六边形ABCDER中BH,ABtan30?,AB 3 B A 3 而BD,AB 故DH,2BH 于是V,2V,2V【答案】C D,GACB,GACP,GAC ABCDABCD,20.(2009宁夏海南卷理) 如图，正方体的棱线长1111 2BD为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论EF,112 中错误的是 ACBE,(A) EFABCD//平面(B) ABEF,(C)三棱锥的体积为定值 AEBF,D)异面直线所成的角为定值 ( ACDDBBACBE,,平面，从而;解析:A正确，易证B显然正确，11 EFBDEFABCD//,//？平面易证;C正确，可用等积法求得;D错误。选D. 2m21.(2009宁夏海南卷理)一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位:c)为 2222(A)48+12 (B)48+24 (C)36+12 (D)36+24解析:选A. 0022.(2009湖北卷文)如图，在三棱柱ABC-ABC中，?ACB=90,?ACC=60,?1111 0BCC=45,侧棱CC的长为1，则该三棱柱的高等于11 21A. B. 22 33C. D. 23 【答案】A 【解析】过顶点A作底面ABC的垂线，由已知条件和立体几何线面关系易求得高的长. ABCDABCD,CC23.(2009湖南卷文)平面六面体中，既与共面也与共面的棱的条数为【 C 】 AB11111 A(3 B(4 C(5 D(6 D1C1 B1A1DC ABBCCDCDBBAA解:用列举法知合要求的棱为、、、、故选C. 1111 06024.(2009辽宁卷文)如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为 (A)0.8 (B)0.75 (C)0.5 (D)0.25 1060【解析】设地球半径为R,则北纬纬线圆的半径为Rcos60?,R 2 060 而圆周长之比等于半径之比,故北纬纬线长和赤道长的比值为0.5.【答案】C ABCABC,AABC25.(2009全国卷?文)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影1111 BCCC为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 AB1 3573(A) (B) (C) (D) 4444 BCA,，AABCC,解:设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦AB111 ADAD3定理，易知.故选D ,,，，,,,,csoscosAADDABco1AAAB41 P,ABCDEF26.(2009四川卷文)如图，已知六棱锥的底面是正六边形， PA,平面ABC,PA,2AB则下列结论正确的是 PB,AD A. 平面PAB,平面PBC B. BC平面PAE C. 直线? PD与平面ABC D. 直线所成的角为45?【答案】D 【解析】?AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB?平面PAE，所以 BC平面PAB,平面PBC平面PAE也不成立;BC?AD?平面PAD, ?直线?也不成立。在Rt,PAD中，PA,AD,2AB，??PDA,45?. ?D正确 A、B、C，ABCBA,BC27.(2009四川卷文)如图，在半径为3的球面上有三点，=90?，, 32ABCB、C 球心O到平面的距离是，则两点的球面距离是 2 , A. B. ,3 4 C. D.2【答案】B ,,3 【解析】?AC是小圆的直径。所以过球心O作小圆的垂线，垂足O’是AC的中点。 3232,222 O’C,，AC,3，?BC,3，即BC,OB,OC。?，则3()，BOC,,,322 ,B、C两点的球面距离, ，3,,3 228.(2009陕西卷文)若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 2232(A) (B) (C) (D) 答案:B. 3633 解析:由题意知 以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体(即两个同底同高同棱长的正四棱锥)， 2所有棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为，故正八面体的体积为2 1222, 故选B. VV,，，，2=21=正四棱锥323 ABCDABCD,BD29.(2009宁夏海南卷文) 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，111111 1F，且，则下列结论中错误的是 EF,2 ACBE, (A) EFABCD//平面(B) ABEF, (C)三棱锥的体积为定值 ,,AEFBEF的面积与的面积相等 (D)【答案】D ACDDBBACBE,,平面，从而;【解析】可证故A正确，11 ABEF,BDEFABCD//平面由?平面ABCD，可知，B也正确;连结BD交AC于O，则AO为三棱锥11 1111122ABEF,,，，1,，，,的高，，三棱锥的体积为为定值，C正确;D错误。S,BEF22434224 选D. 2cm30.