求连续自然数平方和的公式求连续自然数平方和的公式
前面,在“求连续自然数立方和的公式”一中,介绍了用列表法推导公式
的过程。这种方法浅显易懂,有它突出的优越性。在“有趣的图形数”一文中,
也曾经用图形法推出过求连续自然数平方和的公式:
n(n,1)(2n,1)22221,2,3„,n, 6
这里用列表法再来推导一下这个公式,进一步体会列表法的优点。 首先,算出从1开始的一些连续自然数的和与平方和,列出下表:
n 1 2 3 4 5 6 „„
,2,3,„,n 1 1 3 6 10 15 21 „„
22221,2,3,„,n 1 5 14 ...
求连续自然数平方和的公式
前面,在“求连续自然数立方和的公式”一中,介绍了用列
法推导公式
的过程。这种方法浅显易懂,有它突出的优越性。在“有趣的图形数”一文中,
也曾经用图形法推出过求连续自然数平方和的公式:
n(n,1)(2n,1)22221,2,3„,n, 6
这里用列表法再来推导一下这个公式,进一步体会列表法的优点。 首先,算出从1开始的一些连续自然数的和与平方和,列出下表:
n 1 2 3 4 5 6 „„
,2,3,„,n 1 1 3 6 10 15 21 „„
22221,2,3,„,n 1 5 14 30 55 91 „„ 然后,以连续自然数的平方和为分子,连续自然数的和为分母,构成分数
22221,2,3,?,nA,, n1,2,3,?,n
再根据表中的数据,算出分数A的值,列出下表: n
n 1 2 3 4 5 6 „„
571113A 1 3 „„ n3333
2n,1观察发现,A的通项公式是。 n3
22221,2,3,?,n2n,1既然A,而它的通项公式是,于是大胆猜想 ,n1,2,3,?,n3
22221,2,3,?,n2n,1,。 1,2,3,?,n3
n(n,1)因为分母1,2,3,„,n,, 所以 2
22221232n,1,,,?,n,。 (1)nn,3
2
由此得到
n(n,1)n(n,1)(2n,1)2n,122221,2,3„,n,×,。 236
即
n(n,1)(2n,1)22221,2,3„,n,。 6
用数学归纳法很容易证明等式的正确性,这样就轻而易举地推出了求连续自然数平方和的公式。
这个妙不可言的推导过程是数学家波利亚的杰作,关键之处是他运用了“猜想—证明”的思路。联想到当年著名文学家胡适也曾经有过“大胆假设,小心求证”的名言。看来,无论数学也好,文学也好,追求真理的道路是相通的。
这件事对我们教师有什么启示吗,有,那就是:切莫轻视了对学生观察、类比和猜想能力的培养,这往往是培育创新思维的有效途径。
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