(2009宁夏海南卷文)一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位:)为 48122，48242， (A) (B) 36122，36242， (C) (D)【答案】A 【解析】棱锥的直观图如右，则有PO,4，OD,3，由勾股定理，得PD 11122,5，AB,6，全面积为:×6×6，2××6×5，×6×222 24,48，12，故选.A。 ABCDC31.(2009湖南卷理)正方体ABCD—的棱上到异面直线AB，C的距离相等11111 ) 的点的个数为(C A(2 B(3 C. 4 D. 5【答案】:C BD【解析】解析如图示，则BC中点，点，点，点分别到两异面直线的距离D11 相等。即满足条件的点有四个，故选C项。 PABCDEF,32.(2009四川卷理)如图，已知六棱锥的底面是正六边形，PAABCPAAB,,平面,2，则下列结论正确的是 PBAD,,. PABPBC,平面,.平面 BCC. 直线?平面 PAE :直线与平面所成的角为PDABC45,. 【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系，基础题。(同文6) GAG,PB解:由三垂线定理，因AD与AB不相互垂直，排除A;作于， PAB,因面面ABCDEF，而AG在面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂直，故排除B;由 BC//EF，而EF是平面PAE的斜线，故排除C，故选择D。 PAAD,ADaPAABa,,,2,22ABC解析2:设低面正六边形边长为，则，由平面可知，PA,a :RtPAE,45且，所以在中有直线与平面所成的角为，故应选D。 PAADPDPAE ABC,,33.(2009四川卷理)如图，在半径为3的球面上有三点， 32:OABCBC、，,,ABCBABC90,，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是 2 ,4,2,A. B. C. D. ,33 解析:由知截面圆的半径 18322,BC、，故，所以两点的球面距离为，BOC,r,9,,,BC,,32,33422 ,，故选择B。 3,,,3 OABC，,ABCBABC,AC解析2:过球心作平面的垂线交平面与，，则在直线上，由于DD 323222,ABCAC,32，，所以，由为等腰直角三角形可得OD,CDOCOD,,,22 ,BC,3,OBCBC,，所以为等边三角形，则两点的球面距离是。 ，33 0,,,,l5034.(2009重庆卷理)已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和PP, 0,25平面所成的角都是的直线的条数为( ) A(2 B(3 C(4 D(5【答案】B 0，AFE50FGFGAFE为，【解析】是度数为的二面角的一个平面角，的平分线，当过P的直线与平行时，满足条件，当过点p的直线与AD平行，也是满足条件直线，与AD直线类似，过点的直线与 BE平行也是满足条件得共有3条。 ABCDABCD,BBDABCD35.(2009重庆卷文)在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距11111111 hd离分别为和，则下列命题中正确的是( ) h(0,1)A(若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为 d 223hB(若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为 (,)d23 23hC(若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为 (,2)d3 23hD(若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为【答案】C (,)，,d3 ,,(0),BBHBDBGAB,,,解析;设底面边长为1，侧棱长为，过作。 11111 2RtBBD,BDBD,,，2,2,在中，，由三角形面积关系得 11111 ,BDBB2,111BCABBCBB,,,设在正四棱柱中，由于， hBH,,,112BD2，,1 BC,AABBBCBG,BG,ABCDBG所以平面，于是，所以平面，故为点到平面1111111 ABBB,,111ABCDRtABB, 的距离，在中，又由三角形面积关系得dBG,,,111112AB1，,1 2h211,，,,,1于是，于是当，所以,,,,2122d，2,，2, 21h232，所以,，,,,,,(,1)23,112，d3,32 二、填空题 1.(2009浙江卷理)若某几何体的三视图(单位:)如图所cm 3cm示，则此几何体的体积是 (答案:18 1339，，,【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为， 3319，，,上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18 AB,2ABCD2.(2009浙江卷理)如图，在长方形中，， DCECBC,1，为的中点，为线段(端点除外)上一EF ,AFDABD,ABC动点(现将沿折起，使平面平面(在AF DKAB,AKt,平面内过点作，为垂足(设，ABDDK 则的取值范围是 ( t 1,,答案: 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F,1,,2,, t,1位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因 CBABCBDKCB,,？,,,CBBD,平面，即有，对于ADB ADAB,,1,2CDBCBD,,？,2,1,3，又，因此有 11,,ADBD,，则有，因此的取值范围是 ,1t,t,,22,, 3cm3.(2009浙江卷文)若某几何体的三视图(单位:)如图所示，则此几何体的体积是 ( cm 1339，，,3319，，,【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因 此其几何体的体积为18 4.(2009江苏卷)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1:2，则它们的面积比为1:4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1:2，则它们的体积比为 . 【解析】 考查类比的方法。体积比为1:8 ,5.(2009江苏卷)设和为不重合的两个平面，给出下列命题:, ,l,(1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于;(2)若外一条直线与内,,,, lll,,的一条直线平行，则和平行;(3)设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂,,,, ll直;(4)直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。,, 上面命题中，真命题的序号 (写出所有真命题的序号).真命题的序号是(1)(2) (((((( ABCABC,的各顶点都在同一球面上，若6.(2009全国卷?理)直三棱柱111 ABACAA,,,2，,:BAC120,，则此球的表面积等于 。 1 ,ABCABAC,,2，,:BAC120,ABCBC,23解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半 ,,OORTOBO,R,5径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为 2420,,R,. 7.(2009安徽卷理)对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________ (写出所有正确命题的编号)。 12?相对棱AB与CD所在的直线异面;?由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点; , 34?若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面;?分别作三组相对棱中点的连线，所,, 得的三条线段相交于一点;?5最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。 [解析]??? 8.(2009安徽卷文)在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________。 222My(0,,0)y,,1M(0,1,0),141(3)1，，,，,,，yy【解析】设由可得故 【答案】(0,-1，0) 9.(2009安徽卷文)对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)。 ?11相对棱AB与CD所在的直线是异面直线;?22由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点;?33若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合;?44任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积;?55分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点。 【解析】由空间四面体棱,面关系可判断???正确,可举例说明??错误.【答案】??? AB,ABCABC,10.(2009江西卷理)正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正2,111 8三棱柱的体积为 (答案: 23,OABCAB,22【解析】由条件可得AOB，所以，到平面的距离为，所以所求体积等，,23 8于( ABCABC,CC11.(2009四川卷文)如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则M1111 ABBM和异面直线所成的角的大小是 。【答案】90? 1 【解析】作BC的中点N，连接AN，则AN?平面BCCB， 11 连接BN，则BN是AB在平面BCCB的射影， 11111 ABBM和?BN?BM，?AB?BM.即异面直线所成的角的大小是90? 111 OAOOAOA12.(2009全国卷?理)设是球的半径，是的中点，过且与成MM 7,OCCO45?角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于，则球的表面积4 8,等于 . ,7722C解:设球半径为，圆的半径为， 由,,,,得rR4rr.44 22R21722222R,2O 因为。由得.故球的表面积等OCR,,,RRrR,，,，()224484 8,于. 13.(2009辽宁卷理)设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单 位为m)。 3m 则该几何体的体积为 【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的 1高为3, 体积等于×2×4×3,4【答案】4 6 OAOOA14.(2009全国卷?文)已知为球的半径，过的中 OA3,O点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于MMM__________________. R2222,r,3,r,3解:设球半径为，圆M的半径为，则，即由题得，所以R,(),3rR2 22R,4,4,R,16,。 ABCABC,CC15.(2009四川卷文)如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则M1111 ABBM和所成的角的大小是 。【答案】90? 异面直线1 【解析】作BC的中点N，连接AN，则AN?平面BCCB，连接BN，则BN是AB在平11111 ABBM和面BCCB的射影，?BN?BM，?AB?BM.即异面直线所成的角的大小11111 是90? OOO,216.(2009陕西卷文)如图球O的半径为2，圆是一小圆，，A、B11 ,2,O，AOB是圆上两点，若=，则A,B两点间的球面距离为 .答案: 1123 OAOB,OO,2圆O解析:由,=2由勾股定理在中 11 1 O,，AOBOAOB,,2,AOB中则有, 又= 则 所以在， AB,2111A B 2 O ;OAOBAB,,,2,AOB为等边三角形，,AOB60，则，那么 ,,2lrr,,()为半径由弧长公式得. ABlr两点间的球面距离,,，,,2,AB3317.(2009湖南卷理)在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则 (1)球心到平面ABC的距离为 12 ; (2)过,，B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为(锐角)的正切值为 3 ABC,,,ABC【解析】(1)由的三边大小易知此三角形是直角三角形，所以过三点小圆的直径即为10， 222dd，,513d,12也即半径是5，设球心到小圆的距离是，则由，可得。(2) ABCOAB,O设过三点的截面圆的圆心是中点是点，球心是点，则连三角形D1 OOD，ODO，易知就是所求的二面角的一个平面角，11 ABOO12221，所以，即正切值是3。ODOA,,,()4，,,,ODO31112OD41 ABCABC,CC19.(2009四川卷理)如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧 棱的中点，M1111 ABBM和则异面直线所成的角的大小是 。 1 AN,BNBCBNABBC取BC中点N，连结，则面，?是在面上的射影，由几何知识知11111 oBN,BMAB,BM90，由三垂线定理得，故填写 11 ABCDABCD,BD20.(2009年上海卷理)如图，若正四棱柱的底面连长为2，高 为4，则异面直线11111 与AD所成角的大小是______________(结果用反三角函数表示). arctan5【答案】 【解析】因为AD?AD，异面直线BD与AD所成角就是BD与AD所在角，即?ADB， 11111111 55arctan5由勾股定理，得AB,2，tan?ADB,，所以，?ADB,。 11111 RRRR，2R,3RSS21.(2009年上海卷理)已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，，12123123SSSS，,23，满足的等量关系是___________.【答案】 3123 S12S,4RS,2,R,S,2,RS,2,R【解析】，，同理:，即R,，R12112233112, SS32R，2R,3RSSS，,23,，R,，由得 31231232,2, 三(解答题 2.(2009广东卷理)(本小题满分14分) ABCDABCD,如图6，已知正方体的棱长为2，点是正方形E1111z BCCBGCDAA,EG,的中心，点、分别是棱的中点(设点分F1111111 EG1 1 GDCCD别是点，在平面内的正投影( E11 FGAEDCCD(1)求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为E11y 底面边界的棱锥的体积; x FG,FEE(2)证明:直线平面; 11 EGEA与(3)求异面直线所成角的正弦值.. 11 PAC,ABC,ABC3.(2009浙江卷理)(本题满分15分)如图，平面平面， ACEFO,,是以为斜边的等腰直角三角形，分别为， PA ACAC,16PAPC,,10，的中点，，( PB GOCBOEFG// (I)设是的中点，证明:平面; FM,,ABOBOEOAOB (II)证明:在内存在一点，使平面，并求点到，的距离( MM DC,ABCEBDC//4.(2009浙江卷文)(本题满分14分)如图，平面，， PQ,AEAB,PQ//ACBCEBDC,,,,22，,ACB120，，分别为的中点((I)证明:平ACD面;(II)求与平面所成角的正弦值( ADABE 1,ABEDP,CQP,QAE,AB(?)证明:连接， 在中，分别是的中点，所以， 又PQ//BE,,2 1PQ,PQ//，所以PQ//DC，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD DC//BE,,,,,2 AC,BC,2,AQ,BQCQ,AB,ABC(?)在中，，所以 EB//DC 而DC平面ABC，，所以平面ABC ,EB, CQ, 而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE EB,, DP//CQ由(?)知四边形DCQP是平行四边形，所以 所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP， DP, ，DAP 所以直线AD与平面ABE所成角是 2222Rt,APDAD,AC，DC,2，1,5 在中， ， DP15DP,CQ,2sin，CAQ,1sin，DAP,,,所以 AD55 5.(2009北京卷文)(本小题共14分) PABCD,PDABCD,底面如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱 AECPDB,平面PB上.(?)求证:平面; PDAB,2(?当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小. 【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力( (?)?四边形ABCD是正方形，?AC?BD， PDABCD,底面AECPDB,平面?，?PD?AC，?AC?平面PDB，?平面. (?)设AC?BD=O，连接OE，由(?)知AC?平面PDB于O，??AEO为AE与平面PDB所的角，?O，E分 1PDABCD,底面别为DB、PB的中点，?OE//PD，，又?，?OE?底面ABCD，OE?AO， OEPD,2 12:，,AOE45在Rt?AOE中，， ?，即AE与平面PDB所成的角的大小OEPDABAO,,,22 :45为.6.(2009北京卷理)(本小题共14分) ::PABC,ABCPAABABCBCA,,60,90,，,，,如图，在三棱锥中，底面， PA, PBPC,DEBC//，分别在棱上，且 点DE BC,PAC(?)求证:平面; PAC(?)当为的中点时，求与平面所成的角的大小; DADPB ADEP,,(?)是否存在点使得二面角为直二面角,并说明理由. E (?)?PA?底面ABC，?PA?BC. :，,BCA90，?AC?BC.?BC?平面PAC. 又 1(?)?D为PB的中点，DE//BC，?， DEBC,2 又由(?)知，BC?平面PAC，?DE?平面PAC，垂足为点E.??DAE是AD与平面PAC所成的角， 1?PA?底面ABC，?PA?AB，又PA=AB，??ABP为等腰直角三角形，?， ADAB, 2 1:，,ABC60?在Rt?ABC中，，?. BCAB,2 DEBC2?在Rt?ADE中，， sin，,,,DAEADAD24 2PAC?与平面所成的角的大小. ADarcsin4 (?)?AE//BC，又由(?)知，BC?平面PAC，?DE?平面PAC， ADEP,,又?AE平面PAC，PE平面PAC，?DE?AE，DE?PE，??AEP为二面角的平面角， ,, ::，,PAC90，,AEP90?PA?底面ABC，?PA?AC，?.?在棱PC上存在一点E，使得AE?PC，这时， ADEP,,故存在点E使得二面角是直二面角. 7.(2009山东卷理)(本小题满分12分) 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, 11111 DC1 1 E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。 11A1 B1 (1) 证明:直线EE//平面FCC; 11 D EC 1 (2) 求二面角B-FC-C的余弦值。 1E A B F 解法:(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中，取AB的中点F， 1111111 连接AD，CF，CF，因为AB=4, CD=2,且AB//CD， 1111 DC1 1 //所以CD=AF，AFCD为平行四边形，所以CF//AD， 111111A F1 1B1 又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE//AD， 1111PD EC 1 OE A B F EE,CF,所以CF//EE，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE//平面FCC. 11111111 (2)因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,?BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB?CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC?平面ABCD,所以CC?BO,所以OB?平面CCF,过O在平面CCF内作11111111 OB,3OP?CF,垂足为P,连接BP,则?OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在?BCF为正三角形中,,11 OPOF12在Rt?CCF中, ?OPF??CCF,??, 11,OP,，,222CCCF21122， 2 114OP7222在Rt?OPF中,,,所以二面BPOPOB,，,，,3cos，,,,OPB22BP714 2 7A1 角B-FC-C的余弦值为. 1C1 7 B1 8.(2009全国卷?文)(本小题满分12分) D E 如图，直三棱柱ABC-ABC中，AB?AC,D、E分别为AA、BC的中点，DE?平面BCC 111111(?)证明:AB=AC A C (?)设二面角A-BD-C为60?,求BC与平面BCD所成的角的大小 1 B 解析:本题考查线面垂直证明线面夹角的求法，第一问可取BC中点F，通过证明AF?平面BCC,再证AF为1BC的垂直平分线，第二问先作出线面夹角，即证四边形AFED是正方形可证平面DEF?平面BDC，从而找到线面夹角求解。此题两问也可建立空间直角坐标系利用向量法求解。 1BB解法:(?)取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA。 12 BCCBCC连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE?平面，故AF?平面，从而AF?BC，即11AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。 (?)作AG?BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG?BD，故?AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题 20.222设知，?AGC=60.设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。 3 2222ABADAGBD,,,由得2AD=，解得AD=。 .2AD， 3 故AD=AF。又AD?AF，所以四边形ADEF为正方形。 因为BC?AF，BC?AD，AF?AD=A，故BC?平面DEF，因此平面BCD?平面DEF。 连接AE、DF，设AE?DF=H，则EH?DF，EH?平面BCD。 BC与平面BCD所成的角。 连接CH，则?ECH为1 12因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC==2， BC12 00BC所以?ECH=30，即与平面BCD所成的角为30. 1 9.(2009江苏卷)(本小题满分14分) ABCABC,AB如图，在直三棱柱中，分别是、EF1111、 ACBCADBC,的中点，点在上，D11111。 求证:(1)EF?平面ABC; AFDBBCC(2)平面平面.,111 10.(2009全国卷?理)(本小题满分12分) SABCD,ABCDSD,ABCD如图，四棱锥中，底面为矩形，底面， ，ABMDCSD,,2SCAD,2，点M在侧棱上，=60? SC(I)证明:M在侧棱的中点 SAMB,,(II)求二面角的大小。 MNSDCDNEAB,(I)解法一:作?交于N，作交于E， AB MEAB,MN,ABCDNEAD,,2连ME、NB，则面，, MNx,NCEBx,,设，则, RTMEB,，,:MBE60？,MEx3中，。 在 22222RTMNE,MENEMN,，？,，32xx在中由 1x,1SC解得，从而 M为侧棱的中点M. ？MNSD,2 CD解法二:过作的平行线. M (II)分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。 MJCDSDJSHAJ,AJ过作?交于,作交于,MHHKAM,JMCDJM,SAD作交于,则?,面,面AMK SADSH,，SKH面,面即为所求二面角的补？,MBAAMB 角. 分析二:利用二面角的定义。在等边三角形中过点作ABMBBFAM,GFAM,，GFB交于点，则点为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证，则AMFF 即为所求二面角. 另外:利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等，这些方法也能奏效。 11.(2009安徽卷理) 2如图，四棱锥F,ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1， CF=2. (I)求二面角B,AF,D的大小; (II)求四棱锥E,ABCD与四棱锥F,ABCD公共部分的体积. 解:(I)(综合法)连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF， ,G为垂足。连接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。 ,,,,于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD为二面角B,AF,D 的平面角。 ，,,, ,22FCAC,FCAC,,2FAC由， ，得，由，,OG,OBOGOBOD,,,,422 ,得 ，,，,BGDBGO22 (II)连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四 棱锥H-ABCD。 过H作HP?平面ABCD，P为垂足。 PACHPAC,,,.因为EA?平面ABCD，FC?平面ABCD，，所以平面ACFE?平面ABCD，从而 HPHPAPPC2由得。 ，,，,1,HP,3CFAEACAC 1122又因为故四棱锥H-ABCD的体积 SACBD,,,VSHP,,,2,.菱形ABCD菱形ABCD23913.(2009安徽卷文)(本小题满分13分) 如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，g和F式l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC， 和是平面ABCD内的两点，和 都与平面ABCD垂直， (?)证明:直线垂直且平分线段AD: (?)若?EAD=?EAB=60?，EF=2，求多面体ABCDEF的体积。 EDABCDEDEC''',？,面【解析】(1)由于EA=ED且 点E在线段AD的垂直平分线上,同理点F在线段BC的垂直平分线上. ？'' 又ABCD是四方形 线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线 ？ 即点EF都居线段AD的垂直平分线上. '' 所以,直线EF垂直平分线段AD. '' (2)连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥E—ABCD和正四面体E—BCF两部分.设AD中点为M, MEEE,？,3'2在Rt?MEE中,由于ME=1, . '' 11422？V—ABCD ,,,,，，,SABCDEE'22E四方形333 111222V又—BCF=V,BEF=V,BEA=V,ABC ,,,，，，,SEECCE'22EABC3323 22多面体ABCDEF的体积为V—ABCD，V—BCF= ？EE 14.(2009江西卷文)(本小题满分12分) PAAD,,4AB,2PABCD,ABCDABCD如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，(以PA, O的中点为球心、为直径的球面交于点( BDBDPDM PPCD(1)求证:平面?平面; ABM PC(2)求直线与平面所成的角; ABM O(3)求点到平面的距离( ABMM解:(1)证:依题设，,在以,,为直径的球面上，则,,?,,. 因为,,?平面,,,,，则,,?,,，又,,?,,， DA所以,,?平面,,,，则,,?,,，因此有,,?平面,,,，所以平面,, zO,?平面,,,. PBC(,)设平面,,,与,,交于点,，因为,,?,,，所以,,?平面,, M,，则,,?,,?,,，由(1)知，,,?平面,,,，则MN是PN在平面 PC，PNMABM上的射影，所以 就是与平面所成的角， ABM NDA，,，PNMPCD且 y PDarctan22 所求角为 tantan22，,，,,PNMPCDDCO B(3)因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离Cx的一半，由(1)知，,,?平面,,,于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离. PAAD,,4PDAM,DM,22因为在Rt?PAD中，，，所以为中点，，则O点到平MPD 2面ABM的距离等于。 15.(2009江西卷理)(本小题满分12分) PAAD,,4AB,2PABCD,ABCDABCDAC在四棱锥中，底面是矩形，平面，，. 以PA, OACPCN的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点. PDM PCD(1)求证:平面?平面; ABMP CDACM(2)求直线与平面所成的角的大小; NMNACM(3)求点到平面的距离. 解:方法一:(1)依题设知，AC是所作球面的直径，则AM?MC。 DA又因为P A?平面ABCD，则PA?CD，又CD?AD， 所以CD?平面,,,，则CD?AM，所以A M?平面PCD， O B所以平面ABM?平面PCD。 C AMPD,PAAD,(2)由(1)知，，又，则是的中点可得 MPD 22AM,22，MCMDCD,，,23 1则 SAMMC,,26,ACM2 hVV,268h,设D到平面ACM的距离为，由即， DACMMACD,, 26可求得， h,3 h66,设所求角为，则，。 ,,,,,sinarcsinCD33 PNPA8NCPC:5:9,(1) 可求得PC=6。因为AN?NC，由，得PN。所以。 ,,3PAPC 5。 故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的9 5106又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由(2)可知所求距离为。 h,92716.(2009湖北卷理)(本小题满分12分)(注意:在卷上作答无效) ((((((((( ADa,2 如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，, DEa,,,,,(02)点E是SD上的点，且 ACBE,,,(0,2](?)求证:对任意的，都有 ,(?)设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，,tantan1,,g,若，求的值, 18.(?)证法1:如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC?BD。 SD?平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC?BE ？？ (?)解法1:如图1，由SD?平面ABCD知，?DBE= , , SD?平面ABCD，CD平面ABCD, SD?CD。 ,？ 又底面ABCD是正方形， CD?AD，而SD AD=D，CD?平面SAD. ？, 连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE?AE于F，连接CF，则CF?AE， ,故?CDF是二面角C-AE-D的平面角，即?CDF=。 DE,,a在Rt?BDE中，BD=2a，DE= ？,,tan,BD2 2ADaDEaAEa,,？,，2,,2,,在Rt?ADE中, ADDEa,2,从而 DF,,2AE，2, 2CD,，2RtCDF,tantan1,,,,在中，由，得tan,,,DF, 2,,，222,,(0,2],,2.由，解得，即为所求. .1222,,，,,,,,2, 20.(2009全国卷?理)(本小题满分12分) ABACD,,ABCABC,AABC 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面EDE,11111BCC 1 ABAC,(I)证明: ABDC,,BCBCD(II)设二面角为60?，求与平面所成的角的大1 小。 ABCABC,？，,:BBC90,(I)分析一:连结BE，为直三棱柱， 1111 BC？,BEECBCC为的中点，。又平面， EDE,11 ABC？,BDDC(射影相等的两条斜线段相等)而平面， DA, ？,ABAC(相等的斜线段的射影相等)。 AFEDBCAFBC,分析二:取的中点，证四边形为平行四边形，进而证?，，得FAFDE ABAC,也可。 BCBCDBBDC(II)分析一:求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。 11 GGCAGBD,GCBD,，AGCABDC,,作于，连，则，为二面角的平面角， RTABD,AGGC,,2,4，,:AGC60AC,23.不妨设，则.在中，由 ADABBDAG,,,AD,6，易得. BBDChBCBCD 设点到面的距离为，与平面所11 11成的角为。利用，可求得SDESh,,,,,,BBCBCD133 h1h,23BC,43，又可求得 ,,,,？,:sin30.1BC21 BCBCD30.:即与平面所成的角为 1 BCBCDBCAFED,面分析二:作出与平面所成的角再行求解。如图可证得，所以面1 AFEDAFEDBDC,面AEDF、O。由分析一易知:四边形为正方形，连，并设交点为，则EOBDC,面？OCECBDC？，ECO即为所求，为在面内的射影。。以下略。 21.(2009辽宁卷理)(本小题满分12分) 如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 。 (I)若平面ABCD ?平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦; (II)用反证法证明:直线ME 与 BN 是两条异面直线。 (18)(I)解法一: 取CD的中点G，连接MG，NG。设正方形ABCD，DCEF的边长为2， 则MG?CD，MG=2，NG=.因为平面ABCD?平面DCED，所以MG?平面DCEF，可得?MNG是MN与平2 66面DCEF所成的角。因为MN=，所以sin?MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦3 值 „„6分 (?)假设直线ME与BN共面， „„8分 则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN , 由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。 , 又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线， 所以AB//EN。 又AB//CD//EF， 所以EN//EF，这与EN?EF=E矛盾，故假设不成立。 所以ME与BN不共面，它们是异面直线. „„12分 22.(2009宁夏海南卷理)(本小题满分12分) 2如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。 (?)求证:AC?SD; (?)若SD?平面PAC，求二面角P-AC-D的大小 (?)在(?)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE?平面PAC。若存在，求SE:EC的值;若不存在，试说明理由。 解法一: SOAC,ACBD, (?)连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，，所以ACSBD,平面ACSD,,得. 20OP，,SOD60SDa,2(?)设正方形边长，则。又，所以,连，由(?)知ODa,a2 ACSBD,平面ACOP,ACOD,，PODPACD,,,所以,且,所以是二面角的平面角。 00SDPAC,平面SDOP,，,POD30PACD,,30由,知,所以,即二面角的大小为。 BEPAC//平面(?)在棱SC上存在一点E，使 2SPNNPCSCPNPD,由(?)可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点PDa,4 BDNBNPO//NEPC//BENPAC//平面即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得E BEPAC//平面SNNP::,21SEEC::,21,由于,故. 23.(2009湖北卷文)(本小题满分12分) 如图，四棱锥S,ABCD的底面是正方形，SD?平面ABCD,SD,AD ,,,a,点E是SD上的点，且DE,a(0